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【中考二轮专题复习】2023年中考数学全国通用专题备考试卷——专题06 与高中知识衔接的信息给予题(原卷版+解析版)
展开2023年中考数学二轮冲刺精准练新策略(全国通用)
第六篇 落实新课标要求的热点专题
专题06 与高中知识衔接的信息给予题
1. (2022湖南娄底)若,则称是以10为底的对数.记作:.例如:,则;,则.对数运算满足:当,时,,例如:,则的值为( )
A. 5 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】C
【解析】通过阅读自定义运算规则:,再得到 再通过提取公因式后逐步进行运算即可得到答案.
,
故选C
【点睛】本题考查的是自定义运算,理解题意,弄懂自定义的运算法则是解本题的关键.
2.(2021湖南永州)定义:若10x=N,则x=log10N,x称为以10为底的N的对数,简记为lgN,其满足运算法则:lgM+lgN=lg(M•N)(M>0,N>0).例如:因为102=100,所以2=lg100,亦即lg100=2;lg4+lg3=lg12.根据上述定义和运算法则,计算(lg2)2+lg2•lg5+lg5的结果为( )
A.5 B.2 C.1 D.0
【答案】C
【解析】根据题意,按照题目的运算法则计算即可.
(lg2)2+lg2•lg5+lg5
=lg2(lg2+lg5)+lg5
=lg2+lg5
=1g10
=1.
3.阅读材料:定义:如果一个数的平方等于-1,记为i2 =-1,这个数i叫做虚数单位,把形如a+bi(a,b为实数)的数叫做复数,其中a叫这个复数的实部,b叫这个复数的虚部,它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如计算:(4+i)+(6-2i)=(4+6)+(1-2)i=10-i;
(2-i)(3+i)=6-3i+2i-i2=6-i-(-1)=7-i;
(4+i)(4-i)=16-i2=16-(-1)=17;
(2+i)2=4+4i+i2=4+4i-1=3+4i
根据以上信息,完成下面计算:(1+2i)(2-i)+(2-i)2=_______
【答案】7-i
【解析】由题意知(1+2i)(2-i)+(2-i)2= 2+4i-i-2i2+4-4i+i2=6-i-i2=6-i+1=7-i.
4.(2021四川凉山)阅读以下材料:
苏格兰数学家纳皮尔(J.Npler,1550﹣1617年)是对数的创始人.他发明对数是在指数书写方式之前,直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evler,1707﹣1783年)
对数的定义:一般地,若ax=N(a>0且a≠1),那么x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,比如指数式24=16可以转化为对数式4=log216,对数式2=log39可以转化为指数式32=9.
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质:
loga(M•N)=logaM+logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0),理由如下:
设logaM=m,logaN=n,则M=am,N=an,
∴M•N=am•an=am+n,由对数的定义得m+n=loga(M•N).
又∵m+n=logaM+logaN,
∴loga(M•N)=logaM+logaN.
根据上述材料,结合你所学的知识,解答下列问题:
(1)填空:①log232= ,②log327= ,③log71= ;
(2)求证:loga=logaM﹣logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0);
(3)拓展运用:计算log5125+log56﹣log530.
【解析】(1)直接根据定义计算即可;
(2)先设logaM=m,logaN=n,根据对数的定义可表示为指数式为:M=am,N=an,计算的结果,同理由所给材料的证明过程可得结论;
(3)根据公式:loga(M•N)=logaM+logaN和loga=logaM﹣logaN的逆用,将所求式子表示为:log5(125×6÷30),计算可得结论.
解:(1)log232=log235=5,log427=log335=3,log76=log774=0;
故答案为:5,8,0;
(2)设logaM=m,logaN=n,则M=am,N=an,
∴==am﹣n,由对数的定义得m﹣n=loga,
又∵m﹣n=logaM﹣logaN,
∴loga=logaM﹣logaN(a>0,a≠2,N>0);
(3)原式=log5(125×6÷30)
=log525
=5.
5.对数运算是高中常用的一种重要运算,它的定义为:如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作:x=logaN,例如:32=9,则log39=2,其中a=10的对数叫做常用对数,此时log10N可记为lgN.当a>0,且a≠1,M>0,N>0时,loga(M•N)=logaM+logaN.
(1)解方程:logx4=2;
(2)求值:log48;
(3)计算:(lg2)2+lg2•1g5+1g5﹣2018
【答案】(1)x=2;(2);(3)-2017
【分析】(I)根据对数的定义,得出x2=4,求解即可;
(Ⅱ)根据对数的定义求解即可;
(Ⅲ)根据loga(M•N)=logaM+logaN求解即可.
【详解】(I)解:∵logx4=2,
∴x2=4,
∴x=2或x=-2(舍去)
(II)解法一:log48=log4(4×2)=log44+log42=1+=;
解法二:设log48=x,则=8,
∴=,
∴2x=3,
x=,
即log48=;
(Ⅲ)解:(lg2)2+lg2•1g5+1g5﹣2018
= lg2•( lg2+1g5) +1g5﹣2018
= lg2 +1g5﹣2018
=1-2018
=-2017
故答案为-2017.
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法,有理数的乘方,是一道关于新定义运算的题目,解答本题的关键是理解给出的对数的定义和运算法则.
6.阅读下面材料:
我们知道一次函数y=kx+b(k≠0,k、b是常数)的图象是一条直线,到高中学习时,直线通常写成Ax+By+C=0(A≠0,A、B、C是常数)的形式,点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离可用公式d=计算.
例如:求点P(3,4)到直线y=﹣2x+5的距离.
解:∵y=﹣2x+5
∴2x+y﹣5=0,其中A=2,B=1,C=﹣5
∴点P(3,4)到直线y=﹣2x+5的距离为:
d====
根据以上材料解答下列问题:
(1)求点Q(﹣2,2)到直线3x﹣y+7=0的距离;
(2)如图,直线y=﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线,求这两条平行直线之间的距离.
【答案】见解析。
【解析】(1)∵3x﹣y+7=0,
∴A=3,B=﹣1,C=7.
∵点Q(﹣2,2),
∴d===.
∴点Q(﹣2,2)到到直线3x﹣y+7=0的距离为;
(2)直线y=﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线为y=﹣x+2,
在直线y=﹣x上任意取一点P,
当x=0时,y=0.
∴P(0,0).
∵直线y=﹣x+2,
∴A=1,B=1,C=﹣2
∴d==,
∴两平行线之间的距离为.
7.阅读下面的材料:
按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第一位的数称为第一项,记为a1,排在第二位的数称为第二项,记为a2,依此类推,排在第n位的数称为第n项,记为an.所以,数列的一般形式可以写成:a1,a2,a3,…,an,….
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用d表示.如:数列1,3,5,7,…为等差数列,其中a1=1,a2=3,公差为d=2.
根据以上材料,解答下列问题:
(1)等差数列5,10,15,…的公差d为 ,第5项是 .
(2)如果一个数列a1,a2,a3,…,an…,是等差数列,且公差为d,那么根据定义可得到:a2﹣a1=d,a3﹣a2=d,a4﹣a3=d,…,an﹣an﹣1=d,….
所以
a2=a1+d
a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d,
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d,
……
由此,请你填空完成等差数列的通项公式:an=a1+( )d.
(3)﹣4041是不是等差数列﹣5,﹣7,﹣9…的项?如果是,是第几项?
【解析】(1)根据题意得,d=10﹣5=5;
∵a3=15,
a4=a3+d=15+5=20,
a5=a4+d=20+5=25,
故答案为:5;25.
(2)∵a2=a1+d
a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d,
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d,
……
∴an=a1+(n﹣1)d
故答案为:n﹣1.
(3)根据题意得,
等差数列﹣5,﹣7,﹣9…的项的通项公式为:an=﹣5﹣2(n﹣1),
则﹣5﹣2(n﹣1)=﹣4041,
解之得:n=2019
∴﹣4041是等差数列﹣5,﹣7,﹣9…的项,它是此数列的第2019项.
8.阅读下列材料:小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值,采用以下方法:
设S=1+2+22+…+22017+22018①
则2S=2+22+…+22018+22019②
②﹣①得2S﹣S=S=22019﹣1
∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019﹣1
请仿照小明的方法解决以下问题:
(1)1+2+22+…+29= ;
(2)3+32+…+310= ;
(3)求1+a+a2+…+an的和(a>0,n是正整数,请写出计算过程).
【答案】见解析。
【解析】(1)设S=1+2+22+…+29①
则2S=2+22+…+210②
②﹣①得2S﹣S=S=210﹣1
∴S=1+2+22+…+29=210﹣1;
故答案为:210﹣1
(2)设S=1+3+32+33+34+…+310 ①,
则3S=3+32+33+34+35+…+311 ②,
②﹣①得2S=311﹣1,
所以S=,
即1+3+32+33+34+…+310=;
故答案为:;
(3)设S=1+a+a2+a3+a4+..+an①,
则aS=a+a2+a3+a4+..+an+an+1②,
②﹣①得:(a﹣1)S=an+1﹣1,
所以S=,
即1+a+a2+a3+a4+..+an=,
9. (2022四川乐山)华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案.
2.如图,在正方形ABCD中,.求证:.
证明:设CE与DF交于点O,
∵四边形ABCD是正方形,
∴,.
∴.
∵,
∴.
∴.
∴.
∴.
∴.
某数学兴趣小组在完成了以上解答后,决定对该问题进一步探究
(1)【问题探究】如图,在正方形ABCD中,点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上,且.试猜想的值,并证明你的猜想.
(2)【知识迁移】如图,在矩形ABCD中,,,点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上,且.则______.
(3)【拓展应用】如图,在四边形ABCD中,,,,点E、F分别在线段AB、AD上,且.求的值.
【答案】(1)1;证明见解析 (2) (3)
【解析】【分析】(1)过点A作AM∥HF交BC于点M,作AN∥EG交CD的延长线于点N,利用正方形ABCD,AB=AD,∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°求证△ABM≌△ADN即可.
(2)过点A作AM∥HF交BC于点M,作AN∥EC交CD延长线于点N,利用在矩形ABCD中,BC=AD,∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°,求证△ABM∽△ADN.再根据其对应边成比例,将已知数值代入即可.
(3)先证是等边三角形,设,过点,垂足为,交于点,则,在中,利用勾股定理求得的长,然后证,利用相似三角形的对应边对应成比例即可求解.
【小问1详解】
,理由为:
过点A作AM∥HF交BC于点M,作AN∥EG交CD的延长线于点N,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形AMFH是平行四边形,四边形AEGN是平行四边形,
∴AM=HF,AN=EG,
在正方形ABCD中,AB=AD,∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°
∵EG⊥FH,
∴∠NAM=90°,
∴∠BAM=∠DAN,
在△ABM和△ADN中,∠BAM=∠DAN,AB=AD,∠ABM=∠ADN
∴△ABM≌△ADN
∴AM=AN,即EG=FH,
∴;
【小问2详解】
解:过点A作AM∥HF交BC于点M,作AN∥EC交CD的延长线于点N,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形AMFH是平行四边形,四边形AEGN是平行四边形,
∴AM=HF,AN=EG,
在矩形ABCD中,BC=AD,∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°,
∵EG⊥FH,
∴∠NAM=90°,
∴∠BAM=∠DAN.
∴△ABM∽△ADN,
∴,
∵,,AM=HF,AN=EG,
∴,
∴;
故答案为:
【小问3详解】
解:∵,,
∴是等边三角形,
∴设,
过点,垂足为,交于点,则,
在中,,
∵,,
∴,,
又∵,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,即.
【点睛】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理等知识点的理解和掌握,综合性较强,难度较大,是一道难题.
10.阅读下面材料:
我们知道一次函数y=kx+b(k≠0,k、b是常数)的图象是一条直线,到高中学习时,直线通常写成Ax+By+C=0(A≠0,A、B、C是常数)的形式,点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离可用公式d=计算.
例如:求点P(3,4)到直线y=﹣2x+5的距离.
解:∵y=﹣2x+5
∴2x+y﹣5=0,其中A=2,B=1,C=﹣5
∴点P(3,4)到直线y=﹣2x+5的距离为:
d====
根据以上材料解答下列问题:
(1)求点Q(﹣2,2)到直线3x﹣y+7=0的距离;
(2)如图,直线y=﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线,求这两条平行直线之间的距离.
【答案】见解析。
【解答】(1)∵3x﹣y+7=0,
∴A=3,B=﹣1,C=7.
∵点Q(﹣2,2),
∴d===.
∴点Q(﹣2,2)到到直线3x﹣y+7=0的距离为;
(2)直线y=﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线为y=﹣x+2,
在直线y=﹣x上任意取一点P,
当x=0时,y=0.
∴P(0,0).
∵直线y=﹣x+2,
∴A=1,B=1,C=﹣2
∴d==,
∴两平行线之间的距离为.
11.阅读下面的材料:
按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第一位的数称为第一项,记为a1,排在第二位的数称为第二项,记为a2,依此类推,排在第n位的数称为第n项,记为an.所以,数列的一般形式可以写成:a1,a2,a3,…,an,….
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用d表示.如:数列1,3,5,7,…为等差数列,其中a1=1,a2=3,公差为d=2.
根据以上材料,解答下列问题:
(1)等差数列5,10,15,…的公差d为 ,第5项是 .
(2)如果一个数列a1,a2,a3,…,an…,是等差数列,且公差为d,那么根据定义可得到:a2﹣a1=d,a3﹣a2=d,a4﹣a3=d,…,an﹣an﹣1=d,….
所以
a2=a1+d
a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d,
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d,
……
由此,请你填空完成等差数列的通项公式:an=a1+( )d.
(3)﹣4041是不是等差数列﹣5,﹣7,﹣9…的项?如果是,是第几项?
【答案】见解析。
【解析】(1)根据题意得,d=10﹣5=5;
∵a3=15,
a4=a3+d=15+5=20,
a5=a4+d=20+5=25,
故答案为:5;25.
(2)∵a2=a1+d
a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d,
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d,
……
∴an=a1+(n﹣1)d
故答案为:n﹣1.
(3)根据题意得,
等差数列﹣5,﹣7,﹣9…的项的通项公式为:an=﹣5﹣2(n﹣1),
则﹣5﹣2(n﹣1)=﹣4041,
解之得:n=2019
∴﹣4041是等差数列﹣5,﹣7,﹣9…的项,它是此数列的第2019项.
12.【阅读】
数学中,常对同一个量(图形的面积、点的个数、三角形的内角和等)用两种不同的方法计算,从而建立相等关系,我们把这一思想称为“算两次”.“算两次”也称做富比尼原理,是一种重要的数学思想.
【理解】
(1)如图1,两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形.用两种不同的方法计算梯形的面积,并写出你发现的结论;
(2)如图2,n行n列的棋子排成一个正方形,用两种不同的方法计算棋子的个数,可得等式:n2= ;
【运用】
(3)n边形有n个顶点,在它的内部再画m个点,以(m+n)个点为顶点,把n边形剪成若干个三角形,设最多可以剪得y个这样的三角形.当n=3,m=3时,如图3,最多可以剪得7个这样的三角形,所以y=7.
①当n=4,m=2时,如图4,y= ;当n=5,m= 时,y=9;
②对于一般的情形,在n边形内画m个点,通过归纳猜想,可得y= (用含m、n的代数式表示).请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立.
【答案】见解析。
【解析】(1)有三个Rt△其面积分别为ab,ab和c2.
直角梯形的面积为(a+b)(a+b).
由图形可知:(a+b)(a+b)=ab+ab+c2
整理得(a+b)2=2ab+c2,a2+b2+2ab=2ab+c2,
∴a2+b2=c2.
故结论为:直角长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2+b2=c2.
(2)n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2,每层棋子分别为1,3,5,7,…,2n﹣1.
由图形可知:n2=1+3+5+7+…+2n﹣1.
故答案为1+3+5+7+…+2n﹣1.
(3)①如图4,当n=4,m=2时,y=6,
如图5,当n=5,m=3时,y=9.
②方法1.对于一般的情形,在n边形内画m个点,第一个点将多边形分成了n个三角形,以后三角形内部每增加一个点,分割部分增加2部分,故可得y=n+2(m﹣1).
方法2.以△ABC的二个顶点和它内部的m个点,共(m+3)个点为顶点,可把△ABC分割成3+2(m﹣1)个互不重叠的小三角形.以四边形的4个顶点和它内部的m个点,共(m+4)个点为顶点,可把四边形分割成4+2(m﹣1)个互不重叠的小三角形.故以n边形的n个顶点和它内部的m个点,共(m+n)个点作为顶点,可把原n边形分割成n+2(m﹣1)个互不重叠的小三角形.故可得y=n+2(m﹣1).
故答案为:①6,3;②n+2(m﹣1).
13.阅读理解:
已知两点M(x1,y1),N(x2,y2),则线段MN的中点K(x,y)的坐标公式为:x=,y=.
如图,已知点O为坐标原点,点A(﹣3,0),⊙O经过点A,点B为弦PA的中点.若点P(a,b),则有a,b满足等式:a2+b2=9.
设B(m,n),则m,n满足的等式是( )
A.m2+n2=9 B.()2+()2=9
C.(2m+3)2+(2n)2=3 D.(2m+3)2+4n2=9
【答案】D
【解析】根据中点坐标公式求得点B的坐标,然后代入a,b满足的等式.
∵点A(﹣3,0),点P(a,b),点B(m,n)为弦PA的中点,
∴m=,n=.
∴a=2m+3,b=2n.
又a,b满足等式:a2+b2=9,
∴(2m+3)2+4n2=9.
【点评】考查了坐标与图形性质,解题的关键是理解中点坐标公式,难度不大.
14.阅读材料:用配方法求最值.
已知x,y为非负实数,
∵x+y﹣2≥0
∴x+y≥2,当且仅当“x=y”时,等号成立.
示例:当x>0时,求y=x++4的最小值.
解:+4=6,当x=,即x=1时,y的最小值为6.[来源:Zxxk.Com]
(1)尝试:当x>0时,求y=的最小值.
(2)问题解决:随着人们生活水平的快速提高,小轿车已成为越来越多家庭的交通工具,假设某种小轿车的购车费用为10万元,每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元,n年的保养、维护费用总和为万元.问这种小轿车使用多少年报废最合算(即:使用多少年的年平均费用最少,年平均费用=)?最少年平均费用为多少万元?
【答案】见解析。
【解析】(1)y==x++1+1=3,
∴当x=,即x=1时,y的最小值为3.
(2)年平均费用=(+0.4n+10)÷n==2+0.5=2.5,
∴当,
即n=10时,最少年平均费用为2.5万元.
15.【材料阅读】
地球是一个球体,任意两条相对的子午线都组成一个经线圈(如图1中的⊙O).人们在北半球可观测到北极星,我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺(古人称它为“复矩”),尺的两边互相垂直,角顶系有一段棉线,棉线末端系一个铜锤,这样棉线就与地平线垂直.站在不同的观测点,当工具尺的长边指向北极星时,短边与棉线的夹角α的大小是变化的.
【实际应用】
观测点A在图1所示的⊙O上,现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°,在点A所在子午线往北的另一个观测点B,用同样的工具尺测得α为67°.PQ是⊙O的直径,PQ⊥ON.
(1)求∠POB的度数;
(2)已知OP=6400km,求这两个观测点之间的距离即⊙O上的长.(π取3.1)
【答案】见解析。
【解析】(1)设点B的切线CB交ON延长线于点E,HD⊥BC于D,CH⊥BH交BC于点C,则∠DHC=67°,证出∠HBD=∠DHC=67°,由平行线的性质得出∠BEO=∠HBD=67°,由直角三角形的性质得出∠BOE=23°,得出∠POB=90°﹣23°=67°;
(2)同(1)可证∠POA=31°,求出∠AOB=∠POB﹣∠POA=36°,由弧长公式即可得出结果.
解:(1)设点B的切线CB交ON延长线于点E,HD⊥BC于D,CH⊥BH交BC于点C,如图所示:
则∠DHC=67°,
∵∠HBD+∠BHD=∠BHD+∠DHC=90°,
∴∠HBD=∠DHC=67°,
∵ON∥BH,
∴∠BEO=∠HBD=67°,
∴∠BOE=90°﹣67°=23°,
∵PQ⊥ON,
∴∠POE=90°,
∴∠POB=90°﹣23°=67°;
)同(1)可证∠POA=31°,
∴∠AOB=∠POB﹣∠POA=67°﹣31°=36°,
∴==3968(km).
【点评】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、弧长公式等知识;熟练掌握切线的性质和弧长公式是解题的关键.
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