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备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第一章 集合与常用逻辑用语 第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
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这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第一章 集合与常用逻辑用语 第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词，共13页。试卷主要包含了全称量词与存在量词，全称命题和特称命题，命题p，已知命题p，命题等内容，欢迎下载使用。
第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考试要求 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
1.简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.
(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.
3.全称命题和特称命题
名称
全称命题
特称命题
结构
对M中的任意一个x，有p(x)成立
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，p(x0)
否定
∃x0∈M，綈p(x0)
∀x∈M，綈p(x)
1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反.
2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.
3.“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”，“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”.
4.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)命题“5>6或5>2”是假命题.( )
(2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题.( )
(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.( )
(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
解析 (1)错误.命题p∨q中，p，q有一真则真.
(2)错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题.
(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.
2.(2021·全国乙卷)已知命题p：∃x∈R，sin x<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是( )
A.p∧q B.(綈p)∧q
C.p∧(綈q) D.綈(p∨q)
答案 A
解析 由正弦函数的图象及性质可知，存在x∈R，使得sin x<1，所以命题p为真命题.对任意的x∈R，均有e|x|≥e0＝1成立，故命题q为真命题，所以命题p∧q为真命题，故选A.
3.(2017·山东卷)已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是( )
A.p∧q B.p∧(綈q)
C.(綈p)∧q D.(綈p)∧(綈q)
答案 B
解析 由已知得p真，q假，故綈q真，所以p∧(綈q)真，故选B.
4.(易错题)命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则綈p是________.
答案 所有三角形都不是等腰三角形
5.(易错题)命题“∀x∈R，ax2－ax＋1>0”为真命题，则实数a的取值范围为________.
答案 [0，4)
解析 ①当a＝0时，1>0恒成立；
②当a≠0时，∴0
6.(2021·合肥调研)能说明命题“∀x∈R且x≠0，x＋≥2”是假命题的x的值可以是________(写出一个即可).
答案 －1(任意负数)
解析 当x>0时，x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，
当x<0时，x＋≤－2，当且仅当x＝－1时取等号，
∴x的取值为负数即可，例如x＝－1.
考点一 含有逻辑联结词的命题
1.(2021·成都调研)已知命题p：函数y＝＋sin x，x∈(0，π)的最小值为2；命题q：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0.下列命题为真命题的是( )
A.(綈p)∧q B.p∨q
C.p∧(綈q) D.(綈p)∧(綈q)
答案 D
解析 命题p：函数y＝＋sin x，x∈(0，π)，由基本不等式成立的条件可知，y>2＝2，等号取不到，所以命题p是假命题.
命题q：取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，所以命题q是假命题.所以綈p为真，綈q为真.因此，只有(綈p)∧(綈q)为真命题.
2.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A.(綈p)∨(綈q) B.p∧(綈q)
C.(綈p)∧(綈q) D.p∨q
答案 A
解析 命题p是“甲降落在指定范围”，则綈p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则綈q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”.所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q).
3.(2022·洛阳质检)设a，b，c均为非零向量，已知命题p：a＝b是a·c＝b·c的必要不充分条件，命题q：x>1是|x|>1的充分不必要条件.则下列命题中为真命题的是( )
A.p∧q B.p∨q
C.(綈p)∧(綈q) D.p∨(綈q)
答案 B
解析 由a＝b⇒a·c＝b·c，但a·c＝b·c ⇒/ a＝b，故p为假命题.
命题q：∵|x|>1，∴x>1或x<－1，
∴由x>1⇒|x|>1，但|x|>1⇒/ x>1，
故q为真命题.故选B.
4.(2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是________.
①p1∧p4 ②p1∧p2 ③(綈p2)∨p3 ④(綈p3)∨(綈p4)
答案 ①③④
解析 p1是真命题，两两相交不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知p1为真命题；p2是假命题，因为空间三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；p3是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；p4是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线.由以上结论知綈p2，綈p3，綈p4依次为真命题、真命题、假命题，从而①③④中命题为真命题，②中命题为假命题.
感悟提升 1.“p∨q”，“p∧q”，“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；
(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假.
2.p∧q形式是“一假必假，全真才真”，p∨q形式是“一真必真，全假才假”，綈p与p的真假性相反.
考点二 全称量词与存在量词
例1 (1)(2021·江南十校联考)已知f(x)＝sin x－tan x，命题p：∃x0∈，f(x0)<0，则( )
A.p是假命题，綈p：∀x∈，f(x)≥0
B.p是假命题，綈p：∃x0∈，f(x0)≥0
C.p是真命题，綈p：∀x∈，f(x)≥0
D.p是真命题，綈p：∃x0∈，f(x0)≥0
(2)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( )
A.∀x∈R，f(－x)≠f(x)
B.∀x∈R，f(－x)≠－f(x)
C.∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)
D.∃x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)
答案 (1)C (2)C
解析 (1)当x∈时，sin x<1，tan x>1.此时sin x－tan x<0，
故命题p为真命题.
由于命题p为特称命题，
所以命题p的否定为全称命题，
则綈p为：∀x∈，f(x)≥0.
(2)∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数，∴∀x∈R，f(－x)＝f(x)为假命题，
∴∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)为真命题.
感悟提升 1.全称命题与特称命题的否定与一般命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.
2.判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可.
训练1 (1)设命题p：所有正方形都是平行四边形，则綈p为( )
A.所有正方形都不是平行四边形
B.有的平行四边形不是正方形
C.有的正方形不是平行四边形
D.不是正方形的四边形不是平行四边形
(2)下列四个命题：
p1：∃x0∈(0，＋∞)，<；
p2：∃x0∈(0，π)，sin x0
p4：∀x∈，
A.p1，p3 B.p1，p4
C.p2，p3 D.p2，p4
答案 (1)C (2)D
解析 (1)“所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即綈p为有的正方形不是平行四边形.
(2)对于p1，当x0∈(0，＋∞)时，总有>成立，故p1是假命题；对于p2，当x0＝时，sin x0
例2 (1)已知命题p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0；q：∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0，若(綈p) ∧q是真命题，则实数a的取值范围是________________.
(2)(经典母题)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝－m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________.
答案 (1)(1，＋∞) (2)
解析 (1)∵(綈p)∧q是真命题，
∴p假q真.
p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0为假命题，
∴∃x∈[1，2]，x2－a<0为真命题，
即a>x2成立，∴a>1.
q：∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0为真命题，所以Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，
∴a≥1或a≤－2.
综上，a>1.
(2)当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，
当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，
由f(x)min≥g(x)min，
得0≥－m，所以m≥.
迁移 本例(2)中，若将“∃x2∈[1，2]”改为“∀x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________.
答案
解析 当x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，
对∀x1∈[0，3]，∀x2∈[1，2]使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，∴m≥.
感悟提升 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：
(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；
(2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.
2.全称命题可转化为恒成立问题.
3.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.
训练2 (2022·许昌质检)已知p：关于x的方程ex－a＝0在(－∞，0)上有解；q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是________.
答案 ∪[1，＋∞)
解析 p真：a＝ex在(－∞，0)上有解，
∴0
当a＝0时，显然不成立；
当a≠0时，需∴a>.
又p∨q为真，p∧q为假，
∴p真q假或p假q真.
当p真q假时，∴0
∴0
1.(2021·成都诊断)已知命题p：对任意的x∈R，2x－x2≥1，则綈p为( )
A.对任意的x∉R，2x－x2<1
B.存在x∉R，2x－x2<1
C.对任意的x∈R，2x－x2<1
D.存在x∈R，2x－x2<1
答案 D
解析 p：∀x∈R，2x－x2≥1，∴綈p：∃x∈R，2x－x2<1.
2.“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
3.下列命题的否定是真命题的是( )
A.有些实数的绝对值是正数
B.所有平行四边形都不是菱形
C.任意两个等边三角形都是相似的
D.3是方程x2－9＝0的一个根
答案 B
4.命题“∀x∈R，f(x)· g(x)≠0”的否定是( )
A.∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0
B.∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0
C.∃x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0
D.∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0
答案 D
解析 根据全称命题与特称命题的互为否定的关系可得：命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是“∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0”.故选D.
5.命题p：甲的数学成绩不低于100分，命题q：乙的数学成绩低于100分，则p∨
(綈q)表示( )
A.甲、乙两人的数学成绩都低于100分
B.甲、乙两人至少有一人的数学成绩低于100分
C.甲、乙两人的数学成绩都不低于100分
D.甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分
答案 D
解析 由于命题q：乙的数学成绩低于100分，因此綈q：乙的数学成绩不低于100分，所以p∨(綈q)表示甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分.
6.已知命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A.(－∞，0) B.[0，4]
C.[4，＋∞) D.(0，4)
答案 D
解析 因为命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，所以其否定为“∀x∈R，4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题.
则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a<0，解得0
cos α·cos β＝1，则sin(α＋β)＝0.下列命题为真命题的是( )
A.p B.綈q C.p∧q D.p∨q
答案 D
解析 当a，b方向相反时，a·b<0，但夹角是180°，不是钝角，命题p是假命题；
若cos αcos β＝1，则cos α＝cos β＝1或cos α＝cos β＝－1，
所以sin α＝sin β＝0，从而sin(α＋β)＝0，命题q是真命题，
所以p∨q是真命题.
8.已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”；命题q：“∃x0∈R，使得x＋4x0＋a＝0”.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为( )
A.[e，4] B.(－∞，e]
C.[e，4) D.[4，＋∞)
答案 A
解析 若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题.由∀x∈[0，1]，a≥ex，得a≥e；由∃x0∈R，使x＋4x0＋a＝0，得Δ＝16－4a≥0，则a≤4，因此e≤a≤4.
9.命题：∃x0∈R，1
10.若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________.
答案 1
解析 ∵函数y＝tan x在上是增函数，
∴ymax＝tan ＝1，
依题意，m≥ymax，即m≥1.
∴m的最小值为1.
11.下列命题为真命题的是________(填序号).
①∃x0∈R，x＋x0＋1≤0；
②∀a∈R，f(x)＝log(a2＋2)x在定义域内是增函数；
③若f(x)＝2x－2－x，则∀x∈R，f(－x)＝－f(x)；
④若f(x)＝x＋，则∃x0∈(0，＋∞)，f(x0)＝1.
答案 ②③
解析 x＋x0＋1＝＋>0，故①错误；
∵a2＋2≥2>1，∴f(x)＝log(a2＋2)x在(0，＋∞)上是增函数，故②正确；
f(x)为奇函数，所以∀x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，故③正确；
x0∈(0，＋∞)时，f(x0)＝x0＋≥2，当且仅当x0＝1时取“＝”，故④错误.
综上有②③正确.
12.(2022·周口调研)已知p：函数f(x)＝x2－(2a＋4)x＋6在(1，＋∞)上是增函数，q：∀x∈R，x2＋ax＋2a－3>0，若p∧(綈q)是真命题，则实数a的取值范围为________.
答案 (－∞，－1]
解析 依题意，p为真命题，綈q为真命题.
若p为真命题，则≤1，解得a≤－1.①
若綈q为真命题，则∃x0∈R，x＋ax0＋2a－3≤0成立.
∴a2－4(2a－3)≥0，解之得a≥6或a≤2.②
结合①②，知a≤－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1].
13.已知命题p：∀x>0，ex>x＋1，命题q：∃x∈(0，＋∞)，ln x≥x，则下列命题为真命题的是( )
A.p∧q B.(綈p)∧q
C.p∧(綈q) D.(綈p)∧(綈q)
答案 C
解析 令f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，当x>0时，f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)>f(0)＝0，
即ex>x＋1，则命题p真；
令g(x)＝ln x－x，x>0，
则g′(x)＝－1＝，
当x∈(0，1)时，g′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，
即当x＝1时，g(x)取得极大值，也是最大值，所以g(x)max＝g(1)＝－1<0，
∴g(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，则命题q假，因此綈q为真，故p∧(綈q)为真.
14.(2019·全国Ⅲ卷)记不等式组表示的平面区域为D.命题p：∃(x，y)∈D，2x＋y≥9；命题q：∀(x，y)∈D，2x＋y≤12.下面给出了四个命题
①p∨q；②(綈p)∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∧(綈q).
这四个命题中，所有真命题的编号是( )
A.①③ B.①② C.②③ D.③④
答案 A
解析 由不等式组画出平面区域D，如图阴影部分所示，
在图中画出直线2x＋y＝9，可知p为真命题，綈p为假命题，
作出直线2x＋y＝12，2x＋y≤12表示直线及其下方区域，易知命题q为假命题；命题綈q为真命题；
∴p∨q为真，(綈p)∨q为假，p∧(綈q)为真，(綈p)∧(綈q)为假.
故真命题的编号为①③.
15.已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝________.
答案 0
解析 “∃x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)≠0”的否定是∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0，
依题意：命题∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0为真命题，故函数y＝f(x)，x∈(a，b)为奇函数，
∴a＋b＝0，
∴f(a＋b)＝f(0)＝0.
16.若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1，2]，∃x0∈[－1，2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________.
答案
解析 设f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)在[－1，2]上的值域分别为A，B，
则A＝[－1，3]，B＝[－a＋2，2a＋2]，
由题意可知∴a≤，
又∵a>0，∴0
第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考试要求 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
1.简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.
(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.
3.全称命题和特称命题
名称
全称命题
特称命题
结构
对M中的任意一个x，有p(x)成立
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，p(x0)
否定
∃x0∈M，綈p(x0)
∀x∈M，綈p(x)
1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反.
2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.
3.“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”，“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”.
4.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)命题“5>6或5>2”是假命题.( )
(2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题.( )
(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.( )
(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
解析 (1)错误.命题p∨q中，p，q有一真则真.
(2)错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题.
(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.
2.(2021·全国乙卷)已知命题p：∃x∈R，sin x<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是( )
A.p∧q B.(綈p)∧q
C.p∧(綈q) D.綈(p∨q)
答案 A
解析 由正弦函数的图象及性质可知，存在x∈R，使得sin x<1，所以命题p为真命题.对任意的x∈R，均有e|x|≥e0＝1成立，故命题q为真命题，所以命题p∧q为真命题，故选A.
3.(2017·山东卷)已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是( )
A.p∧q B.p∧(綈q)
C.(綈p)∧q D.(綈p)∧(綈q)
答案 B
解析 由已知得p真，q假，故綈q真，所以p∧(綈q)真，故选B.
4.(易错题)命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则綈p是________.
答案 所有三角形都不是等腰三角形
5.(易错题)命题“∀x∈R，ax2－ax＋1>0”为真命题，则实数a的取值范围为________.
答案 [0，4)
解析 ①当a＝0时，1>0恒成立；
②当a≠0时，∴0
6.(2021·合肥调研)能说明命题“∀x∈R且x≠0，x＋≥2”是假命题的x的值可以是________(写出一个即可).
答案 －1(任意负数)
解析 当x>0时，x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，
当x<0时，x＋≤－2，当且仅当x＝－1时取等号，
∴x的取值为负数即可，例如x＝－1.
考点一 含有逻辑联结词的命题
1.(2021·成都调研)已知命题p：函数y＝＋sin x，x∈(0，π)的最小值为2；命题q：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0.下列命题为真命题的是( )
A.(綈p)∧q B.p∨q
C.p∧(綈q) D.(綈p)∧(綈q)
答案 D
解析 命题p：函数y＝＋sin x，x∈(0，π)，由基本不等式成立的条件可知，y>2＝2，等号取不到，所以命题p是假命题.
命题q：取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，所以命题q是假命题.所以綈p为真，綈q为真.因此，只有(綈p)∧(綈q)为真命题.
2.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A.(綈p)∨(綈q) B.p∧(綈q)
C.(綈p)∧(綈q) D.p∨q
答案 A
解析 命题p是“甲降落在指定范围”，则綈p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则綈q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”.所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q).
3.(2022·洛阳质检)设a，b，c均为非零向量，已知命题p：a＝b是a·c＝b·c的必要不充分条件，命题q：x>1是|x|>1的充分不必要条件.则下列命题中为真命题的是( )
A.p∧q B.p∨q
C.(綈p)∧(綈q) D.p∨(綈q)
答案 B
解析 由a＝b⇒a·c＝b·c，但a·c＝b·c ⇒/ a＝b，故p为假命题.
命题q：∵|x|>1，∴x>1或x<－1，
∴由x>1⇒|x|>1，但|x|>1⇒/ x>1，
故q为真命题.故选B.
4.(2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是________.
①p1∧p4 ②p1∧p2 ③(綈p2)∨p3 ④(綈p3)∨(綈p4)
答案 ①③④
解析 p1是真命题，两两相交不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知p1为真命题；p2是假命题，因为空间三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；p3是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；p4是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线.由以上结论知綈p2，綈p3，綈p4依次为真命题、真命题、假命题，从而①③④中命题为真命题，②中命题为假命题.
感悟提升 1.“p∨q”，“p∧q”，“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；
(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假.
2.p∧q形式是“一假必假，全真才真”，p∨q形式是“一真必真，全假才假”，綈p与p的真假性相反.
考点二 全称量词与存在量词
例1 (1)(2021·江南十校联考)已知f(x)＝sin x－tan x，命题p：∃x0∈，f(x0)<0，则( )
A.p是假命题，綈p：∀x∈，f(x)≥0
B.p是假命题，綈p：∃x0∈，f(x0)≥0
C.p是真命题，綈p：∀x∈，f(x)≥0
D.p是真命题，綈p：∃x0∈，f(x0)≥0
(2)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( )
A.∀x∈R，f(－x)≠f(x)
B.∀x∈R，f(－x)≠－f(x)
C.∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)
D.∃x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)
答案 (1)C (2)C
解析 (1)当x∈时，sin x<1，tan x>1.此时sin x－tan x<0，
故命题p为真命题.
由于命题p为特称命题，
所以命题p的否定为全称命题，
则綈p为：∀x∈，f(x)≥0.
(2)∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数，∴∀x∈R，f(－x)＝f(x)为假命题，
∴∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)为真命题.
感悟提升 1.全称命题与特称命题的否定与一般命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.
2.判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可.
训练1 (1)设命题p：所有正方形都是平行四边形，则綈p为( )
A.所有正方形都不是平行四边形
B.有的平行四边形不是正方形
C.有的正方形不是平行四边形
D.不是正方形的四边形不是平行四边形
(2)下列四个命题：
p1：∃x0∈(0，＋∞)，<；
p2：∃x0∈(0，π)，sin x0
p4：∀x∈，
A.p1，p3 B.p1，p4
C.p2，p3 D.p2，p4
答案 (1)C (2)D
解析 (1)“所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即綈p为有的正方形不是平行四边形.
(2)对于p1，当x0∈(0，＋∞)时，总有>成立，故p1是假命题；对于p2，当x0＝时，sin x0
例2 (1)已知命题p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0；q：∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0，若(綈p) ∧q是真命题，则实数a的取值范围是________________.
(2)(经典母题)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝－m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________.
答案 (1)(1，＋∞) (2)
解析 (1)∵(綈p)∧q是真命题，
∴p假q真.
p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0为假命题，
∴∃x∈[1，2]，x2－a<0为真命题，
即a>x2成立，∴a>1.
q：∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0为真命题，所以Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，
∴a≥1或a≤－2.
综上，a>1.
(2)当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，
当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，
由f(x)min≥g(x)min，
得0≥－m，所以m≥.
迁移 本例(2)中，若将“∃x2∈[1，2]”改为“∀x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________.
答案
解析 当x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，
对∀x1∈[0，3]，∀x2∈[1，2]使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，∴m≥.
感悟提升 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：
(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；
(2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.
2.全称命题可转化为恒成立问题.
3.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.
训练2 (2022·许昌质检)已知p：关于x的方程ex－a＝0在(－∞，0)上有解；q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是________.
答案 ∪[1，＋∞)
解析 p真：a＝ex在(－∞，0)上有解，
∴0
当a＝0时，显然不成立；
当a≠0时，需∴a>.
又p∨q为真，p∧q为假，
∴p真q假或p假q真.
当p真q假时，∴0
∴0
1.(2021·成都诊断)已知命题p：对任意的x∈R，2x－x2≥1，则綈p为( )
A.对任意的x∉R，2x－x2<1
B.存在x∉R，2x－x2<1
C.对任意的x∈R，2x－x2<1
D.存在x∈R，2x－x2<1
答案 D
解析 p：∀x∈R，2x－x2≥1，∴綈p：∃x∈R，2x－x2<1.
2.“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
3.下列命题的否定是真命题的是( )
A.有些实数的绝对值是正数
B.所有平行四边形都不是菱形
C.任意两个等边三角形都是相似的
D.3是方程x2－9＝0的一个根
答案 B
4.命题“∀x∈R，f(x)· g(x)≠0”的否定是( )
A.∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0
B.∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0
C.∃x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0
D.∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0
答案 D
解析 根据全称命题与特称命题的互为否定的关系可得：命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是“∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0”.故选D.
5.命题p：甲的数学成绩不低于100分，命题q：乙的数学成绩低于100分，则p∨
(綈q)表示( )
A.甲、乙两人的数学成绩都低于100分
B.甲、乙两人至少有一人的数学成绩低于100分
C.甲、乙两人的数学成绩都不低于100分
D.甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分
答案 D
解析 由于命题q：乙的数学成绩低于100分，因此綈q：乙的数学成绩不低于100分，所以p∨(綈q)表示甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分.
6.已知命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A.(－∞，0) B.[0，4]
C.[4，＋∞) D.(0，4)
答案 D
解析 因为命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，所以其否定为“∀x∈R，4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题.
则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a<0，解得0
cos α·cos β＝1，则sin(α＋β)＝0.下列命题为真命题的是( )
A.p B.綈q C.p∧q D.p∨q
答案 D
解析 当a，b方向相反时，a·b<0，但夹角是180°，不是钝角，命题p是假命题；
若cos αcos β＝1，则cos α＝cos β＝1或cos α＝cos β＝－1，
所以sin α＝sin β＝0，从而sin(α＋β)＝0，命题q是真命题，
所以p∨q是真命题.
8.已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”；命题q：“∃x0∈R，使得x＋4x0＋a＝0”.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为( )
A.[e，4] B.(－∞，e]
C.[e，4) D.[4，＋∞)
答案 A
解析 若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题.由∀x∈[0，1]，a≥ex，得a≥e；由∃x0∈R，使x＋4x0＋a＝0，得Δ＝16－4a≥0，则a≤4，因此e≤a≤4.
9.命题：∃x0∈R，1
10.若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________.
答案 1
解析 ∵函数y＝tan x在上是增函数，
∴ymax＝tan ＝1，
依题意，m≥ymax，即m≥1.
∴m的最小值为1.
11.下列命题为真命题的是________(填序号).
①∃x0∈R，x＋x0＋1≤0；
②∀a∈R，f(x)＝log(a2＋2)x在定义域内是增函数；
③若f(x)＝2x－2－x，则∀x∈R，f(－x)＝－f(x)；
④若f(x)＝x＋，则∃x0∈(0，＋∞)，f(x0)＝1.
答案 ②③
解析 x＋x0＋1＝＋>0，故①错误；
∵a2＋2≥2>1，∴f(x)＝log(a2＋2)x在(0，＋∞)上是增函数，故②正确；
f(x)为奇函数，所以∀x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，故③正确；
x0∈(0，＋∞)时，f(x0)＝x0＋≥2，当且仅当x0＝1时取“＝”，故④错误.
综上有②③正确.
12.(2022·周口调研)已知p：函数f(x)＝x2－(2a＋4)x＋6在(1，＋∞)上是增函数，q：∀x∈R，x2＋ax＋2a－3>0，若p∧(綈q)是真命题，则实数a的取值范围为________.
答案 (－∞，－1]
解析 依题意，p为真命题，綈q为真命题.
若p为真命题，则≤1，解得a≤－1.①
若綈q为真命题，则∃x0∈R，x＋ax0＋2a－3≤0成立.
∴a2－4(2a－3)≥0，解之得a≥6或a≤2.②
结合①②，知a≤－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1].
13.已知命题p：∀x>0，ex>x＋1，命题q：∃x∈(0，＋∞)，ln x≥x，则下列命题为真命题的是( )
A.p∧q B.(綈p)∧q
C.p∧(綈q) D.(綈p)∧(綈q)
答案 C
解析 令f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，当x>0时，f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)>f(0)＝0，
即ex>x＋1，则命题p真；
令g(x)＝ln x－x，x>0，
则g′(x)＝－1＝，
当x∈(0，1)时，g′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，
即当x＝1时，g(x)取得极大值，也是最大值，所以g(x)max＝g(1)＝－1<0，
∴g(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，则命题q假，因此綈q为真，故p∧(綈q)为真.
14.(2019·全国Ⅲ卷)记不等式组表示的平面区域为D.命题p：∃(x，y)∈D，2x＋y≥9；命题q：∀(x，y)∈D，2x＋y≤12.下面给出了四个命题
①p∨q；②(綈p)∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∧(綈q).
这四个命题中，所有真命题的编号是( )
A.①③ B.①② C.②③ D.③④
答案 A
解析 由不等式组画出平面区域D，如图阴影部分所示，
在图中画出直线2x＋y＝9，可知p为真命题，綈p为假命题，
作出直线2x＋y＝12，2x＋y≤12表示直线及其下方区域，易知命题q为假命题；命题綈q为真命题；
∴p∨q为真，(綈p)∨q为假，p∧(綈q)为真，(綈p)∧(綈q)为假.
故真命题的编号为①③.
15.已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝________.
答案 0
解析 “∃x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)≠0”的否定是∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0，
依题意：命题∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0为真命题，故函数y＝f(x)，x∈(a，b)为奇函数，
∴a＋b＝0，
∴f(a＋b)＝f(0)＝0.
16.若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1，2]，∃x0∈[－1，2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________.
答案
解析 设f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)在[－1，2]上的值域分别为A，B，
则A＝[－1，3]，B＝[－a＋2，2a＋2]，
由题意可知∴a≤，
又∵a>0，∴0
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