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(新高考)高考数学一轮基础复习讲义4.4y=Asin(ωx+φ)(2份打包,教师版+原卷版)
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1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y=sin的图象是由y=sin的图象向右平移个单位得到的.( )
(2)将函数y=sin ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数y=sin(ωx-φ)的图象.( )
(3)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致.( )
(4)函数y=Asin(ωx+φ)的最小正周期为T=.( )
(5)把y=sin x的图象上各点纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,所得图象对应的函数解析式为y=sin x.( )
(6)若函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.( )
2、y=2sin(x-)的振幅,频率和初相分别为( )
A.2,4π, B.2,,
C.2,,- D.2,4π,-
3、将函数y=sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( )
A.y=sin(2x-) B.y=sin(2x-)
C.y=sin(x-) D.y=sin(x-)
4、函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的图象如图所示,则ω=________,φ=________.
5、若将函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是________.
无
题型一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
例1 某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
ωx+φ | 0 | π | 2π | ||
x |
|
|
| ||
Asin(ωx+φ) | 0 | 5 |
| -5 | 0 |
(1) 请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2) 将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为,求θ的最小值.
引申探究
在本例(2)中,将f(x)图象上所有点向左平移个单位长度,得到g(x)的图象,求g(x)的解析式,并写出g(x)图象的对称中心.
【同步练习】
1、将函数y=sin 2x的图象向右平移φ个单位长度后所得图象的解析式为y=sin(2x-),则φ=________(0<φ<),再将函数y=sin(2x-)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后得到的图象的解析式为________.
题型二 由图象确定y=Asin(ωx+φ)的解析式
例2 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,|φ|<,ω>0)的图象的一部分如图所示.
(1)求f(x)的表达式;
(2)试写出f(x)的对称轴方程.
【同步练习】
1、已知函数f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则y=f(x+)取得最小值时x的集合为( )
A.{x|x=kπ-,k∈Z}
B.{x|x=kπ-,k∈Z}
C.{x|x=2kπ-,k∈Z}
D.{x|x=2kπ-,k∈Z}
1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈R | 振幅 | 周期 | 频率 | 相位 | 初相 |
A | T= | f== | ωx+φ | φ |
2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点
如下表所示:
x | |||||
ωx+φ | 0 | π | 2π | ||
y=Asin(ωx+φ) | 0 | A | 0 | -A | 0 |
3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象的步骤如下:
【知识拓展】
1.由y=sin ωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的变换:向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
2.函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴由ωx+φ=kπ+,k∈Z确定;对称中心由ωx+φ=kπ,k∈Z确定其横坐标.
题型三 三角函数图象性质的应用
命题点1 三角函数模型的应用
例3 如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )
A.5 B.6
C.8 D.10
命题点2 函数零点(方程根)问题
例4 已知关于x的方程2sin2x-sin 2x+m-1=0在上有两个不同的实数根,则m的取值范围是________.
引申探究
例4中,若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”,则m的取值范围是__________.
命题点3 图象与性质的综合应用
例5 已知函数f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,-≤φ<)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值;
(2)当x∈[0,]时,求函数y=f(x)的最大值和最小值.
【同步练习】
1、已知函数f(x)=cos(3x+),其中x∈[,m],若f(x)的值域是[-1,-],则m的取值范围是__________.
题型五 三角函数图象与性质的综合问题
例6 已知函数f(x)=2sin(+)·cos(+)-sin(x+π).
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.
一、求y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)解析式的步骤
(1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则A=,B=.
(2)求ω,确定函数的周期T,则ω=.
(3)求φ,常用方法如下:
①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下:“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ=;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ=;“第五点”为ωx+φ=2π.
二、解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤
第一步:(化简)将f(x)化为asin x+bcos x的形式;
第二步:(用辅助角公式)构造f(x)=·(sin x·+cos x·);
第三步:(求性质)利用f(x)=sin(x+φ)研究三角函数的性质;
第四步:(反思)反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.
1.函数y=cos的部分图象可能是( )
2.已知函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=cos ωx的图象,只要将y=f(x)的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
3.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为,则f(x)的最小正周期为( )
A. B. C.π D.2π
4.函数f(x)=sin(ωx+φ) (x∈R,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,如果x1,x2∈(-,)且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)等于( )
A. B.
C. D.1
5.函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位后所得函数图象的解析式是奇函数,则函数f(x)在上的最小值为( )
A.- B.-
C. D.
6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期是π,若将f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称,则函数f(x)的图象( )
A.关于直线x=对称 B.关于直线x=对称
C.关于点对称 D.关于点对称
7.函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=sin x+cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到.
8.设偶函数f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△KLM为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,则f()的值为________.
9.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为________.
10.先把函数f(x)=sin(x-)的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再把新得到的图象向右平移个单位,得到y=g(x)的图象.当x∈(,)时,函数g(x)的值域为________.
11.已知函数y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象过点P(,0),图象上与点P最近的一个最高点是Q(,5).
(1)求函数的解析式;
(2)求函数f(x)的递增区间.
12.已知函数f(x)=cos2x+sin x·cos x-.
(1)求函数f(x)的最小正周期T和函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数f(x)的对称中心为(x,0),求x∈[0,2π)的所有x的和.
*13. 函数f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设g(x)=[f(x-)]2,求函数g(x)在x∈[-,]上的最大值,并确定此时x的值.
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