高中数学高考第3讲　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第3讲　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

一、选择题

1.已知命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为(　　)

A.所有的指数函数都不是单调函数

B.所有的单调函数都不是指数函数

C.存在一个指数函数，它不是单调函数

D.存在一个单调函数，它不是指数函数

解析　命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为：存在一个指数函数，它不是单调函数.

答案　C

2.设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝对称.则下列判断正确的是(　　)

A.p为真    B.綈p为假

C.p∧q为假    D.p∧q为真

解析　p为假命题，q为假命题，∴p∧q为假.

答案　C

3.2016年巴西里约奥运会，在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加.设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为(　　)

A.(綈p)∨(綈q)    B.p∨(綈q)

C.(綈p)∧(綈q)    D.p∨q

解析　命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况：“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳，乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站稳”，故可表示为(綈p)∨(綈q).或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“p∧q”的否定.

答案　A

4.(2017·西安调研)已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根.则下列命题为真命题的是(　　)

A.p∧(綈q)    B.(綈p)∧q

C.(綈p)∧(綈q)    D.p∧q

解析　由题意知命题p是真命题，命题q是假命题，故綈p是假命题，綈q是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p∧(綈q)是真命题.

答案　A

5.下列命题中，真命题是(　　)

A.∃x0∈R，ex0≤0

B.∀x∈R，2x>x2

C.a＋b＝0的充要条件是＝－1

D.“a>1，b>1”是“ab>1”的充分条件

解析　因为y＝ex>0，x∈R恒成立，所以A不正确.

因为当x＝－5时，2－5<(－5)2，所以B不正确.

“＝－1”是“a＋b＝0”的充分不必要条件，C不正确.

当a>1，b>1时，显然ab>1，D正确.

答案　D

6.命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是(　　)

A.(0，4]

B.[0，4]

C.(－∞，0]∪[4，＋∞)

D.(－∞，0)∪(4，＋∞)

解析　因为命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，

所以命题綈p：∃x0∈R，ax＋ax0＋1<0，

则a<0或解得a<0或a>4.

答案　D

7.(2017·衡阳模拟)已知命题p：∃α∈R，cos(π－α)＝cos α；命题q：∀x∈R，x2＋1>0.则下面结论正确的是(　　)

A.p∧q是真命题  B.p∧q是假命题

C.綈p是真命题  D.綈q是真命题

解析　对于p：取α＝，则cos(π－α)＝cos α，

所以命题p为真命题；

对于命题q：∵x2≥0，∴x2＋1>0，所以q为真命题.由此可得p∧q是真命题.

答案　A

8.(2017·江西赣中南五校联考)已知命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立.若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为(　　)

A.[2，＋∞)  B.(－∞，－2]∪(－1，＋∞)

C.(－∞，－2]∪[2，＋∞) D.(－1，2]

解析　由命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0可得m≤－1；由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，可得－2<m<2，若命题p，q均为真命题，则此时－2<m≤－1.

因为p∧q为假命题，所以命题p，q中至少有一个为假命题，所以m≤－2或m>－1.

答案　B

二、填空题

9.命题“∃x0∈，tan x0>sin x0”的否定是________.

答案　∀x∈，tan x≤sin x

10.若命题“∃x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________.

解析　∵“∃x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，

∴Δ＝(a－1)2－4＞0，即(a－1)2＞4，

∴a－1＞2或a－1＜－2，

∴a＞3或a＜－1.

答案　(－∞，－1)∪(3，＋∞)

11.(2017·石家庄调研)已知下列四个命题：

①“若x2－x＝0，则x＝0或x＝1”的逆否命题为“x≠0且x≠1，则x2－x≠0”

②“x<1”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件

③命题p：存在x0∈R，使得x＋x0＋1<0，则綈p：任意x∈R，都有x2＋x＋1≥0

④若p∧q为假命题，则p，q均为假命题

其中真命题的是________(填序号).

解析　显然①③正确.

②中，x2－3x＋2>0⇔x>2或x<1.

∴“x<1”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件，②正确.

④中，若p∧q为假命题，则p，q至少有一个假命题，④错误.

答案　①②③

12.已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”；命题q：“∃x0∈R，使得x＋4x0＋a＝0”.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________.

解析　若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题.由∀x∈[0，1]，a≥ex，得a≥e；由∃x0∈R，使x＋4x0＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，得a≤4，因此e≤a≤4.

答案　[e，4]

13.(2016·浙江卷)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　)

A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2

B.∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x2

C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n<x2

D.∃x0∈R，∀n∈N*，使得n<x

解析　改变量词，否定结论.

∴綈p应为：∃x0∈R，∀n∈N*，使得n<x.

答案　D

14.(2017·昆明一中质检)已知命题p：∀x∈R，x＋≥2；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，x＞x，则下列命题中为真命题的是(　　)

A.(綈p)∧q    B.p∧(綈q)

C.(綈p)∧(綈q)    D.p∧q

解析　对于p：当x＝－1时，x＋＝－2，∴p为假命题.取x0∈(0，1)，此时x＞x，∴q为真命题.

从而綈p为真命题，(綈p)∧q为真命题.

答案　A

15.(2017·郑州模拟)下列四个说法：

①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；

②命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；

③“x>2”是“<”的充分不必要条件；

④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真.

其中说法不正确的序号是________.

解析　①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③<，则－＝<0，解得x<0或x>2，所以“x>2”是“<”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确.

答案　①②

16.已知命题p：∃x∈R，ex－mx＝0，q：∀x∈R，x2－2mx＋1≥0，若p∨(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是________.

解析　若p∨(綈q)为假命题，则p假q真.

由ex－mx＝0得m＝，设f(x)＝，

则f′(x)＝＝.

当x＞1时，f′(x)＞0，此时函数单调递增；

当0＜x＜1时，f′(x)＜0，此时函数单调递减；

当x＜0时，f′(x)＜0，此时函数单调递减.

由f(x)的图象及单调性知当x＝1时，f(x)＝取得极小值f(1)＝e，所以函数f(x)＝的值域为(－∞，0)∪[e，＋∞)，所以若p是假命题，则0≤m＜e；

命题q为真命题时，有Δ＝4m2－4≤0，则－1≤m≤1.

所以当p∨(綈q)为假命题时，m的取值范围是[0，1].

答案　[0，1]