【中考二轮专题复习】2023年中考数学全国通用专题备考试卷——专题07 探究探索综合实践类压轴题（原卷版+解析版）

2023年中考数学二轮冲刺精准练新策略（全国通用）

第六篇 落实新课标要求的热点专题

专题07 探究探索综合实践类压轴题

1.（2022武汉）问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值．

（1）先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值；

（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．

问题拓展：如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）．

2.（2022黑龙江龙东地区） 和都是等边三角形．

（1）将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明．

（2）将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；

（3）将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．

3. （2022湖北孝感）问题背景：

一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝．

（1）尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明＝；

（2）应用拓展：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．

①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；

②若BC＝m，∠AED＝，求DE的长（用含m，的式子表示）．

4.（2022甘肃威武）已知正方形，为对角线上一点．

（1）【建立模型】如图1，连接，．求证：；

（2）【模型应用】如图2，是延长线上一点，，交于点．

①判断的形状并说明理由；

②若为的中点，且，求的长．

（3）【模型迁移】如图3，是延长线上一点，，交于点，．求证：．

5. （2022贵州贵阳）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．

如图，在中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得．

（1）问题解决：

如图①，当，将沿翻折后，使点与点重合，则______；

（2）问题探究：

如图②，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；

（3）拓展延伸：

当，将沿翻折后，若，且，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值．

6.（2022新疆）如图，在巾，，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将沿AD折叠得到，连接BE．

（1）当时，___________；

（2）探究与之问的数量关系，并给出证明；

（3）设，面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式．

7. （2022陕西）问题提出

（1）如图1，是等边的中线，点P在的延长线上，且，则的度数为_______．

问题探究

（2）如图2，在中，．过点A作，且，过点P作直线，分别交于点O、E，求四边形的面积．

问题解决

（3）如图3，现有一块型板材，为钝角，．工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，并要求．工人师傅在这块板材上的作法如下：

①以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D，连接；

②作的垂直平分线l，与于点E；

③以点A为圆心，以长为半径画弧，交直线l于点P，连接，得．

请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的结论．

8.（2022山东烟台）

（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．

（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．

①求的值；

②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．

9.（2022江苏连云港）【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中，，．

【问题探究】小昕同学将三角板绕点B按顺时针方向旋转．

（1）如图2，当点落在边上时，延长交于点，求的长．

（2）若点、、在同一条直线上，求点到直线的距离．

（3）连接，取的中点，三角板由初始位置（图1），旋转到点、、首次在同一条直线上（如图3），求点所经过的路径长．

（4）如图4，为的中点，则在旋转过程中，点到直线的距离的最大值是_____．

10.（2022黑龙江齐齐哈尔）综合与实践

数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．

如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：

（1）图②中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；

（2）图③中，AB=2，BC=3，则         ；

（3）当AB=m , BC=n时．          ．

（4）在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④)．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿 MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为         ．

11. （2022四川达州）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：

（1）【初步探究】如图2，当时，则_____；

（2）【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________；

（3）【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．

（4）【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由．

12.  （2022贵州遵义）探索与实践

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．

提出问题：

如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．

探究展示：

如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1）

点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

点，在点，，所确定的上（依据2）

点，，，四点在同一个圆上

（1）反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：__________；依据2：__________．

（2）图3，在四边形中，，，则的度数为__________．

（3）展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，．

①求证：，，，四点共圆；

②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说