2023届高考数学二轮复习专题5三角函数二级结论讲练学案

专题5  三角函数

二级结论1：降幂扩角公式

【结论阐述】

【应用场景】降幂扩角公式重要作用是降次——把高次降为低次，进而化简､求值或证明.

【典例指引1】

1．已知则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先根据已知求出，再化简代入得解.

【详解】由得，

故.

所以.

故选：B

【点睛】方法点睛：三角恒等变换求值常用的方法有：“三看三变”，“三看”指的是看角、看名、看式，“三变”指的是变角、变名、变式.要根据已知条件，灵活选择方法求解.

【典例指引2】

（2022·重庆南开中学模拟预测）

2．函数的最小值为___________.

【答案】

【分析】化简函数解析式为，设，利用辅助角公式结合正弦型函数的有界性可求得的最小值.

【详解】，

设，可得，可得，

其中，，

因为，所以，，解得.

因此，的最小值为.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法：

①利用和的最值直接求；

②把形如的三角函数化为的形式求最值；

③利用和的关系转换成二次函数求最值．

【针对训练】

一､单选题

（2022·辽宁·沈阳市第三十一中学高三开学考试）

3．已知函数，．若在区间内有零点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】应用降幂、辅助角公式得，由正弦型函数的性质及在有零点可得，，即可求参数范围.

【详解】，

令，可得且，则，，

又，在有零点，则，，即，，

所以时；时；时；时；…

综上，.

故选：D

4．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后得函数的图象，则图象的一个对称中心为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】通过降幂公式以及辅助角公式将化为，通过平移规律可得的解析式，再根据正弦函数的性质可得结果.

【详解】因为

将函数的图象向左平移个单位长度后得函数，

令，得，令，得，

所以图象的一个对称中心为，

故选：B.

5．（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】利用诱导公式和降幂公式化简即得解.

【详解】解：由题得.

故选：C

6．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据已知及所求，先利用二倍角公式及三角函数的基本关系得到，然后利用角的拆分以及两角差的正弦公式即可得解.

【详解】解：由已知可得，

，，，.

故选：A.

（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）

7．函数的图象的一个对称中心是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用两角和的正弦公式、降幂公式，辅助角公式，化简可得，令，即可求得对称中心，对k赋值，即可求得答案.

【详解】函数

=

令，解得，即对称中心为.

令，可得一个对称中心为，

无论k取任何整数，，故BCD错误.

故选：A

二､多选题

（2022·江苏连云港·二模）

8．已知函数，则（    ）

A．函数的最小正周期为

B．点是函数图象的一个对称中心

C．将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数图象关于轴对称

D．函数在区间上单调递减

【答案】BCD

【分析】先将化简为，再结合余弦函数的性质判断4个选项即可.

【详解】，故最小正周期为，A错误；

，点是一个对称中心，B正确；

向左平移个单位长度得到，关于轴对称，C正确；

，单调递减，D正确.

故选：BCD.

（2022·湖南·衡阳市八中模拟预测）

9．已知函数，则 （    ）

A．在上有两个零点

B．在上单调递增

C．在的最大值是1

D．的图像可由向右移动得到

【答案】AB

【分析】利用降幂公式、二倍角公式，辅助角公式化简整理，可得，根据余弦型函数的性质，逐一分析各个选项，即可得答案.

【详解】

，

A选项，令，

所以在上有两个零点.故A正确；

B选项，令，

所以的单调递增区间，

令k=0，可得一个递增区间为，且，所以B正确；

C选项，因为，所以，

所以当，即时，，所以C错误；

D选项，向右移动，则，所以D错误.

故选：AB

【点睛】解题的关键是熟练掌握恒等变换公式、余弦型函数的性质，并灵活应用，综合性较强，属中档题.

三､填空题

10．若是第三象限角，且，则___________.

【答案】

【分析】利用两角差的正弦公式化简已知条件，求得，利用同角三角函数的基本关系式求得，结合降幂公式求得.

【详解】，

由于是第三象限角，所以，

所以.

故答案为：

（2022·新疆·二模）

11．已知，，则__________．

【答案】##

【分析】根据同角的三角函数关系式，结合降幂公式、诱导公式进行求解即可.

【详解】解：由，，得，

所以．

故答案为：

12．已知函数，若在区间内没有零点，则ω的取值范围是__.

【答案】

【分析】由三角恒等变换得，进而根据题意得，再分别解不等式即可得答案.

【详解】解：函数

∵在区间内没有零点，

∴，即

∴①或②，

解①得，即，由于，故，即

解②得，即，由于，故，即，

综上可得的取值范围是

故答案为：

二级结论2：升幂缩角公式

【结论阐述】

【应用场景】升幂缩角公式主要作用是开方——升幂为平方式，然后开平方，进而化简､求值或证明.

【典例指引1】

13．已知是第二象限的角.化简：的值为____________.

【答案】

【解析】本题可以先通过是第二象限的角得出，然后对进行化简即可得到结果．

【详解】因为是第二象限的角，所以，

所以

.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数式的化简，利用三角函数的同角三角函数关系式进行化简是本题的关键．

【典例指引2】

14．化简结果：___________.

【答案】2sin2

【分析】首先结合二倍角公式以及同角的平方关系进行化简整理，再结合角的范围，确定三角形函数值的正负符号，进而去绝对值符号即可求出结果.

【详解】

因为，所以，

所以原式

故答案为：

【针对训练】

一､单选题

15．若，则 等于（    ）

A．cos α－sin α B．cos α＋sin α

C．－cos α＋sin α D．－cos α－sin α

【答案】D

【分析】利用降次公式化简求得表达式，求得正确答案.

【详解】依题意，

.

故选：D

（江苏省南通市2022-2023学年高三上学期第一次质量监测数学试题）

16．通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即.记，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将代入，根据恒等变换公式化简，即可求得结果.

【详解】，

故选:A.

（2022·江苏省如皋中学高二开学考试）

17．设，，，则有（    ）.

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先利用辅助角公式和二倍角公式化简a，b，c，再进行比较.

【详解】解：由题意得：，

，，

，，

，

故选：C

二､多选题

（2022·甘肃兰州·高一期末）

18．下列各式的值是的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】利用二倍角公式、特殊角三角函数值依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，，A正确；

对于B，，B正确；

对于C，，C正确；

对于D，，D错误.

故选：ABC.

三､填空题

19．若，则_______________．

【答案】

【分析】利用同角关系“”，以及二倍角的正弦公式，把根号配成完全平方式，开出来，根据的范围去绝对值整理得答案.

【详解】

                          ，

由于，所以，

当时，，

原式，

当时，，

原式，

综上，原式．

故答案为：.

（2022·江西·南昌十中高一期中）

20．若，化简______．

【答案】

【分析】由题设可得，再应用平方关系、二倍角正弦公式化简目标式即可.

【详解】由题设，，则，

又.

故答案为：

（2022·上海市奉贤区奉城高级中学高一月考）

21．化简：若，则____________.

【答案】

【分析】根据，将原式化简为，根据，去掉绝对值符号即可.

【详解】

因为，所以，，且

所以原式

故答案为：.

（2022·江苏·高一）

22．若0<α<，则＋的化简结果是_________.

【答案】2cos##

【分析】利用同角三角函数关系，结合角度范围，即可化简求值.

【详解】解：原式

，

∵，∴，∴，，

∴原式.

故答案为：.

（2022·辽宁抚顺·高一期末）

23．已知，则化简的结果为___________

【答案】

【分析】由正弦的二倍角公式和平方关系变形化简．

【详解】

因为，所以，，

所以．

故答案为：．

二级结论3：万能公式

【结论阐述】①；②；③.

【应用场景】使用万能公式，可以把含有的三角函数式化成只含有的式子，为方便起见，可以用令，即化为一个只含的式子，进而应用相关知识解决问题.因此万能公式架起了三角与代数间的桥梁.万能公式具体作用含有以下四点：①将角统一为；②将函数名称统一为（正切函数）；③任意实数都可以表示为的形式，可以用正切函数换元.

【典例指引1】

（2022·四川·石室中学高一月考）

24．已知锐角满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出，由两角和的正切公式展开，结合已知求得和，然后求得，再由两角差的正弦公式计算．

【详解】由得，所以，

又，所以，

由，解得，或（舍去，此时不是锐角），

，是锐角，，

，则，

所以．

故选：C．

【点睛】思路点睛：本题考查两角和正切公式，万能公式，同角间的三角函数关系，两角差的正弦公式．解题关键是确定选用公式的顺序，解题时由函数名及角的关系确定选用的公式及顺序．．

【典例指引2】

（2022·河南·焦作市第一中学高二期中）

25．已知且，则（    ）

A．2 B．1 C．0 D．

【答案】D

【分析】由已知条件，利用万能公式可得，结合范围即可求.

【详解】由，，

所以，即，

又，可得.

故选：D

【针对训练】

一､单选题

26．已知角的大小如图所示，则（    ）

A． B．5 C． D．

【答案】A

【分析】由图中的信息可知 ，化简 即可.

【详解】由图可知， ，

；

故选：A.

27．若，，则的值为（    ）

A． B． C．0 D．

【答案】D

【分析】结合二倍角公式化简可求，再结合万能公式可求.

【详解】因为，，所以且，

解得，所以.

故选：D

（2022·吉林·长春十一高高三月考）

28．曲线在处的切线的倾斜角为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出的导函数，进而求出时，，由导函数的几何意义和倾斜角与斜率的关系，求出，利用万能公式求出结果.

【详解】，当时，，所以，由万能公式得：

所以

故选：B

（2022·辽宁沈阳·一模）

29．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】运用诱导公式及齐次化即可或解.

【详解】由，得，所以，

从而

故选：B

30．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得的值.

【详解】.

故选：A.

二､填空题

31．已知则的值为______.

【答案】

【分析】应用三角函数的恒等变换公式对变形求得，再由求得，可得结论．

【详解】，

所以，

，

所以．

故答案为：．

（2022·重庆第二外国语学校高二月考）

32．已知在平面直角坐标系中直线l恒过定点（2，1）.与x正半轴y正半轴分别相交A、B两点，O为坐标原点，则△周长的最小值是_____________.

【答案】10

【分析】设出直线在两坐标轴上的截距,再设,把三角形的三边用表示，然后利用万能公式化简，换元后由基本不等式求最值.

【详解】设三角形三个顶点坐标分别为O(0,0)，A(a,0)，B(0,b)，其中a>0，b>0，

设，则

，

△周长=

，

令，则△周长=

当且仅当，即时，周长取最小值10.

故答案为：10

33．已知sin 2θ＝，0＜2θ＜，则＝________．

【答案】##0.5

【分析】利用二倍角公式变形求出，根据三角恒等变换化简待求式为，即可代入求解.

【详解】因为，所以，

所以，

因为

所以，

即

故答案为：

（2022·四川·高三期中）

34．已知，则________．

【答案】

【分析】先用诱导公式求出，再用万能公式求出和，再用正弦的和角公式进行求解

【详解】因为，由诱导公式得：

所以．

，

．

故答案为：

（2022·全国·高一单元测试）

35．已知为锐角且，则的值是________．

【答案】##-0.6

【分析】由题意首先求得的值，然后利用诱导公式和二倍角公式求得三角函数式的值即可.

【详解】由，

得，

解得，或.

因为为锐角，故.

故答案为: .

36．已知向量，，且，则______．

【答案】

【分析】由向量垂直的坐标表示可得，再由万能公式有求即可.

【详解】向量，，且，

∴，即，则，

∴．

故答案为：

（2022·江西·贵溪市实验中学高三月考）

37．已知，，若，则______．

【答案】

【分析】由向量平行的坐标运算求出，然后由万能公式计算．

【详解】因为，所以，所以，所以，所以．

故答案为：．

（2022·北京市育英学校高一期末）

38．已知，，则的值为___________

【答案】

【分析】先由求出、的值，再利用余弦的二倍角公式以及诱导公式化简，将、的值代入即可求解.

【详解】因为，所以，因为，

所以

，

，

故答案为：.

（2022·广东·新会陈经纶中学高三月考）

39．已知，则______.

【答案】.

【分析】令，则，，进而可求得结果.

【详解】令，则，且，所以.

故答案为：.

（2022·上海市实验学校高一期中）

40．若，则函数的值域为__________.

【答案】

【分析】当时，令，, 然后利用函数的奇偶性与基本不等式即可求解

【详解】当时，，

当时，令，

则

因为，所以，所以

所以在R是奇函数

当时，，

其中时，取得等号

所以

当，根据奇函数性质

当时，

所以的值域为；

综上，的值域为

故答案为：

（2022·浙江省杭州学军中学高三月考）

41．已知角的终边在直线上，则___________；___________.

【答案】     ##0.5     ##0.8

【分析】由已知，结合直线方程及斜率与倾斜角的关系直接写出，应用诱导公式、万能公式可得即可求值.

【详解】由直线的斜率为，则，

又.

故答案为：.

三､解答题

42．已知且，求：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，利用同角三角函数的关系，可得出，即可直接利用二倍角公式求解；

（2）在（1）的基础上，直接利用二倍角公式求解.

（1）

∵，∴，

∴，

∴.

（2）

.

43．已知，，求的值．

【答案】

【分析】先用万能公式求出的值，再根据得出，最后联立可求得答案.

【详解】，则有①，

又已知，从而有②．

联立①②可得，．

∴．