(新高考)高考数学一轮基础复习讲义4.4y＝Asin(ωx＋φ)(2份打包，教师版+原卷版)

1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)y＝sin的图象是由y＝sin的图象向右平移个单位得到的．(　　)

(2)将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．(　　)

(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(　　)

(4)函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为T＝.(　　)

(5)把y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.(　　)

(6)若函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)

2、y＝2sin(x－)的振幅，频率和初相分别为(　　)

A．2,4π，   B．2，，

C．2，，－   D．2,4π，－

3、将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　　)

A．y＝sin(2x－)   B．y＝sin(2x－)

C．y＝sin(x－)   D．y＝sin(x－)

4、函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.

5、若将函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．

无

题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

例1　某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

(1) 请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；

(2) 将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．

引申探究

在本例(2)中，将f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式，并写出g(x)图象的对称中心．

【同步练习】

1、将函数y＝sin 2x的图象向右平移φ个单位长度后所得图象的解析式为y＝sin(2x－)，则φ＝________(0<φ<)，再将函数y＝sin(2x－)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后得到的图象的解析式为________．

题型二　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

例2　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，|φ|<，ω>0)的图象的一部分如图所示．

(1)求f(x)的表达式；

(2)试写出f(x)的对称轴方程．

【同步练习】

1、已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则y＝f(x＋)取得最小值时x的集合为(　　)

A．{x|x＝kπ－，k∈Z}

B．{x|x＝kπ－，k∈Z}

C．{x|x＝2kπ－，k∈Z}

D．{x|x＝2kπ－，k∈Z}

1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点

如下表所示：

3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤如下：

【知识拓展】

1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．

2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．

题型三　三角函数图象性质的应用

命题点1　三角函数模型的应用

例3　如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)

A．5   B．6

C．8   D．10

命题点2　函数零点(方程根)问题

例4　已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________．

引申探究

例4中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是__________．

命题点3　图象与性质的综合应用

例5　已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0，－≤φ<)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.

(1)求ω和φ的值；

(2)当x∈[0，]时，求函数y＝f(x)的最大值和最小值．

【同步练习】

1、已知函数f(x)＝cos(3x＋)，其中x∈[，m]，若f(x)的值域是[－1，－]，则m的取值范围是__________．

题型五 三角函数图象与性质的综合问题

例6  已知函数f(x)＝2sin(＋)·cos(＋)－sin(x＋π)．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值．

一、求y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)解析式的步骤

(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.

(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.

(3)求φ，常用方法如下：

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．

②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.

二、解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤

第一步：(化简)将f(x)化为asin x＋bcos x的形式；

第二步：(用辅助角公式)构造f(x)＝·(sin x·＋cos x·)；

第三步：(求性质)利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质；

第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.

1．函数y＝cos的部分图象可能是(　　)

2．已知函数f(x)＝cos(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos ωx的图象，只要将y＝f(x)的图象(　　)

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

3．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为(　　)

A.        B.        C．π        D．2π

4．函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (x∈R，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，如果x1，x2∈(－，)且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于(　　)

A.   B.

C.   D．1

5．函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f(x)在上的最小值为(　　)

A．－   B．－

C.   D.

6．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，若将f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象(　　)

A．关于直线x＝对称   B．关于直线x＝对称

C．关于点对称   D．关于点对称

7．函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝sin x＋cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到．

8.设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则f()的值为________．

9．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．

10．先把函数f(x)＝sin(x－)的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移个单位，得到y＝g(x)的图象．当x∈(，)时，函数g(x)的值域为________．

11．已知函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象过点P(，0)，图象上与点P最近的一个最高点是Q(，5)．

(1)求函数的解析式；

(2)求函数f(x)的递增区间．

12．已知函数f(x)＝cos2x＋sin x·cos x－.

(1)求函数f(x)的最小正周期T和函数f(x)的单调递增区间；

(2)若函数f(x)的对称中心为(x,0)，求x∈[0,2π)的所有x的和．

 *13. 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示．

(1)求f(x)的解析式；

(2)设g(x)＝[f(x－)]2，求函数g(x)在x∈[－，]上的最大值，并确定此时x的值．