2023届高考数学二轮复习专题五数列第一讲等差数列、等比数列学案

专题五 数列

第一讲  等差数列、等比数列

（一）考点解读

（二）核心知识整合

考点1：等差（比）数列的基本运算

1.等差数列

(1)等差数列通项公式：an＝a1＋(n－1)d．

(2)等差数列前n项和公式：Sn＝＝na1＋d．

(3)等差中项公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2).

2.等比数列

(1)等比数列通项公式：an＝a1qn－1.

(2)等比数列前n项和公式：Sn＝.

(3)等比中项公式：a＝an－1·an＋1(n∈N*，n≥2)　

3.数列{an}的前n项和Sn与通项an之间的关系

an＝

4.重要结论

通项公式的推广：

等差数列中，an＝am＋(n－m)d；

等比数列中，an＝am·qn－m .

 [典型例题]

1.已知等差数列的前n项和为，且.定义数列如下：是使不等式成立的所有n中的最小值，则的值为(   )

A.25 B.50 C.75 D.100

[答案]：B

[解析]　因为等差数列的前n项和为，且，所以.因为，即，解得，当时，，即，则，所以.

故选B.

2.在等差数列中，，，则数列的公差为(   )

A.1 B.2 C.3 D.4

[答案]：B

[解析] 设等差数列的公差为d，则解得.

故选B.

『规律总结』

在等差(比)数列问题中最基本的量是首项a1和公差d(公比q)，在解题时往往根据已知条件建立关于这两个量的方程组，从而求出这两个量，那么其他问题也就会迎刃而解，这就是解决等差、等比数列问题的基本量的方法，这其中蕴含着方程思想的运用．

提醒：应用等比数列前n项和公式时，务必注意公比q的取值范围．

[跟踪训练]

1.已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为(   )

A.12 B.18 C.24 D.32

[答案]：C

[解析]　 设正项等比数列的公比为，则，，令，，则，当且仅当时取等号，则的最小值为24.

故选C.

2.已知数列的首项，前n项和为，且满足，则满足的n的最大值为(   )

A.7 B.8 C.9 D.10

[答案]：C

[解析] 因为，所以，两式相减，得.又，，所以是首项为1，公比为的等比数列，，即，则n的最大值为9.

故选C.

考点2：等差（比）数列的判断与证明

1．若{an}，{bn}均是等差数列，Sn是{an}的前n项和，则{man＋kbn}，{}仍为等差数列，其中m，k为常数．

2．若{an}，{bn}均是等比数列，则{can}(c≠0)，{|an|}，{an·bn}，{manbn}(m为常数)，{a}，{}仍为等比数列．

3．公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a2－a1，a3－a2，a4－a3，…成等比数列，且公比为＝＝q．

4．(1)等比数列(q≠－1)中连续k项的和成等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列，其公比为qk．

(2)等差数列中连续k项的和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列，公差为k2d．

5．若A2n－1，B2n－1分别为等差数列{an}，{bn}的前2n－1项的和，则＝．

 [典型例题]

1.已知数列为等差数列，，，以表示的前n项和，则使得取到最小值的n是(   )

A.37或38 B.38 C.37 D.36或37

[答案]：D

[解析]　设的公差为d.由题意得，，则①，，则②.联立①②得，..故当或37时，取到最小值.故选D.

2.已知数列满足.若,且数列是递增数列,则实数的取值范围是(   )

A. B. C. D.

[答案]：A

[解析] 数列满足,则数列是等比数列,且首项为,公比为2,,数列是递增数列,,可得,又,解得.综上,的取值范围是.故选A.

『规律总结』

判断或证明数列是否为等差或等比数列，一般是依据等差数列、等比数列的定义，或利用等差中项、等比中项进行判断．

提醒：利用a＝an＋1·an－1(n≥2)来证明数列{an}为等比数列时，要注意数列中的各项均不为0．

[跟踪训练]

1.设数列为等差数列,其前项和为,已知和是方程的两个根.若对任意都有成立,则的值为(   )

A.8 B.9 C.10 D.11

[答案]：B

[解析]  和是方程的两个根,

.

设等差数列的公差为对任意都有成立,

即是前项和的最大值,.

,

.

当时,,当时,,

若对任意都有成立,则.故选B．
2.在正项等比数列中,.则满足的的最大值为(   )

A.10 B.11 C.12 D.13

[答案]：C

[解析] 设数列的公比为.正项等比数列中,,解得或.又,,,由得,,经检验满足题意.

故选C.

考点3：等差（比）数列的性质

(1)增减性：

①等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列．

②等比数列中，若a1>0且q>1或a1<0且0<q<1，则数列为递增数列；若a1>0且0<q<1或a1<0且q>1，则数列为递减数列．

(2)等差数列{an}中，Sn为前n项和，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等差数列；

等比数列{bn}中，Tn为前n项和．Tn，T2n－Tn，T3n－T2n，…一般仍成等比数列．

[典型例题]

1.设是公差的等差数列，如果那么(   )
A.-182 B.-78 C.-148 D.-82

[答案]：D

[解析]  .

故选D.

2.记为等比数列的前n项和.若，，则(   )
A.7 B.8 C.9 D.10

[答案]：A

[解析]  本题考查等比数列的求和公式与性质应用.设等比数列的公比为q，显然，根据题目条件可得化简可得，即，所以.

故选A.

『规律总结』

1.an－an－1＝d或＝q中注意n的范围限制．

2.公式an＝Sn－Sn－1成立的条件是n≥2．

3.证明一个数列是等差或等比数列时，不能直接由数列的前n项和想当然得到数列的通项公式，必须用定义证明．

4.等差数列的单调性只取决于公差d的正负，而等比数列的单调性既要考虑公比q，又要考虑首项a1的正负．

提醒：1．不能忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，注意各项都不为零的条件．

2．不能漏掉等比中项：正数a，b的等比中项是±，不能漏掉－．

3．对等比数列的公比的讨论：应用等比数列前n项和公式时应首先讨论公式q是否等于1

[跟踪训练]

1.已知等差数列中,，，则满足的最大整数n是(   )
A.25 B.26 C.50 D.51

[答案]：A

[解析]  设等差数列的公差为d，由,可得,

，，，又，，，满足的最大整数n是25.故选A.

2.已知等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，且，则(   )

A.-12 B.-4 C.4 D.12

[答案]：C

[解析] 设数列的公比为q，

当时，，则，，，此时，，不成等差数列，不符合题意，舍去；

当时，，，成等差数列，，

即，

即，解得或（舍去）或（舍去），，，，故选C.