北师大版初中数学九年级下册第一单元《直角三角形的边角关系》（较易）（含答案解析） 试卷

北师大版初中数学九年级下册第一单元《直角三角形的边角关系》（较易）（含答案解析）

考试范围：第一单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图，在中，，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在中，各边都扩大倍，则角的三角函数值(    )

A. 不变 B. 扩大倍 C. 缩小倍 D. 不能确定

3.  的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在中，，均为锐角，且有，则是(    )

A. 直角不等腰三角形 B. 等边三角形
C. 等腰不等边三角形 D. 等腰直角三角形

5.  已知，在中，，若，，则长为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，点，，在正方形网格的格点上，则(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，是的高．若，，则边的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度如图，已知小明距假山的水平距离为，他的眼镜距地面的高度为，李明的视线经过量角器零刻度线和假山的最高点，此时，铅垂线经过量角器的刻度线，则假山的高度为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，为了测量河岸、两点的距离，在与垂直的方向点处测得，，那么等于(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，某同学在楼房的处测得荷塘的一端处的俯角为，荷塘另一端点与点，在同一直线上，已知楼房米，米，则荷塘的宽为结果精确到(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

11.  一个台阶高出地面米，台阶拆除后，换成斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是(    )

A. 斜坡的坡度是 B. 斜坡的坡度是
C. 米 D. 米

12.  如图，电线杆的高度为，两根拉线与相互垂直，，则拉线的长度为在同一条直线上(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  在中，，，，则          ．

14.  在中，，，，则______．

15.  如图，建筑物上有一高为的旗杆，从处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，则建筑物的高约为          结果保留小数点后一位，参考数据：，，．

16.  如图，渔船上的渔民在处看见灯塔在北偏东方向，这艘渔船以海里时的速度向正东方向航行，半小时后到达处在处看见灯塔在北偏东方向，此时灯塔与渔船的距离是______海里．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
在中，，，，求的周长和面积．

18.  本小题分
已知是锐角，，求的其他三角函数值；
已知是锐角，求的其他三角函数值．

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
在中，，，解这个直角三角形．

21.  本小题分
如图，在中，，，，求的长．

22.  本小题分
图是挂墙式淋浴花洒的实物图，图是抽象出来的几何图形．为使身高的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置，花洒的最高点与人的头顶的铅垂距离为，已知龙头手柄长为，花洒直径是，龙头手柄与墙面的较小夹角，，则安装时，旋转头的固定点与地面的距离应为多少？计算结果精确到，参考数据：，，

23.  本小题分

如图，身高的小丽用一个两锐角分别为和的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为那么这棵树大约有多高结果精确到，

24.  本小题分
如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点在点的正东方向，米．点在点的正北方向．点，在点的正北方向，米．点在点的北偏东，点在点的北偏东．
求步道的长度精确到个位；
点处有直饮水，小红从出发沿人行步道去取水，可以经过点到达点，也可以经过点到达点请计算说明他走哪一条路较近？
参考数据：，

25.  本小题分
如图，两座建筑物的水平距离为，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为求这两座建筑物，的高度．结果保留小数点后一位，，

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
根据勾股定理求出，根据正切的定义计算即可．
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角的对边与邻边的比叫做的正切是解题的关键．
【解答】
解：由勾股定理得，，
，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等．掌握三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关是解决问题的关键．
易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变．
【解答】
解：各边都扩大倍，
新三角形与原三角形的对应边的比为：，
两三角形相似，
的三角函数值不变，
故选A．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记的余弦值是解题的关键．
根据的余弦值为计算即可．
【解答】
解：
   
    ，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值得出，的度数，进而得出答案．
【解答】

解：，
，，
则，
是等边三角形．
故选B．

5.【答案】 

【解析】解：如图所示：，，
，
解得：．
故选：．
直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了锐角三角函数定义，正确画出直角三角形是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理，三角形的面积，锐角三角函数的定义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出是解决问题的关键．
作于，根据勾股定理求出、，利用三角形的面积求出，最后在直角中根据三角函数的意义求解．
【解答】
解：如图，作于，

由勾股定理得，，，
，
，
．
故选B．  

7.【答案】 

【解析】解：由题意可知，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
．
故选：．
利用题目信息得到的长度，然后根据和的长度判断出的形状，然后根据特殊直角三角形的三边关系得到的长度．
本题考查解直角三角形与三角形的高，能够充分利用含有角的直角三角形的三边关系是解答本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：米，李明的眼睛高米，，
，米，，
，
解得米，
即米．
故选：．
根据已知得出，再利用，进而得出的长．
本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意得出解答是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，在，有，，且，
则，
故选：．
根据题意，可得，同时可知与根据三角函数的定义解答．
本题考查了解直角三角形的应用，要熟练掌握三角函数的定义．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意知，，，米，
，
米，
米，
米．
故选：．
根据已知条件转化为直角三角形中的有关量，由锐角三角函数的定义可求出，根据可得出答案．
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用仰俯角的定义将题目中的相关量转化为直角三角形中的有关元素．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了三角函数坡度坡角问题及三角函数的定义正确的理解三角函数的定义及坡度坡角的定义是解决问题的关键．
根据坡度坡角的定义和三角函数的定义逐项进行判断即可．
【解答】
解：因为坡度不是指角的度数，是指，故此项错误；
B.斜坡的坡度是故此项正确；
C.由三角函数的定义可知米，故此项错误；
D.由三角函数的定义可知米，故此项错误，
故选：．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键根据同角的余角相等得，由可知．

【解答】

解：，，

，，
，
在中，，

．

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的知识点是三角函数定义，根据，即可得到，代入，即可得到答案．
【解答】
解：，，
．

故答案为．

14.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确得出的度数是解题关键．
直接利用特殊角的三角函数值得出的度数，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】
解：，，
，
，
．  

15.【答案】 

【解析】略
 

16.【答案】 

【解析】解：由已知得，海里，，．
过点作于点．
在直角中，
海里．
在直角中，，则直角是等腰直角三角形．即海里，
海里．
故答案为：．
过点作于点，由已知可求得的长；再根据三角函数求的长．
本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．
 

17.【答案】解：由，，
得出：，
由勾股定理得出：，
则，
故． 

【解析】本题考查了解直角三角形，由直角三角形已知元素求未知元素的过程，还考查了直角三角形的性质．
根据锐角三角函数的概念和勾股定理求解，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系及勾股定理，然后再代入三角函数进行求解，最后求出的周长和面积．
 

18.【答案】解：不妨设锐角、是中的锐角，，、、分别为、、的对边．
，
，即．

，
．
，
，即
，
，
． 

【解析】不妨设锐角、是中的锐角，，、、分别为、、的对边．
由，将和用表示出来，再根据余弦函数和正切函数的定义得出答案即可；求的其他三角函数值；
由，将和用表示出来，再根据正弦函数和余弦函数的定义得出答案即可．
本题主要考查了锐角三角函数的定义，明确锐角三角函数的定义并结合勾股定理表示出未知的边长是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式


．
，
当时，原式 

【解析】化简后代入计算即可；
本题考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式，代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为．
 

20.【答案】解：如图，

在中，，，，
，
，
，． 

【解析】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于基础题型．
利用勾股定理求出，根据，推出即可解决问题．
 

21.【答案】解：过点作，垂足为．

、均为直角三角形．
在中，
，
．
在中，，，

，
，
，
．
在中，，，
，
是等腰直角三角形，
．
． 

【解析】过点作，垂足为得到和，先在中根据正切定义和勾股定理求出、，再在中求出，最后利用线段的和差关系求出．
本题考查了解直角三角形，构造直角三角形并掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
 

22.【答案】解：如图，过点作地面的垂线，垂足为，过点作地面的平行线，交于点，交于点，
在中，，，
则，
在中，，，
则，
，
答：旋转头的固定点与地面的距离应为． 

【解析】通过作辅助线构造直角三角形，分别在和在中，根据锐角三角函数求出、，而点到地面的高度为，进而取出后即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确计算的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：由题意得：，

在中，

，又

答：树的高度约为米．

【解析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键树高相当于，问题也就转化为求和的和，而相当于小丽的身高，在中利用三角函数的知识求就成了解题的关键．
 

24.【答案】解：过作于，如图：

由已知可得四边形是矩形，
米，
点在点的北偏东，即，
是等腰直角三角形，
米；
由知是等腰直角三角形，米，
米，
点在点的北偏东，即，
，
米，
米，米，
米，
经过点到达点路程为米，
米，
米，
米，
经过点到达点路程为米，
，
经过点到达点较近． 

【解析】过作于，由已知可得四边形是矩形，则米，根据点在点的北偏东，即得米；
由是等腰直角三角形，米，可得米，而，即得米，米，又米，即可得经过点到达点路程为米，米，从而可得经过点到达点路程为米，即可得答案．
本题考查解直角三角形方向角问题，解题的关键是掌握含、角的直角三角形三边的关系．
 

25.【答案】解：延长，交于点，可得，

在中，，，
，
在中，，，
，
则．
答：这两座建筑物、的高度分别为和． 

【解析】延长，交过点的水平线于点，可得，在直角三角形中，由题意确定出的长，进而确定出的长，在直角三角形中，由题意求出的长，由求出的长即可
此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．