18.2.1 第1课时 矩形的性质 人教版八年级数学下册课件

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18.2.1 矩 形第十八章 平行四边形第1课时 矩形的性质观察下面图形,长方形在生活中无处不在.情景引入思考 长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系？你还能举出其他的例子吗？矩形矩形的性质活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 也叫做长方形.归纳总结平行四边形不一定是矩形.思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？可以从边，角，对角线等方面来考虑.活动2：准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.(1) 请同学们以小组为单位，测量身边的矩形 (如书本，课桌，铅笔盒等) 的四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果.ABCDO物体测量（实物）（形象图）（2）根据测量的结果,你有什么猜想？猜想1 矩形的四个角都是直角. 猜想2 矩形的对角线相等. 你能证明吗？证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B =∠D，∠C =∠A，AB∥DC. ∴∠B +∠C = 180°. 又∵∠B = 90°， ∴∠C = 90°. ∴∠B =∠C =∠D =∠A = 90°.(1) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠B=90°.求证：∠B =∠C =∠D =∠A = 90°.证一证证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ AB = DC，∠ABC =∠DCB = 90°，在 △ABC 和 △DCB 中，∵ AB = DC，∠ABC = ∠DCB，BC = CB，∴ △ABC≌△DCB.∴ AC = DB.ABCDO(2) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O. 求证：AC = DB.矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.归纳总结几何语言描述：在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 DB 相交于点 O，故∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°，AC = DB.ABCDO例1 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线 AC，BD 相交于点 O，∠AOB = 60°，AB = 4 ，求对角线的长.解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AC = BD，OA = OC = AC，OB = OD = BD. ∴OA = OB. 又∵∠AOB = 60°， ∴△OAB 是等边三角形. ∴OA = AB = 4. ∴AC = BD = 2OA = 8.ABCDO典例精析矩形的对角线相等且互相平分例2 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的点，AE = AD， DF⊥AE，垂足为 F. 求证：DF = DC.ABCDEF证明：连接 DE.∵AD = AE，∴∠AED =∠ADE.∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ AD∥BC，∠C = 90°.∴∠ADE =∠CED.∴∠CED =∠AED.又∵ DF⊥AE， ∴ DF = DC.例3 如图，将矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点 C 落在 C′ 处，BC′ 交 AD 于点 E，AD = 8，AB = 4，求△BED 的面积．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠2＝∠3.又由折叠知∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.设 BE＝DE＝x，则 AE＝8－x.∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，∴ 42 ＋ (8－x)2 ＝ x2，解得 x＝5，即 DE＝5.∴S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10.矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查思考 请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考.  矩形是不是轴对称图形? 如果是，那么对称轴有几条?矩形的性质：对称性： 图形，对称轴： 条.轴对称2练一练1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于 点 O，下列说法错误的是 （　　） A．AB∥DC B．AC = BD C．AC⊥BD D．OA = OB ABCDOC2. 如图，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别交 AB、CD 于 E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_________.3. 如图，在矩形 ABCD 中，AE⊥BD 于 E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAE 和∠EAO 的度数．解：∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴∠DAB＝90°，AO＝ AC，BO＝ BD，AC＝BD，∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.又∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1，∴ ∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.∵ AE⊥BD，∴ ∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°.∴ ∠OAB＝∠ABE＝67.5°.∴ ∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.直角三角形斜边上的中线的性质活动：如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线 AC 剪去一半.问题 Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？ 它的长度与斜边AC有什么关系？猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.试给出数学证明.证明：延长 BO 至 D，使 OD = BO， 连接 AD，CD.∵ AO = OC，BO = OD，∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∵∠ABC = 90°，∴ 平行四边形 ABCD 是矩形.∴ AC = BD. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.证一证OD例4 如图，在 △ABC 中，AD 是高，E、F 分别是 AB、AC 的中点．(1)若 AB＝10，AC＝8，求四边形 AEDF 的周长；解：∵ AD 是△ABC 的高， E、F 分别是 AB、AC 的中点，∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5， DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4，∴四边形 AEDF 的周长为 AE＋DE＋DF＋AF ＝5＋5＋4＋4＝18 .典例精析(2) 求证：EF 垂直平分 AD.证明：∵ DE＝AE，DF＝AF，∴ E、F 在线段 AD 的垂直平分线上， ∴ EF 垂直平分 AD. 当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想到直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．例5 如图，已知 BD，CE 是△ABC 的高，点 G，F 分别是 BC，DE 的中点，试说明 GF⊥DE.解：连接 EG，DG. 由题意知 ∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵点 G 是 BC 的中点， ∴ EG＝ BC，DG＝ BC. ∴ EG＝DG. 又∵点 F 是 DE 的中点，∴ GF⊥DE. 在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化到等腰三角形中，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．如图，在△ABC 中，∠ABC = 90°，BD 是斜边 AC 上的中线.(1)若 BD = 3 cm，则 AC =_____cm；(2)若∠C = 30°，AB = 5 cm，则 AC =_____cm， BD = _____cm.6105练一练1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A. 对角线相等 B. 对边相等 C. 对角相等 D. 对角线互相平分 2.若直角三角形的两条直角边分别 5 和 12，则斜边上的中线长为 ( ) A. 13 B. 6 C. 6.5 D. 不能确定 3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为 40°，则两条对角线相交的锐角是 ( ) A. 20° B. 40° C. 80° D. 10°ACC4. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F 分别是 AO、AD 的中点，若 AB = 6 cm，BC = 8 cm，则 EF =______cm．2.55. 如图，△ABC 中，E 在 AC 上，且 BE⊥AC，D 为 AB 中点，若 DE = 5，AE = 8，则 BE 的长为______．6第4题图第5题图6. 如图，四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC，BD 相交于点 O，BE∥AC 交 DC 的延长线于点 E.（1）求证：BD = BE；（2）若∠DBC = 30°， BO = 4，求四边形 ABED 的面积.ABCDOE(1)证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AC = BD，AB∥CD.又∵ BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形.∴ AC = BE.∴ BD = BE.(2)解：∵ 在矩形 ABCD 中，BO = 4，∴ BD = 2BO = 2×4 = 8.∵ ∠DBC = 30°，∴ CD = BD = ×8 = 4，∴ AB = CD = 4，DE = CD + CE = CD + AB = 8.在 Rt△BCD 中，BC =∴ 四边形 ABED 的面积= ×(4+8)× = .ABCDOE7.如图，在矩形 ABCD 中，AB = 6，AD = 8，P 是 AD 上的动点，PE⊥AC 于 E，PF⊥BD 于 F，求 PE + PF 的值.能力提升：解：连接 OP.∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠DAB = 90°，OA = OD = OC = OB.在 Rt△BAD 中，由勾股定理得 BD = 10，∴ AO = OD = 5.∵ S△APO + S△DPO = S△AOD，即 5PE + 5PF = 24.矩形的相关概念及性质具有平行四边形的一切性质四个内角都是直角，两条对角线互相平分且相等轴对称图形有两条对称轴直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半有一个角是直角的平行四边形叫做矩形