2023届高考数学二轮复习专题7解三角形二级结论讲练学案

专题7  解三角形

二级结论1：正切恒等式

【结论阐述】若△为斜三角形，则有（正切恒等式）．

【应用场景】这个公式常用于求角、线段长、判断三角形的形状、证明不等式以及求含有式子的最值等题型．

【典例指引1】

（2016年高考江苏卷14）

1．在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______.

【答案】8.

【详解】，又，因此

即最小值为8.

【考点】三角恒等变换，切的性质应用

【名师点睛】消元与降次是高中数学中的主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形中恒有，这类同于正、余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时应多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识．此类问题的求解有两种思路：一是边化角，二是角化边．

【典例指引2】

2．在锐角三角形中，，则的最小值是（    ）.

A．3 B． C． D．12

【答案】B

【分析】化简可得，将化成，即可根据 的范围求解

【详解】∵，∴，

∴，

∴，

∵，当且仅当时取等号，

∴.

故选：B.

【点睛】本题考查三角恒等变换的应用，考查基本不等式求最值，属于中档题.

【针对训练】

（2022·贵州遵义月考）

3．内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则周长的最大值为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

【答案】B

【分析】结合两角和的正切公式、诱导公式求得，结合正弦定理、三角函数值域的求法，求得周长的最大值.

【详解】，，

依题意，

即 ，，

所以为锐角，.

由正弦定理得，

所以，

所以三角形周长为

，

由于，

所以当时，三角形的周长取得最大值为.

故选：B

4．锐角中，角A所对的边为，的面积，给出以下结论：①；②；③；

④有最小值8.其中结论正确的是

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【详解】分析：由三角形的面积公式得，结合正弦定理证得①正确；把①中的用表示，化弦为切证得②正确；由，展开两角和的正切证得③正确；由，结合②转化为关于的代数式，换元即可求得最值，证得④正确.

详解：由，得，

又，得，故①正确；

由，得，

两边同时除以，可得，故②正确；

由且，

所以，整理移项得，

故③正确；

由，，

且都是正数，

得，

设，则，

，

当且仅当，即时取“=”，

此时，，

所以的最小值是，故④正确，故选D.

点睛：本题考查了命题的真假判定与应用，其中解答中涉及到两家和与差的正切函数，以及基本不等式的应用等知识点的综合运用，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中等试题.

（2022·上海中学高一期中）

5．在锐角三角形中，若，则的最小值是________．

【答案】16

【分析】根据三角形内角关系以及两角和正弦公式化简得设从而，再利用基本不等式求最小值.

【详解】由已知得，，，

所以，

，

设，

因为三角形是锐角三角形，所以，,

即，所以，

所以

，当且仅当即时等号成立，

所以最小值为．

故答案为：.

6．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，且，则的最大值为__________．

【答案】

【分析】由已知应用两角和的正弦公式和诱导公式得，结合正弦定理可求得，从而可得，利用两角和的正切公式与基本不等式可得的最小值，从而得题设结论．

【详解】由得，

所以，所以，

∴

即，又为锐角，∴，

所以，当且仅当时等号成立，

解得，所以．

故答案为：．

【点睛】本题考查两角和的正弦公式、正切公式，考查诱导公式，正弦定理．三角函数问题中对角的认识尤其重要，观察已知角的未知角的关系，确定选用公式，才能寻找到正确的解题思路．

7．在锐角三角形中，若，则的最大值是_______.

【答案】

【分析】由已知条件得出，利用弦化切的思想结合三角恒等变换思想得出，进而利用基本不等式可求得所求代数式的最大值.

【详解】，，

，

当且仅当时，等号成立，因此，的最大值是.

故答案为：.

【点睛】本题考查三角形中的最值问题，涉及基本不等式的应用，解答的关键就是利用弦化切的思想对所求代数式化简变形，考查计算能力，属于中等题.

8．在锐角三角形中，是边上的中线，且，则的最小值______．

【答案】6

【分析】结合图形，根据三角形的几何关系，分别表示出，，，将转化成函数问题，利用导数求解最值

【详解】

不妨设,,,

,,

令，令导数为0，可得

在单减，单增，

所以的最小值为6

【点睛】本题采用将正切函数转化为几何问题，结合函数求解最值，在三角形问题中，我们常利用函数来研究几何问题，在处理相对复杂的几何问题时，往往可简化运算

9．在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，已知，则的最小值为__________.

【答案】

【分析】由题得，于是，再利用基本不等式求最小值.

【详解】由已知得,所以因为三角形是锐角三角形，所以，

于是

、为锐角，

当且仅当时，等号成立.

故答案为

【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角恒等变换和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.

10．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的最小值是_______．

【答案】6

【分析】先根据正余弦定理对原式进行化简得，再利用正弦平方差定理化简可得，然后，表示出，构造函数求最值即可得出答案.

【详解】根据题意，已知，由余弦定理得

，化简得

由正弦定理：

即 （正弦平方差）

整理可得：

即

设

因为为锐角三角形，所以

此时 即

所以=

令

当，f(x)递增；当，f(x)递减；

所以

故的最小值是6

故答案为6

【点睛】本题主要考查了正余弦定理以及与导函数的应用的综合题目，易错点在于前面的化简会用到正弦差定理，属于难题.

（2022·江苏省镇江中学月考）

11．在斜中，

(1)求证：；

(2)若为锐角三角形，且，若不等式恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）利用两角和的正切公式的逆用和诱导公式进行证明即可.

（2）由（1）和基本不等式可得的取值范围，将已知不等式转为关于x的不等式，分离参数转为求函数的最值即可.

（1）

.

（2）

，由（1）得,令，

为锐角三角形，则，即，

，即，解得，

当即时取等号，

,平方得，即

，则可变为

恒成立，，

则，令，只需求的最大值即可，在时单调递减，所以

当时取到最大值为则，

即实数m的取值范围为

二级结论2：射影定理

【结论阐述】在中，．

【应用场景】应用射影定理快速实现边角互化，进而求边、角及与三角形有关的最值等问题．

【典例指引1】

（2017·新课标Ⅱ卷）

12．的内角的对边分别为，若，则 ________．

【答案】

【分析】根据正弦定理将边化为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cosB的值，即得B角.

【详解】由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.

∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．

又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.

又sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝.

∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝.

又0<B<π，∴B＝.

【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：

第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.

第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.

第三步：求结果.

【典例指引2】

13．在中，若，则_______．

【答案】

【分析】利用诱导公式，，由两角和的正弦公式展开后可得．

【详解】在中，，

，∵，

∴，

化简得：，∴，

∵，∴，故，从而，∴．

故答案为：．

【针对训练】

（2022·河南洛阳·高二期末）

14．在中，角，，的对边分别为，，，，，则面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先根据正弦定理边化角可得，从而可求出，再根据余弦定理以及基本不等式可得，最后根据三角形面积公式即可求出面积的最大值．

【详解】因为，，

所以，即

故．

因为，所以，故，即，

由余弦定理得，得（当且仅当时等号成立），

所以的面积，即面积的最大值为．

故选：C．

15．在中，角的对边分别为，当的外接圆半径时，面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用正弦定理可化简边角关系式，从而可求，再利用余弦定理和基本不等式可求的最大值，从而可求面积的最大值.

【详解】因为，

所以，故.

因为，所以，故即，

所以，

由余弦定理得，得(当且仅当时等号成立)，

所以的面积.

故选：C.

【点睛】思路点睛：对于三角形的边角关系，我们可以利用正弦定理或余弦定理将关系式转化为关于边或角的关系式，对于最值问题，可根据余弦定理构建关于边的等式关系，结合基本不等式求相应的范围.

16．在中，，则__________.

【答案】

【分析】利用余弦定理角化边，然后化简整理后，再使用余弦定理求得.

【详解】，

,

,

,

,

故答案为：.

17．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，则______.

【答案】2

【解析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．

【详解】将，利用正弦定理化简得：，

即，

∵，∴，

利用正弦定理化简得：，

则．

故答案为：2.

18．在中，若，则______．

【答案】2

【分析】先用正弦定理边化角，去分母，用两角和与差的正弦公式化简可得.

【详解】由正弦定理，，

去分母，得

即，

得，在中，有，

即，

所以有.

故答案为：2

19．在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a=3，b=4，c=6,则bc cosA+ca cosB+ab cosC的值为_________．

【答案】

【详解】由余弦定理有，原式．

20．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足，则_______．

【答案】1

【分析】解法1，先用正弦定理边角互化，再用和差和诱导公式求解即可；

解法2：先用射影定理化简，用正弦定理边角互化即可求解.

【详解】解法1：，

而，

∴．

解法2：由射影定理，，

又由题意，，∴，故，∴，

∵，∴，故．

故答案为：1

21．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则_______．

【答案】

【分析】利用正弦定理化简已知条件，求得，进而求得.

【详解】由正弦定理，①，

又，

代入式①得：，

∴，∵，∴，，

故，又，∴．

故答案为：

22．在中，内角的对边分别为，且，，，则的面积为_______．

【答案】

【分析】由正弦定理和正弦和角公式得，进而得，，再计算面积即可.

【详解】解：解法1：，

又，

∴，

∴，

∵，∴，

∴，又，∴，

∵，

∴，．

解法2：由射影定理，，又由题意，，

∴，

∴，

∵，∴，

又，

∴，．

故答案为：

23．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，且， 则的面积为_______．

【答案】

【分析】利用正弦定理边化角,再用余弦定理和面积公式可求解.

【详解】方法一:

由边化角得, ,

,

所以,

即,

即,,

所以,

因为函数在上单调递减，∴，故，

又，∴，从而，结合可得，∴，，故．

方法二:

由射影定理，，又，∴，化简得：，∵，且函数在上单调递减，∴，故，又，∴，从而，结合可得，∴，，故．

故答案为: .