2023届二轮复习 关键能力专题 模型建构能力 学案

模型建构能力

建构对象模型

（智学精选）雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g。

（1）将雨滴看作半径为r的球体，设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力f＝kr2v2，其中v是雨滴的速度，k是比例系数。设雨滴的密度为ρ，推导雨滴下落趋近的最大速度vm与半径r的关系式；

（2）由于大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零。将雨滴简化为垂直于运动方向面积为S的圆盘，证明：圆盘以速度v下落时受到的空气阻力f∝v2（提示：设单位体积内空气分子数为n，空气分子质量为m0）。

关键信息：（1）雨滴看作半径为r的球体→球体的体积V＝πr3

雨滴所受空气阻力f＝kr2v2→雨滴所受阻力随速度增大而增加，雨滴所受合力逐渐减小

最大速度vm→重力与阻力平衡时速度最大

（2）气体分子在各方向运动的几率相等，对静止雨滴的作用力为零→各个方向上气体分子与雨滴发生碰撞（可近似为弹性碰撞）产生对应方向上的作用力，由对称性可知总作用力为零

圆盘以速度v下落时受到的空气阻力f→由于各个方向的气体分子与圆盘碰撞后产生的作用力不平衡产生了空气阻力→下落速度为v时与圆盘产生作用的气体可以看成以圆盘为底面，v∆t为高的微小圆柱体内的所有气体分子

单位体积内空气分子数为n，空气分子质量为m0→确定微小圆柱体中各个方向上撞击圆盘的分子的质量

解题思路：解决本题关键是要清楚空气对雨点产生阻力的微观原因，并构建起空气与雨滴简化后的“圆盘”之间相互作用的模型。

（1）当雨滴的速度最大时：mg＝f

其中：m＝ρ·πr3，空气阻力f＝kr2vm2，

联立可得：vm＝

（2）取圆盘Δt时间内扫过柱体内分子的个数为N，则：N＝v·Δt·Sn

由题意，由于大量气体分子在各方向运动的几率相等，若取上下左右前后6个方向，则各方向的分子各占N；

设分子的平均速率为v0，碰撞为弹性碰撞，则：

对上表面，向下运动的分子与圆盘碰撞，设向下运动的分子的总质量为m，圆盘的质量为M，根据动量守恒与动能守恒可知：

mv0＋Mv＝mv01＋Mv1

＋Mv2＝＋

解得：v01＝v0＋v

由于圆盘的质量远大于分子的质量，则分子碰撞后的速率：v01＝2v－v0

对向下与圆盘碰撞的所有分子，取竖直向下为正，由动量定理知：－f1Δt＝·m0(v01－v0)对下表面，沿前后左右方向运动的分子与盘的下表面碰撞（竖直方向上的碰撞类似于质量很大的物体撞击质量很小的静止物体），获得向下的速率，大小为2v，在水平方向的速度不发生变化。

由动量定理知：f2Δt＝·m0·2v

向上运动的分子与圆盘碰撞，由于圆盘的质量远大于分子的质量，根据动量守恒与动能守恒可知，分子碰撞后的速率：v2＝v0＋2v

对向上运动的分子，根据动量定理有：f3Δt＝·m0(v2＋v0)

故圆盘受到的阻力的大小为：f＝f2＋f3－f1

联立可得：f＝2S·nm0v2

则：f∝v2

（2023·湖北省月考）霍尔元件是一种重要的磁传感器，可用在多种自动控制系统中。长方体半导体材料厚为a、宽为b、长为c，以长方体三边为坐标轴建立坐标系xyz，如图所示。半导体中有电荷量均为e的自由电子与空穴两种载流子，空穴可看作带正电荷的自由移动粒子，单位体积内自由电子和空穴的数目分别为n和p。当半导体材料通有沿＋x方向的恒定电流后，某时刻在半导体所在空间加一匀强磁场，磁感应强度的大小为B，沿＋y方向，于是在z方向上很快建立稳定电场，称其为霍尔电场，已知电场强度大小为E，沿－z方向。

（1）判断刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力方向；

（2）若自由电子定向移动在沿＋x方向上形成的电流为In，求单个自由电子由于定向移动在z方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小Fnz；

（3）霍尔电场建立后，自由电子与空穴在z方向定向移动的速率分别为vnz、vpz，求Δt时间内运动到半导体z方向的上表面的自由电子数与空穴数，并说明两种载流子在z方向上形成的电流应满足的条件。

（1）根据左手定则可知，自由电子受到的洛伦兹力沿＋z方向；

（2）设t时间内流过半导体垂直于x轴某一横截面自由电子的电荷量为q，由电流定义式，有：In＝①

设自由电子在x方向上定向移动速率为vnx，则在时间t内流过垂直x方向长方体截面的电荷量集中在以该截面为底，高为vnxt的小长方体中，故流过该截面的电荷量为q＝neabvnxt

由①式可得：In＝neabvnx②

单个自由电子所受洛伦兹力大小为：F洛＝evnxB③

霍尔电场力大小为：F电＝eE④

自由电子在z方向上受到的洛伦兹力和霍尔电场力方向相同，联立②③④式，可得其合力大小为：

Fnz＝e(＋E)；

（3）设Δt时间内在z方向上运动到半导体上表面的自由电子数为Nn、空穴数为Np，

则：Nn＝nacvnzΔtNp＝pacvpzΔt

霍尔电场建立后，半导体z方向上表面的电荷量就不再发生变化，则应Nn＝Np，

即在任何相等时间内运动到上表面的自由电子数与空穴数相等，这样两种载流子在z方向形成的电流应大小相等、方向相反。

常见的对象模型

1、质点：在研究物体的机械运动时，有时可以忽略物体的大小和形状的影响，将其简化为一个具有质量的点；高中阶段我们接触的大部分问题，在题中未有特殊说明时，均可将研究的对象视为质点处理。

2、体积元：当涉及单位体积内微观粒子的数量且涉及对应的宏观量的求解或是处理流体问题选定研究对象时，通常会建立规则几何体的体积元模型。

①研究电流的微观表达式时，引入的圆柱体体积元模型

该体积内的自由电子数为N＝nesvt（n为单位体积内自由电子的数量），此外体积元的形状由导体的横截面的形状决定，也可以是长方体等规则几何体。

②处理流体问题时，流体的速度会发生变化，此时在很短的时间∆t内可认为流体的速度v不变，如此同样可以建立类似上面的体积微元，该体积元的底面积即为流体的横截面积，高即为v∆t。对于液体来说，当流量Q不变时，其对应的体积元的表达式为V＝vS∆t＝v0S0∆t＝Q∆t（S0、v0分别为液体刚流出时对应的横截面积和速度）。

3、其他常见的对象模型：点电荷（忽略带电体的大小形状）、理想气体（忽略气体大小、相互作用且严格遵循气体实验定律）、轻绳、轻杆、轻弹簧（忽略质量）等常见模型。

建构过程模型

（2022·北京市历年真题）利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。

（1）某质量为m的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，在近日点速度为v1，在远日点速度为v2。求从近日点到远日点过程中太阳对行星所做的功W；

（2）设行星与恒星的距离为r，请根据开普勒第三定律（＝k）及向心力相关知识，证明恒星对行星的作用力F与r的平方成反比；

（3）宇宙中某恒星质量是太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍。设想地球“流浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕太阳公转的周期为T1，绕此恒星公转的周期为T2，求。

关键信息：近日点速度为v1，在远日点速度为v2，太阳对行星所做的功W→应用动能定理处理

根据开普勒第三定律（＝k）及向心力相关知识→向心力的表达式Fn＝

单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍，两次轨道上温度相同→构建“球面波”辐射模型→确定两次轨道半径的关系

解题思路：解决本题的关键是明确行星绕恒星运动的向心力由恒星对行星的作用力提供并能根据题中信息建立起能量辐射的球面波模型。

（1）由于行星只受太阳引力的作用，从近日点到远日点，根据动能定理有：W＝

（2）设行星绕恒星做匀速圆周运动，行星的质量为m，运动半径为r，运动速度大小为v。

恒星对行星的作用力F提供向心力，则F＝

运动周期：T＝

根据开普勒第三定律＝k，k为常量，联立得F＝

即恒星对行星的作用力F与r的平方成反比。

（3）假定恒星的能量辐射各向均匀，地球绕恒星做半径为r的圆周运动，恒星单位时间内向外辐射的能量为P0。以恒星为球心，以r为半径的球面上，单位面积单位时间接受到的辐射能量P＝

设地球绕太阳公转半径为r1，在新轨道上公转半径为r2。地球在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样，必须满足P不变，由于恒星单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍，得r2＝4r1

设恒星质量为M，地球在轨道上运行周期为T，万有引力提供向心力，有＝

解得T＝

由于恒星质量是太阳质量的2倍，得：＝

（2022·北京市月考）秋千由踏板和绳构成，人在秋千上的摆动过程可以简化为单摆的摆动，等效“摆球”的质量为m，人蹲在踏板上时摆长为l1，人站立时摆长为l2。不计空气阻力，重力加速度大小为g。

（1）如果摆长为l1，“摆球”通过最低点时的速度为v，求此时“摆球”受到拉力T的大小。

（2）在没有别人帮助的情况下，人可以通过在低处站起、在高处蹲下的方式使“摆球”摆得越来越高。

a．人蹲在踏板上从最大摆角θ1开始运动，到最低点时突然站起，此后保持站立姿势摆到另一边的最大摆角为θ2。假定人在最低点站起前后“摆球”摆动速度大小不变，通过计算证明θ2＞θ1。

b．实际上人在最低点快速站起后，“摆球”摆动速度的大小会增大。随着摆动越来越高，达到某个最大摆角θ后，如果再次经过最低点时，通过一次站起并保持站立姿势就能实现在竖直平面内做完整的圆周运动，求在最低点“摆球”增加的动能ΔEk应满足的条件。

（1）根据牛顿运动定律：T－mg＝

解得：T＝mg＋

（2）a．设人在最低点站起前后“摆球”的摆动速度大小分别为v1、v2，根据功能关系得：mgl1(1－cosθ1)＝，mgl2(1－cosθ2)＝

已知v1＝v2，得：mgl1(1－cosθ1)＝mgl2(1－cosθ2)

因为l1＞l2，故cosθ1＞cosθ2，所以θ2＞θ1。

b．设“摆球”由最大摆角θ摆至最低点时动能为Ek，根据功能关系得：Ek＝mgl1(1－cosθ)

“摆球”在竖直平面内做完整的圆周运动，通过最高点最小速度为vm，根据牛顿运动定律得：mg＝

“摆球”在竖直平面内做完整的圆周运动，根据功能关系得：Ek＋ΔEk≥2mgl2＋

得：ΔEk≥mgl2－mgl1(1－cosθ)

一、运动模型

二、碰撞模型

三、能量辐射模型

在处理能量辐射类的问题时，通常将辐射源看成是一个能量集中的点，并假设能量向各个方向均匀辐射，于是就建立起了类似“球面波”传播方式的能量辐射模型，如图所示

这样，在距离辐射源距离为r处，单位时间内单位面积上接受的能量即为P＝（其中P0为辐射源单位时间内向外辐射的能量）