【中考二轮专题复习】2023年中考数学全国通用专题备考试卷——专题08 多边形内角和定理的应用（原卷版+解析版）

2023年中考数学二轮冲刺精准练新策略（全国通用）

第二篇 必考的重点专题 

专题08 多边形内角和定理的应用

1.（2022内蒙古通辽） 正多边形的每个内角为，则它的边数是（   ）

A. 4       B. 6 C. 7      D. 5

【答案】D

【解析】根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72°，再用外角和360°除以72°，计算即可得解．

∵正多边形的每个内角等于108°，

∴每一个外角的度数为180°-108°=72°，

∴边数=360°÷72°=5，

故选D．

【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，对于正多边形，利用多边形的外角和除以每一个外角的度数求边数更简便．

2.（2022湖南怀化）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（　　）

A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形

【答案】A

【解析】根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°，列出方程即可求解．

根据n边形的内角和公式，得

（n﹣2）•180°=900°，

解得n=7，

∴这个多边形的边数是7，故选：A．

【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记内角和公式并列出方程．

3. （2022上海）有一个正n边形旋转后与自身重合，则n为（   ）

A. 6 B. 9 C. 12 D. 15

【答案】C

【解析】根据选项求出每个选项对应的正多边形的中心角度数，与一致或有倍数关系的则符合题意．

如图所示，计算出每个正多边形中心角，是的3倍，则可以旋转得到．

A.B.C.D.

观察四个正多边形的中心角，可以发现正12边形旋转90°后能与自身重合

故选C．

【点睛】本题考查正多边形中心角与旋转的知识，解决本题的关键是求出中心角的度数并与旋转度数建立关系．

4. （2022山东烟台）一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（　　）

A. 正方形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形

【答案】C

【解析】设这个外角是x°，则内角是3x°，根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角的度数，根据多边形的外角和是360°即可求解．

∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，

∴设这个外角是x°，则内角是3x°，

根据题意得：x+3x＝180°，

解得：x＝45°，

360°÷45°＝8（边），

故选：C．

【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，根据内角与它相邻的外角互补列出方程是解题的关键．

5. （2022四川南充）如图，在正五边形中，以为边向内作正，则下列结论错误的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】利用正多边形各边长度相等，各角度数相等，即可逐项判断．

∵多边形是正五边形，

∴该多边形内角和为：，，

∴，故D选项正确；

∵是正三角形，

∴，，

∴，，

∴，故B选项正确；

∵，，

∴，故A选项正确；

∵，，

∴，故C选项错误，

故选：C．

【点睛】本题考查正多边形的性质以及多边形内角和公式，熟练掌握正多边形“各边长度相等，各角度数相等”是解题的关键．

6. （2022四川眉山）一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为________．

【答案】11

【解析】多边形的内角和定理为，多边形的外角和为360°，根据题意列出方程求出n的值．

根据题意可得：，

 解得： ，

故答案为：11．

【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和公式以及外角和定理，属于基础题型．记忆理解并应用这两个公式是解题的关键．

7. （2022四川遂宁）如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上．若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为______．

【答案】4

【解析】连接，根据正六边形的特点可得，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．

如图，连接，

正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上

正六边形每个内角为，为对称轴

则

则，

正方形BMGH的边长为6

，

设，则

解得

故答案为：4

【点睛】本题考查了正多边形的性质，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．

8. （2022湖南株洲）如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则_________度．

【答案】48

【解析】是正五边形的一个外角，利用多边形外交和360°算出一个外角，再利用的内角和180°，即可算出

∵四边形ABCDE是正五边形，是一个外角

∴

在中：

故答案为：48

【点睛】本题考查多边形外角和和三角形内角和，注意多边形外角和均为360°

9.（2022辽宁营口） 如图，在正六边形中，连接，则______度．

【答案】30

【解析】连接BE，交CF与点O，连接OA，先求出，再根据等腰三角形等边对等角的性质，三角形外角的性质求解即可．

【详解】

连接BE，交CF与点O，连接OA，

在正六边形中，

，

，

故答案为：30．

【点睛】考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．

10. （2022长春）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形和等边三角形组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若厘米，则这个正六边形的周长为_________厘米．

【答案】54

【解析】设AB交EF、FD与点M、N，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，再证明△FMN、△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形即可求解．

【详解】设AB交EF、FD与点M、N，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，如图，

∵六边形MNGHPO是正六边形，

∴∠GNM=∠NMO=120°，

∴∠FNM=∠FNM=60°，

∴△FMN是等边三角形，

同理可证明△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形，

∴MO=BM，NG=AN，OP=PD，GH=HE，

∴NG+MN+MO=AN+MN+BM=AB，GH+PH+OP=HE+PH+PD=DE，

∵等边△ABC≌等边△DEF，

∴AB=DE，

∵AB=27cm，

∴DE=27cm，

∴正六边形MNGHPO的周长为：NG+MN+MO+GH+PH+OP=AB+DE=54cm，故答案为：54．

【点睛】本题考查了正六边的性质、全等三角形的性质以及等边三角形的判定与性质等知识，掌握正六边的性质是解答本题的关键．

11. （2022黑龙江绥化）如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为______度．

【答案】12

【解析】连接AO，求出正六边形和正五边形的中心角即可作答．

连接AO，如图，

∵多边形ABCDEF是正六边形，

∴∠AOB=360°÷6=60°，

∵多边形AHIJK是正五边形，

∴∠AOH=360°÷5=72°，

∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°，

故答案为：12．

【点睛】本题考查了正多边形的中心角的知识，掌握正多边形中心角的计算方法是解答本题的关键．

12．（2021云南）一个10边形的内角和等于（　　）

A．1800° B．1660° C．1440° D．1200°

【答案】C

【解析】根据多边形的内角和等于（n﹣2）•180°即可得解．

根据多边形内角和公式得，10边形的内角和等于：

（10﹣2）×180°＝8×180°＝1440°．

【点评】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．

13．（2021贵州毕节）若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为（　　）

A．540° B．720° C．900° D．1080°

【答案】D

【解析】先根据多边形的外角和定理求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式求出这个正多边形的内角和．

正多边形的边数为：360°÷45°＝8，

∴这个多边形是正八边形，

∴该多边形的内角和为（8﹣2）×180°＝1080°．

14．（2021山东济宁）如图，正五边形ABCDE中，∠CAD的度数为（　　）

A．72° B．45° C．36° D．35°

【答案】C

【解析】首先可根据五边形内角和公式求出每个内角的度数，然后求出∠CAB和∠DAE，即可求出∠CAD．

根据正多边形内角和公式可得，

正五边形ABCDE的内角和＝180°×（5﹣2）＝540°，

则∠BAE＝∠B＝∠E＝＝108°，

根据正五边形的性质，△ABC≌△AED，

∴∠CAB＝∠DAE＝（180°﹣108°）＝36°，

∴∠CAD＝108°﹣36°﹣36°＝36°.

15．（2021河北省）如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，S△AFO＝8，S△CDO＝2，则S正六边边ABCDEF的值是（　　）

A．20 B．30 

C．40 D．随点O位置而变化

【答案】B

【解析】正六边形ABCDEF的面积＝S矩形AFDC+S△EFD+S△ABC，由正六边形每个边相等，每个角相等可得FD＝AF，过E作FD垂线，垂足为M，利用解直角三角形可得△FED的高，即可求出正六边形的面积．

解：设正六边形ABCDEF的边长为x，

过E作FD的垂线，垂足为M，连接AC，

∵∠FED＝120°，FE＝ED，

∴∠EFD＝∠FDE，

∴∠EDF＝（180°﹣∠FED）＝30°，

∵正六边形ABCDEF的每个角为120°．

∴∠CDF＝120°﹣∠EDF＝90°．

同理∠AFD＝∠FAC＝∠ACD＝90°，

∴四边形AFDC为矩形，

∵S△AFO＝FO×AF，

S△CDO＝OD×CD，

在正六边形ABCDEF中，AF＝CD，

∴S△AFO+S△CDO＝FO×AF+OD×CD

＝（FO+OD）×AF

＝FD×AF

＝10，

∴FD×AF＝20，

DM＝cos30°DE＝x，

DF＝2DM＝x，

EM＝sin30°DE＝，

∴S正六边形ABCDEF＝S矩形AFDC+S△EFD+S△ABC

＝AF×FD+2S△EFD

＝x•x+2×x•x

＝x2+x2

＝20+10

＝30，

故选：B．

16.（2021福建）如图，点F在正五边形的内部，为等边三角形，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】根据多边形内角和公式可求出∠ABC的度数，根据正五边形的性质可得AB=BC，根据等边三角形的性质可得∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，可得BF=BC，根据角的和差关系可得出∠FBC的度数，根据等腰三角形的性质可求出∠BFC的度数，根据角的和差关系即可得答案．

【详解】∵是正五边形，

∴∠ABC==108°，AB=BC，

∵为等边三角形，

∴∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，

∴BF=BC，∠FBC=∠ABC-∠ABF=48°，

∴∠BFC==66°，

∴=∠AFB+∠BFC=126°，

【点睛】本题考查多边形内角和、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．

17．（2021广西玉林）如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AD，AE，AC，DF，DB，AC与BD交于点M，AE与DF交于点为N，MN与AD交于点O，分别延长AB，DC于点G，设AB＝3．有以下结论：

①MN⊥AD

②MN＝2

③△DAG的重心、内心及外心均是点M

④四边形FACD绕点O逆时针旋转30°与四边形ABDE重合

则所有正确结论的序号是 　   　．

【答案】①②③．

【解析】①正确．证明四边形AMDN是菱形即可．

②正确．证明△DMN是等边三角形，求出DM即可．

③正确．证明△ADG是等边三角形即可．

④错误．应该是四边形FACD绕点O逆时针旋转60°与四边形ABDE重合．

解：如图，连接BE．

在△AFN和△DEN中，

，

∴△AFN≌△DEN（AAS），

∴AN＝AN，

同法可证AN＝AM，AM＝DM，

∴AM＝MD＝DN＝NA，

∴四边形AMDN是菱形，故①正确，

∵∠EDF＝∠BDC＝30°，∠EDC＝120°，

∴∠MDN＝60°，

∵DM＝DN，

∴△DMN是等边三角形，

∴MN＝DM＝＝＝2，故②正确，

∵∠DAB＝∠ADC＝60°，

∴△ADG是等边三角形，

∵DB⊥AG，AC⊥DG，

∴点M是△ADG的重心、内心及外心，故③正确，

∵∠DOE＝60°，

∴四边形FACD绕点O逆时针旋转60°与四边形ABDE重合，故④错误．

18. （2021黑龙江绥化）边长为的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是_______．

【答案】

【解析】依题意作出图形，找出直角三角形，它的外接圆与内切圆半径为直角三角形的两条边，根据三角函数值即可求出．

如图：正六边形中，过作

中，,

它的外接圆与内切圆半径的比值是

．

故答案为．

【点睛】本题考查了正多边形的外接圆和内切圆的相关知识，对称性，特殊角的锐角三角函数，依题意作出图形是解决本题的关键．