2023届高考数学二轮复习专题4指数函数与对数函数二级结论讲练学案

专题4  指数函数与对数函数

二级结论1：不同底的指数函数图像变化规律

【结论阐述】当底数大于时，底数越大指数函数的图像越靠近轴；当底数大于且小于时，底数越小，指数函数的图像越靠近轴.即如图1所示的指数函数图像中，底数的大小关系为：，即图1中由轴右侧观察，图像从下至上，指数函数的底数依次增大.

图1

【应用场景】利用这一结论根据图像迅速判断对应指数函数的底数大小，从而对底数进行定位.

【典例指引1】

（2022北京市十一学校高一上学期期中考试）

1．已知函数、、、的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】如图，作出直线得到，即得解.

【详解】

如图，作出直线得到，

所以.

故选：B

【典例指引2】

（2021·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期中）

2．如图是指数函数（1），（2），（3），（4）的图象，则，，，与的大小关系是__________

【答案】

【分析】作直线，由图可知，，，与的大小关系.

【详解】

作直线，由图可得，即.

故答案为：.

【针对训练】

（2022·全国·高一课时练习）

3．函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（    ）

A．，，， B．，，，

C．，，，， D．，，，，

【答案】C

【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.

【详解】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而.

故选：C．

（2022·全国·高一课时练习）

4．已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断.

【详解】与是增函数，与是减函数，在第一象限内作直线，

该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A．

故选：A

5．已知实数a，b满足等式，下列五个关系式：

①；②；③；④；⑤

其中有可能成立的关系式有（    ）

A．① B．②⑤ C．②③ D．④

【答案】AB

【分析】画出指数函数，的图象，利用单调生即可得出答案.

【详解】如图所示，数，的图象，

由图象可知：

( 1 ) 当时，若，则；

( 2 ) 当时，若，则；

( 3 ) 当 时，若 ，则 .

综上可知，有可能成立的关系式是①②⑤ .

故选：AB

（2022·全国·高一课时练习）

6．（多选）已知实数a，b满足等式，则下列关系式中不可能成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】根据的图象，讨论与1的大小关系判断的大小.

【详解】由题设，，而的图象如下：

∴当时，，即；

当时，；

当时，，即；

综上，故C、D不可能成立．

故选：CD

7．已知实数满足等式，则下列可能成立的关系式为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】在同一坐标系内分别画出函数和的图像，结合图像即可判断.

【详解】由题意，在同一坐标系内分别画出函数和的图像，如图所示，

由图像知，当时，，故选项A正确；

做出直线，当时，若，则，故选项B正确；

当时，若，则，故选项C正确；

当时，易得，则，故选项D错误.

故选：ABC.

（2022·湖南·高一课时练习）

8．设都是不等于的正数，在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小顺序是______________．

【答案】

【分析】先根据指数函数的单调性，确定a，b，c，d与1的关系，再由时，函数值的大小判断.

【详解】因为当底数大于1时，指数函数是定义域上的增函数，

当底数小于1时，指数函数是定义域上的减函数，

所以c，d大于1，a，b小于1，

由图知： ，即， ，即 ，

所以，

故答案为：

二级结论2：不同底的对数函数图像变化规律

【结论阐述】当底数大于且小于时，底数越小，对数函数的图像越靠近轴；当底数大于时，底数越大，对数函数的图像越靠近轴.即如图2所示的对数函数图像中，底数的大小关系为：，即图2中，在轴上侧观察，图像从左向右，对数函数的底数依次增大.

图2

【应用场景】利用这一结论根据图像迅速判断对应对数函数的底数大小，从而对底数进行定位.

【典例指引1】

9．如图，曲线，，，分别对应函数，，，的图象，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据对数函数特点，可作直线，根据各曲线与直线的交点越靠左，对应底数越小判断即可

【详解】作直线，它与各曲线，，，的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有：.

故选：A

【点睛】本题考查对数函数底数大小的判断，技巧是：作一条的直线，与曲线交点在第一象限越靠左，则对应底数越小，属于基础题

【典例指引2】

（2022四川绵阳南山中学高一上学期期中考试）

10．已知实数满足等式，下列五个关系式：

①；②；③；④；⑤.

其中可能成立的关系式有________.(填序号)

【答案】①②⑤

【解析】先画出，的图象，考虑动直线与它们的交点情况后可得可能成立的关系式.

【详解】，的图象如图所示：

令，

则当时，由图象可得；

当时，由图象可得；

当时，由图象可得；

故答案为：①②⑤

【点睛】本题考查指数函数的图象和特征，注意底数的变化对图象的影响，注意把大小关系转化为动直线与确定函数图象的交点的横坐标的大小问题，本题属于中档题.

【针对训练】

（2022·新疆巴音郭楞·高一期末）

11．如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（    ）

A．a＞b＞c B．c＞b＞a

C．c＞a＞b D．a＞c＞b

【答案】D

【分析】根据对数函数的图象与单调性确定大小．

【详解】y＝logax的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a＞1，函数y＝logbx，y＝logcx的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b，c∈（0，1），又易知c＞b，故a＞c＞b.

故选：D．

12．若，那么，满足的条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据对数函数图象与性质判断即可得答案.

【详解】解：根据题意知，一定都是大于0且小于1的数，

画出，的图象，如图，

根据函数图象，当时，底数越大，函数值越小，

所以有.

故选：C.

【点睛】本题考查对数函数的图象与性质，是基础题.

（2022·湖南五市十校期末考试）

13．已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.

【详解】因为函数为减函数，所以

又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即

又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，

故选：D

14．设幂函数，指数函数，对数函数在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是（    ）.

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】对四个选项一一验证：

对于A：利用幂函数的图像，直接判断；

对于B：利用指数函数的图像，直接判断；

对于C、D：利用对数函数的图像，进行判断；

【详解】对于A：要判断的是幂函数的图像，根据的图像可以判断，故A正确；

对于B：要判断的是指数函数的图像，作出x=1，看交点，交点高，底数越大，所以，故B正确；

对于C、D：要判断的是对数函数的图像，作出y=1，看交点，交点越靠由，底数越大，所以，故D正确， C错误；

故选：C

（2022·湖南·高一课时练习）

15．对于函数与．

(1)若，你能在直角坐标系中画出它们的大致图象吗？你发现了什么？

(2)若，你能在直角坐标系中画出它们的大致图象吗？你发现了什么？

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

【分析】（1）根据对数函数的性质作答；

（）根据对数函数的性质作答．

（1）

图象如图：

图象都过点，函数都是单调递减，在直线右侧，底数越小，越靠近轴；

（2）

图象都过点，函数都是单调递增，在直线右侧，底数越大，越靠近轴．

（2022·全国·高一课时练习）

16．如图所示是6个函数的图像，依据图中的信息将a，b，c，d从大到小排列.

【答案】.

【解析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性、互为反函数的两个函数图像的特征，进行判断即可.

【详解】通过两个对数函数图像的性质可以得出：；

根据函数的图像与的图像关于对称，所以有，即；

根据三个指数函数的图像可知：，因此有.

【点睛】本题考查了通过指数函数和对数函数的图像比较参数的大小，考查了数形结合的思想，考查了对数函数和指数函数的性质.

二级结论3：方程的根为，方程的根

【结论阐述】若函数是定义在非空数集上的单调函数，则存在反函数.特别地，与（且）互为反函数.

在同一直角坐标系内，两函数互为反函数图像关于对称，即与分别在函数与反函数的图像上.

若方程的根为，方程的根为，则.

【应用场景】同底的对数函数与指数函数互为反函数，利用互为反函数的两个函数图像的对称性来求两方程根的和.

【典例指引1】

17．若实数满足，实数满足，则___________.

【答案】

【分析】可以看作是函数和的图象与直线交点的横坐标，由前两个函数的图象关于直线对称求解．

【详解】，，而和互为反函数，图像关于对称，可知是函数和交点的横坐标，同理是函数与交点的横坐标，且与垂直，作出图像如下，，所以，关于对称，所以.

故答案为：2．

【典例指引2】

18．设为曲线上的动点，为曲线上的动点，则称的最小值为曲线、之间的距离，记作.若：，：，则__________．

【答案】

【分析】由题意，根据两个曲线方程，整理其函数解析式，根据反函数的性质，转化为曲线到直线的最短距离问题，结合导数求切线，可得答案.

【详解】由题意，，，由，则两个函数互为反函数，

即的图像关于对称，所以只需求出曲线上的点到的距离的最小值，

对应的函数为，求导，故斜率为1的切线方程对应的切点为，

从而切线方程为，与的距离为，所以，

故答案为：．

【点睛】由于曲线表示的是两个互为反函数的图像，图像关于直线y=x对称，所以转化为曲线上的点到直线的距离的最小值的2倍．

【针对训练】

19．已知是方程的根，是方程的根，则的值是______________．

【答案】4

【详解】∵，∴，∴是与交点的横坐标．

又∵，∴，∴是与交点的横坐标．

又与互为反函数，其图象关于对称，

由得，∴，∴．

20．已知是方程的一个根，方程的一个根，则___________.

【答案】

【分析】根据函数与方程的关系，将方程的解转化为函数的交点，根据反函数的性质，利用中点坐标公式，可得答案.

【详解】将已知的两个方程变形得，.

令：，，，画出它们的图像，如图，

记函数与的交点为，与的图像的交点为，

由于与互为反函数，且直线与直线垂直，所以与两点关于直线对称，

由，解得，，则.

故答案为：.

21．已知函数，，，若，图像上分别存在点关于直线对称，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据互为反函数的函数图像关于直线对称，只需函数与函数的反函数有交点，即可存在满足题意的点，联立二者，反解参数转化为求函数，的值域问题，利用导数求解即可得到答案.

【详解】的反函数为，设，，

则点在上，即满足，图像上分别存在点关于直线对称，

即方程有解，可得，

令，，

则，当时，，是减函数，

所以，即，

所以.

故选：B.

22．若是方程的解，是方程的解，则等于

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】，再利用函数与函数互为反函数，推出函数图像交点的横坐标与纵坐标的关系

【详解】由题意知是方程的解，是方程的解，

即是函数与函数交点的横坐标，是函数与函数交点的横坐标．

因为函数与函数互为反函数，图像关于对称．

所以等于函数与函数交点的纵坐标，

即

【点睛】方程的解就是对应函数图像的交点，还是函数的零点利用函数与函数互为反函数，推出函数图像交点的横坐标与纵坐标的关系，即可求解本题．

23．已知实数满足，，则___________.

【答案】##10000

【分析】根据方程与函数的关系，整理方程，转化为两个函数的交点，结合指数函数与对数函数的反函数关系，可得交点的轴对称性，利用中点坐标公式，可得答案.

【详解】因为，所以是方程的根；又因为，所以是方程的根；

又因为与互为反函数，其图像关于对称，且直线与的交点的横坐标为，

因为直线与垂直，所以，又因为，

所以.

故答案为：.

24．已知实数满足：，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将变为，化为，令，则方程的解即为函数与交点的横坐标，关于的方程的解即为函数与交点的横坐标，根据与互为反函数，得

函数与的交点为函数与交点和与交点的中点，作出函数图像，结合图像，求出函数与的交点得坐标，即可得解.

【详解】解：由，则，

由，则，即，

则，，

，

令，

则方程的解即为函数与交点的横坐标，

方程，即关于的方程的解即为函数与交点的横坐标，

因为与互为反函数，则它们关于对称，

则函数与的交点为函数与交点和与交点的中点，

作出函数图像，如图所示：

联立，解得，即，

所以，即.

故选：C.