2023届高考数学二轮复习专题12解析几何3二级结论讲练学案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题12解析几何3二级结论讲练学案，共29页。学案主要包含了结论阐述，应用场景，典例指引1，典例指引2，整体点评，针对训练等内容，欢迎下载使用。

专题12 解析几何3
二级结论1：抛物线的焦点弦长公式
【结论阐述】
不妨设抛物线方程为，如图1，准线与轴相交于点，过焦点的直线与抛物线相交于两点，为原点，为与对称轴正向所成的角，则有如下的焦点弦长公式：．
【应用场景】运用焦点弦长公式可以很方便的计算抛物线的焦点弦长．
【典例指引1】
（2022年高考全国乙卷理5）
1．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B

【反思】
1．客观题中的抛物线一般考查抛物线定义、几何性质及运算能力，特别是求解有关线段长度时要注意定义、方程思想及根与系数关系的应用．
2．设AB是过抛物线y2＝2px（p>0）焦点F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），则
①x1x2＝，y1y2＝－p2．
②，|AB|＝x1＋x2＋p＝（α为弦AB的倾斜角）．
【典例指引2】
（2022年高考甲卷20）
2．设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；
（2）法一：设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解.
（1）
抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时，所以，
所以抛物线C的方程为；
（2）
[方法一]：【最优解】直线方程横截式
设，直线，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直线，代入抛物线方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，
若要使最大，则，设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，
，所以，
所以直线.
[方法二]：直线方程点斜式
由题可知，直线MN的斜率存在.
设,直线
由 得：，,同理，.
直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，.
代入抛物线方程可得:,所以，同理可得，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，，所以，所以直线.
[方法三]：三点共线
设，
设,若 P、M、N三点共线，由
所以，化简得，
反之，若,可得MN过定点
因此，由M、N、F三点共线，得，
      由M、D、A三点共线，得，
      由N、D、B三点共线，得，
则，AB过定点（4,0）
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，所以直线.
【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；
法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；
法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．

【反思】本题第（1）问也是送分题，难度甚至小于选择题的前3题，难题争取得部分分应成为每位考生的追求，解析几何解答题一个突出特点是运算量比较大，相等一部分学生会因运算不过关出错，或嫌麻烦，直接放弃，其实解析几何解答题第（1）问一般为求圆锥曲线方程，难度比较小，不要放弃，第（2）问题的思路还是比较容易想到的，平时多做几道类似的题，总结运算规律，争取做到题不二错，这部分分通过努力还是能够得到的．
【针对训练】
3．设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（    ）
A． B．8 C．12 D．
【答案】B
【分析】由题意得出焦点坐标，直线方程，由直线方程与抛物线方程联立，由抛物线过焦点的弦长公式可得出答案.
【详解】依题意可知抛物线焦点为，直线AB的方程为，
代入抛物线方程得，可得，
根据抛物线的定义可知直线AB的长为．
故选：B．
4．抛物线的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分，则m与n的关系是（    ）
A．m＋n＝mn B．m＋n＝4 C．mn＝4 D．无法确定
【答案】A
【分析】根据抛物线的定义可得焦点弦，，联立过焦点的直线方程和抛物线方程，根据韦达定理即可求解.
【详解】抛物线的焦点，准线x＝－1，
设，把它代入得，
设，，则，由抛物线定义可得，，
∴，，
∴m＋n＝mn．
故选:A
（2022·山西太原·二模）
5．过抛物线焦点F的直线交抛物线于M，N两点，若，，则的值为（    ）
A． B． C．或3 D．或2
【答案】D
【分析】直接根据抛物线中切点弦的性质即可得结论.
【详解】在抛物线中，由焦点弦的性质可得，
解得或，
所以或，
故选：D.
6．已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为A，是抛物线上的点.若轴，则以为直径的圆截直线所得的弦长为(    )
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】求出M坐标及直线AM的方程，根据圆的弦长公式即可求解．
【详解】由题知，，，，
∵轴，∴，根据抛物线对称性，不妨取，
则，
原点O到直线AM的距离为：，
∴以为直径的圆截直线所得的弦长为：﹒
故选：B﹒
（2022·江苏·高二）
7．己知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A、B两点，直线与C交于D、E两点，则的最小值为（    ）
A．24 B．22 C．20 D．16
【答案】A
【分析】由抛物线的性质：过焦点的弦长公式计算可得.
【详解】设直线，的斜率分别为，
由抛物线的性质可得，，
所以，
又因为，所以，
所以，
故选：A.
（2022全国·高二月考）
8．已知抛物线，过抛物线焦点F的直线与抛物线C交于A､B两点，交抛物线的准线于点P，若F为PB.中点，且，则|AB|=（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N，由抛物线定义知，，又F为PB.中点，求得，从而根据求得，，，进而求得.
【详解】如图，分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N，

由抛物线定义知，，又F为PB.中点，
则，，
则，，，
则
故选：D
（2022辽宁·高二月考）
9．已知抛物线方程为，O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，A，B的纵坐标之积为－8，且，则的面积是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】不妨设A在第一象限，B在第四象限，设出AB的方程与抛物线方程联立由A，B的纵坐标之积为－8，解出，再结合，可以解出A，B的纵坐标，根据的面积为可得答案.
【详解】不妨令A在第一象限，B在第四象限，设AB的方程为，
由得，
则，所以.
又因为，所以，即，代入
可得，由B在第四象限，则，所以
所以.
故选：D
（2022年新高考Ⅰ卷11，多选题）
10．已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（    ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
【答案】BCD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD

二级结论2：抛物线中的三类直线与圆相切问题
【结论阐述】
不妨设抛物线方程为，如图1，准线与轴相交于点，过焦点的直线与抛物线相交于两点，为原点，为与对称轴正向所成的角，的中点为，又作，垂足分别为，则有如下结论（图2）：

图1                   图2                                   图3
①以为直径的圆与准线相切；
②以为直径的圆与轴相切；
③以为直径的圆与轴相切；
④分别以为直径的圆之间的关系：圆与圆外切；圆与圆既与轴相切，又与圆相内切．
结合圆的几何性质易得有关直线垂直关系的结论，如图3有，
①以为直径的圆的圆心在准线上的射影与两点的连线互相垂直，即；
②以为直径的圆的圆心在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即；
③以为直径的圆的圆心在轴上的射影与两点的连线互相垂直，即；
④以为直径的圆必过原点，即；
⑤．
【应用场景】
运用焦点弦与圆有关的结论可以很方便的解决直线、圆、抛物线有关综合题，解题中要注意抛物线的定义、几何性质以及圆的几何性质的应用．
【典例指引1】
11．在平面直角坐标系中，已知点，直线，动直线垂直于于点，线段 的垂直平分线交于点，设的轨迹为.
(1)求曲线的方程；
(2)以曲线上的点为切点作曲线的切线，设分别与，轴交于，两点，且恰与以定点为圆心的圆相切. 当圆的面积最小时，求与面积的比.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据垂直平分线的性质可知，满足抛物线的定义，点是抛物线的焦点，是抛物线的准线，即可得到抛物线方程；
（2）首先设切线方程与抛物线方程联立，，解得，回代切线方程得，分别求出点、的坐标，并且求出圆心到直线的距离的最小值，并且根据基本不等式里面等号成立的条件求出切点坐标，回代各点的坐标，计算两个三角形的面积.
（1）
解：由题意得，
∴点到直线的距离等于它到定点的距离，
∴点的轨迹是以为准线、为焦点的抛物线，
∴点的轨迹的方程为．
（2）
解：由题意知切线的斜率必然存在，设为，则，
由，得，即，
由得，
∴，
令则，∴，
令则，∴，
点到切线的距离（当且仅当时取等号）
∴当点的坐标为时，满足题意的圆的面积最小，
此时，，
所以，，
∴，即与的面积比为．
【反思】本题考查了抛物线的标准方程，抛物线的几何性质，以及直线和圆，直线和抛物线的位置关系的相关问题，当题设涉及直线，圆，圆锥曲线时，一般是直线与圆锥曲线相交于两点，需联立方程，得到根与系数的关系，而直线与圆经常利用圆的几何性质，得到一些常量，这些不变的量和圆锥曲线建立联系，从而进一步求解．
【典例指引2】
12．已知抛物线的准线为l，记l与y轴交于点M，过点M作直线与C相切，切点为N，则以MN为直径的圆的方程为（    ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【解析】设切线，联立，根据得到，计算或，再计算圆方程得到答案.
【详解】，设切线，联立，故，，解得，故，则或
故以MN为直径的圆的方程为或
故选：C.
【点睛】本题考查了圆方程，抛物线的切线，意在考查学生的综合应用能力.
【针对训练】
一、单选题：
13．阿基米德（公元前287年---212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称△为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线焦点F时，△具有以下特征：（1）P点必在抛物线的准线上；（2）△为直角三角形，且;（3）.若经过抛物线焦点的一条弦为AB，阿基米德三角形为△，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为（    ）
A．x-2y-1=0 B．2x+y-2=0
C．x+2y-1=0 D．2x-y-2=0
【答案】A
【分析】线段AB经过抛物线y2＝4x焦点，由“阿基米德三角形”的特征可得P点坐标，从而得直线PF的斜率，又PF⊥AB，即得直线AB斜率，由点斜式可求直线AB的方程．
【详解】抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为（1，0），准线方程为：x＝﹣1，
线段AB经过抛物线y2＝4x焦点，由△PAB为“阿基米德三角形”，
可得P点必在抛物线的准线上，则点P（﹣1，4），
直线PF的斜率为：＝﹣2，
又∵PF⊥AB，∴直线AB的斜率为，
∴直线AB的方程为：y﹣0＝，即x﹣2y﹣1＝0，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义以及抛物线的性质，考查直线方程的求解，考查学生分析问题的能力，是中档题．
14．抛物线的焦点为，是经过抛物线焦点的弦，是线段的中点，经过，，作抛物线的准线的垂线，，，垂足分别是，，，其中交抛物线于点.下列说法不正确的是
A． B．
C．是线段的一个三等分点 D．
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义及平面几何性质逐一判断即可.
【详解】由抛物线的定义，得，.又，
则，正确.由，可知是直角三角形，是斜边上的中线，所以，而，所以.所以，可知，所以，正确.在中，，可知，所以，正确.由，可知，所以，即是的中点，故不正确.

故选C
【点睛】本题考查抛物线的定义，考查平面几何的性质，考查数形结合的数学思想，属于中档题.
15．设抛物线的焦点为 ，点在 上，，若以 为直径的圆过点（0,2），则的方程为
A．或
B．或
C．或
D．或
【答案】C
【详解】∵抛物线 方程为,∴焦点，
设,由抛物线性质,可得，
因为圆心是的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为，
由已知圆半径也为,据此可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
即,代入抛物线方程得，所以p=2或p=8.
所以抛物线C的方程为或.
故答案C.

【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与简单几何性质，圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题，本题给出抛物线一条长度为的焦半径,以为直径的圆交抛物线于点，故将圆心的坐标表示出来，半径求出来之后再代入到抛物线中即可求出的值，从而求出抛物线的方程，因此正确运用圆的性质和抛物线的简单几何性质是解题的关键.

（2022·安徽宣城中学高二月考）
16．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C:y2=2px()的焦点为F，直线x=3与抛物线C交于A，B两点，｜AF|=4，圆E为的外接圆，直线OM与圆E切于点M，点N在圆E上，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知及抛物线的定义，可求，进而得抛物线的方程，可求，，的坐标，直线的方程，可得圆的半径，求得圆心，设的坐标，求得的坐标，结合向量数量积的坐标表示，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得所求范围．
【详解】解：由题意，设，所以，解得，
所以抛物线的方程为，，，，
所以直线的方程为，

设圆心坐标为，，所以，解得，即，
圆的方程为，
不妨设，设直线的方程为，则，
根据，解得，
由，解得，
设，所以，
因为，
所以．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是：首先求出圆的方程为，然后利用直线OM与圆E切于点M，求出M点的坐标，引入圆的参数方程表示N点坐标，再根据向量数量积的坐标表示及辅助角公式，可得所求范围．.
17．抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设先由抛物线的定义求出，再由余弦定理结合基本不等式求出的最小值即可求解.
【详解】设 连接 ，设在上的投影为，由抛物线的定义，可得，则，则在中，由余弦定理可得，而，即（当且仅当时取等号）

故选：C.
（2022陕西西安八十五中高三月考）
18．已知抛物线的焦点到准线的距离为，点在抛物线上，点在圆上，直线分别与圆仅有1个交点，且与抛物线的另一个交点分别为，若直线的倾斜角为，则（    ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】C
【分析】根据题意求得，得到，设过点与圆相切直线的斜率为，得到切线方程，利用，结合韦达定理，求得，联立方程组 ，取得，得到，
结合，列出方程，即可求解.
【详解】由抛物线的焦点到准线的距离为，可得，
所以抛物线的方程为，
又由，可得圆心坐标为，半径，
设过点与圆相切的直线的斜率为，
可得方程为，即，即，
则圆心到直线的距离为，
整理得，可得，
联立方程组 ，可得，
即，所以，
所以，
因为直线的倾斜角为，所以
可得，
解得或.
故选：C.

（2022·内蒙古·赤峰二中高二月考）
19．抛物线的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】设，由抛物线定义，梯形的中位线定理，得，再根据余弦定理得，结合基本不等式求得的范围，从而得到的最大值.
【详解】设，连接，过A作准线l的垂线，垂足为Q，过B作准线l的垂线，垂足为P，

由抛物线的定义得：，
则.
则在中，由余弦定理可得：，
而，
因此，即（当且仅当a=b时取等号）.
故选：A
【点睛】本题考查了抛物线的基本性质，综合运用了余弦定理，基本不等式知识，属于较难题.
二、多选题
20．抛物线C：的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到时，，直线l与抛物线相交于A，B两点，点，下列结论正确的是（   ）
A．抛物线的方程为
B．的最小值为6
C．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与x轴相切
D．若过A，B的抛物线的两条切线交准线于点T，则A，B两点的纵坐标之和最小值为2
【答案】CD
【分析】根据抛物线的定义先求得抛物线方程，利用抛物线定义求折线长度之和的最小值，利用中位线与抛物线的概念判断直线与圆位置关系，最后利用导数写出切线方程结合二次函数的性质判断D选项，可得出结果.
【详解】由题设知：，解得：，抛物线方程为，故选项A错误；
连接FM交抛物线于点P，此时的值最小为4，故选项B错误；
如下图所示，

设G为AF的中点，过点A作抛物线的准线于点C，交x轴于点Q，过点G作轴于点D，，故以AF为直径的圆与x轴相切，故选项C正确；
设点，，由即得：，
则切线AT的方程为，即，
同理可得切线BT的方程为，
由，解得：
由题意知T在准线上，，，
，
当时，为最小值，选项D正确，
故选：CD.
【点睛】抛物线的切线问题，常常要设出切点坐标，利用导函数的几何意义来求出切线方程，结合题干中其他条件进行求解.
【反思】抛物线的切线问题，常常要设出切点坐标，利用导函数的几何意义来求出切线方程，结合题干中其他条件进行求解．
三、解答题
（2022·浙江·高三开学考试）
21．抛物线的焦点为，准线为A为C上的一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点，

(1)若的面积为，求的值及圆的方程
(2)若直线与抛物线C交于P，Q两点，且，准线与y轴交于点S，点S关于直线PQ的对称点为T，求的取值范围.
【答案】(1)，圆的方程为
(2)

【分析】（1）由焦半径和圆的半径得到，结合面积求出，圆的方程为；（2）表达出关于直线的对称点的坐标，利用垂直关系列出方程，求出，从而利用两点间距离公式表达出.
（1）
由对称性可知：，
设，由焦半径可得：，
，
解得：
圆的方程为：
（2）
由题意得：直线的斜率一定存在，其中，
设关于直线的对称点为，
则，解得：，
联立与得：，
设，
则，
则，
则
，
解得：（此时O与P或Q重合，舍去）或，
所以
，
【点睛】圆锥曲线相关的取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，由题干条件列出方程，求出变量之间的关系，再表达出弦长或面积等，结合基本不等式，导函数，函数单调性等求出最值或取值范围.
【反思】圆锥曲线相关的取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，由题干条件列出方程，求出变量之间的关系，再表达出弦长或面积等，结合基本不等式，导函数，函数单调性等求出最值或取值范围．
（2022·浙江宁波·高三期末）
22．已知点为抛物线的焦点，设，是抛物线上两个不同的动点，存在动点使得直线PA，PB分别交抛物线的另一点M，N，且，.
(1)求抛物线的方程；
(2)求证：；
(3)当点P在曲线上运动时，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)

【分析】（1）根据焦点坐标求出，进而求出抛物线方程；（2）表示出点M的坐标，代入抛物线方程后得到关于的等量关系，同理求出关于的等量关系，用韦达定理证明出结论；（3）在第二问的基础上，表达出面积，并求出取值范围.
（1）
因为，所以，所以抛物线的方程为；
（2）
由知，点M的坐标为
又点M在抛物线上，所以，
结合整理得：
同理，可得
所以､是关于y的方程的两个不相等的根
故；
（3）
由（2）知､是方程的两个不相等的实根
又，所以
所以，，设AB的中点为Q，
则，
于是
故的面积的取值范围为.
【点睛】抛物线的综合题目，往往会设出抛物线上的点的坐标，利用条件得到方程组，再把两个点的坐标看成一个方程的两个根，利用韦达定理进行求解，这也是与椭圆和双曲线不同的地方.
【反思】抛物线的综合题目，往往会设出抛物线上的点的坐标，利用条件得到方程组，再把两个点的坐标看成一个方程的两个根，利用韦达定理进行求解，这也是与椭圆和双曲线不同的地方．