高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线达标测试

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一、选择题
双曲线方程为x2－2y2＝2，则它的左焦点坐标为( )
A.(－eq \f(\r(2),2)，0) B.(－eq \f(\r(5),2)，0) C.(－eq \f(\r(6),2)，0) D.(－eq \r(3)，0)
【答案解析】答案为：D
解析：双曲线标准方程为eq \f(x2,2)－y2＝1，∴c2＝2＋1＝3.∴左焦点坐标为(－eq \r(3)，0).
方程 SKIPIF 1 < 0 表示双曲线，则m的取值范围为( )
A.﹣2＜m＜2 B.m＞0 C.m≥0 D.|m|≥2
【答案解析】答案为：A；
解析：∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)(2﹣m)＞0.∴﹣2＜m＜2.
双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的焦点坐标是( )
A．(－eq \r(2)，0)，(eq \r(2)，0) B．(－2,0)，(2,0)
C．(0，－eq \r(2))，(0，eq \r(2)) D．(0，－2)，(0,2)
【答案解析】答案为：B；
以eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )
A.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,16)＝1 C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,16)＝1
【答案解析】答案为：D
解析：方程可化为eq \f(y2,12)－eq \f(x2,4)＝1，∴焦点为(0，±4)，顶点为(0，±2eq \r(3))．
从而椭圆方程中，a＝4，c＝2eq \r(3)，∴b＝2.∵焦点在y轴上，∴椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,16)＝1.
双曲线eq \f(x2,10)－eq \f(y2,2)＝1的焦距为( )
A.3eq \r(2) B.4eq \r(2) C.3eq \r(3) D.4eq \r(3)
【答案解析】答案为：D
解析：由双曲线的标准方程可知，a2＝10，b2＝2.于是有c2＝a2＋b2＝12，则2c＝4eq \r(3).故选D.
已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,9)＝1(a＞0)与双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1有相同的焦点，则a的值为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(10) C.4 D.eq \r(34)
【答案解析】答案为：C.
解析：因为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,9)＝1(a＞0)与双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1有相同的焦点(±eq \r(7)，0)，
则有a2－9＝7，∴a＝4.选C.
双曲线2x2﹣y2＝8的实轴长是( )
A.2 B.2eq \r(2) C.4 D.4eq \r(2)
【答案解析】答案为：C
解析：将双曲线2x2﹣y2＝8化成标准方程eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,8)＝1，则a2＝4，所以实轴长2a＝4.
已知方程eq \f(x2,m2＋n)﹣eq \f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A.(﹣1,3) B.(﹣1，eq \r(3)) C.(0,3) D.(0，eq \r(3))
【答案解析】答案为：A
解析：根据双曲线的焦距，建立关于n的不等式组求解.
若双曲线的焦点在x轴上，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋n>0，,3m2－n>0.))又∵(m2＋n)＋(3m2﹣n)＝4，
∴m2＝1，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋n>0，,3－n>0，))∴﹣1＜n＜3.
若双曲线的焦点在y轴上，
则双曲线的标准方程为eq \f(y2,n－3m2)﹣eq \f(x2,－m2－n)＝1，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n－3m2>0，,－m2－n>0，))
即n＞3m2且n＜﹣m2，此时n不存在.故选A.
椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有相同的焦点，则a的值为( )
A.1 B.eq \r(2) C.2 D.3
【答案解析】答案为：A.
解析：由题意知椭圆、双曲线的焦点在x轴上，且a＞0.∵4﹣a2＝a＋2，∴a2＋a﹣2＝0，
∴a＝1或a＝﹣2(舍去).故选A.答案为：A
若k＞1，则关于x，y的方程(1﹣k)x2＋y2＝k2﹣1所表示的曲线是( )
A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的椭圆
C.焦点在y轴上的双曲线 D.焦点在x轴上的双曲线
【答案解析】答案为：C.
已知F是双曲线C：x2﹣eq \f(y2,3)＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,2)
【答案解析】答案为：D；
解析：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，
得4﹣eq \f(y2,3)＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴，
又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝eq \f(1,2)|PF|·|AP|＝eq \f(1,2)×3×1＝eq \f(3,2).
已知双曲线的两个焦点分别为F1(－eq \r(5)，0)，F2(eq \r(5)，0)，P是双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程是( )
A.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1 C.x2－eq \f(y2,4)＝1 D. eq \f(x2,4)－y2＝1
【答案解析】答案为：D.
解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在Rt△PF1F2中m2＋n2＝(2c)2＝20，m·n＝2，
由双曲线定义知|m－n|2＝m2＋n2－2mn＝16.∴4a2＝16.∴a2＝4，b2＝c2－a2＝1.
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－y2＝1.
二、填空题
已知(2,0)是双曲线x2－eq \f(y2,b2)＝1(b＞0)的一个焦点，则b＝________.
【答案解析】答案为：eq \r(3).
解析：[因为(2,0)是双曲线x2－eq \f(y2,b2)＝1(b＞0)的一个焦点，所以1＋b2＝4，则b＝eq \r(3).]
设m是常数，若点F(0,5)是双曲线eq \f(y2,m)－eq \f(x2,9)＝1的一个焦点，则m＝__________.
【答案解析】答案为：16.
解析：由点F(0,5)可知该双曲线eq \f(y2,m)－eq \f(x2,9)＝1的焦点落在y轴上，所以m＞0，且m＋9＝52，
解得m＝16.
已知P是双曲线eq \f(x2,64)－eq \f(y2,36)＝1上一点，F1，F2是双曲线两个焦点，若|PF1|＝17，则|PF2|值为_____.
【答案解析】答案为：33.
解析：由双曲线方程eq \f(x2,64)－eq \f(y2,36)＝1知，a＝8，b＝6，则c＝eq \r(a2＋b2)＝10.
∵P是双曲线上一点，∴||PF1|－|PF2||＝2a＝16，
又|PF1|＝17，∴|PF2|＝1或|PF2|＝33.又|PF2|≥c－a＝2，∴|PF2|＝33.
已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则 SKIPIF 1 < 0 的值等于________.
【答案解析】答案为：eq \f(4,5).
三、解答题
已知曲线eq \f(x2,16－m)－eq \f(y2,m)＝1.
(1)当曲线是椭圆时，求实数m的取值范围，并写出焦点坐标；
(2)当曲线是双曲线时，求实数m的取值范围，并写出焦点坐标.
【答案解析】解：(1)曲线为椭圆
⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16－m>0,－m>0,16－m≠－m))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<16,m<0))⇔m<0.
即实数m的取值范围是(－∞，0).
此时，椭圆的焦点在x轴上，坐标为(±4,0).
(2)曲线为双曲线⇔(16－m)m＞0⇔0即实数m的取值范围是(0,16).
此时，双曲线的焦点在x轴上，坐标为(±4,0).
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)以椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的长轴端点为焦点，且经过点P(5，eq \f(9,4))；
(2)过点P1(3，－4eq \r(2))，P2(eq \f(9,4)，5).
【答案解析】解：(1)因为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的长轴端点为A1(－5,0)，A2(5,0)，
所以所求双曲线的焦点为F1(－5,0)，F2(5,0).由双曲线的定义知，
||PF1|－|PF2||＝8，即2a＝8，则a＝4.
又c＝5，所以b2＝c2－a2＝9.
故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1.
(2)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，
分别将点P1(3，－4eq \r(2))，P2(eq \f(9,4)，5)代入，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9A＋32B＝1,\f(81,16)A＋25B＝1))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝－\f(1,9),B＝\f(1,16)))，
故所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,16)－eq \f(x2,9)＝1.
已知点P为双曲线x2－eq \f(y2,12)＝1上的点，F1、F2是该双曲线的两个焦点，且|PF1|·|PF2|＝24，
求△PF1F2的周长.
【答案解析】解：由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
又|PF1|·|PF2|＝24，
所以|PF1|＋|PF2|＝eq \r(|PF1|－|PF2|2＋4|PF1|·|PF2|)＝10.
又因为|F1F2|＝2c＝2eq \r(13)，
所以△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝10＋2eq \r(13).
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)过点(3，﹣eq \r(2))，离心率e＝eq \f(\r(5),2)；
(2)中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，﹣eq \r(10)).
【答案解析】解：(1)若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0).
因为双曲线过点(3，﹣eq \r(2))，则eq \f(9,a2)﹣eq \f(2,b2)＝1.①
又e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \f(\r(5),2)，故a2＝4b2.②
由①②得a2＝1，b2＝eq \f(1,4)，故所求双曲线的标准方程为x2﹣eq \f(y2,\f(1,4))＝1.
若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为eq \f(y2,a2)﹣eq \f(x2,b2)＝
1(a＞0，b＞0).同理可得b2＝﹣eq \f(17,2)，不符合题意.
综上可知，所求双曲线的标准方程为x2﹣eq \f(y2,\f(1,4))＝1.
(2)由2a＝2b得a＝b，所以 e＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(2)，
所以可设双曲线方程为x2﹣y2＝λ(λ≠0).
因为双曲线过点P(4，﹣eq \r(10))，
所以 16﹣10＝λ，即λ＝6.
所以 双曲线方程为x2﹣y2＝6.
所以 双曲线的标准方程为eq \f(x2,6)﹣eq \f(y2,6)＝1.
已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为eq \r(2)，且过点P(4，﹣eq \r(10)).
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0.
【答案解析】解：(1)∵e＝eq \r(2)，
∴可设双曲线的方程为x2﹣y2＝λ(λ≠0).
∵双曲线过点(4，﹣eq \r(10))，∴16﹣10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线的方程为x2﹣y2＝6，即eq \f(x2,6)﹣eq \f(y2,6)＝1.
(2)证明：法一：由(1)可知，a＝b＝eq \r(6)，
∴c＝2eq \r(3)，∴F1(﹣2eq \r(3)，0)，F2(2eq \r(3)，0)，
∴kMF1＝eq \f(m,3＋2\r(3))，kMF2＝eq \f(m,3－2\r(3))，
kMF1·kMF2＝eq \f(m2,9－12)＝﹣eq \f(m2,3).
∵点M(3，m)在双曲线上，∴9﹣m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝﹣1，∴MF1⊥MF2.
∴eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0.
法二：由(1)可知，a＝b＝eq \r(6)，∴c＝2eq \r(3)，
∴F1(﹣2eq \r(3)，0)，F2(2eq \r(3)，0)，
eq \(MF1,\s\up6(→))＝(﹣2eq \r(3)﹣3，﹣m)，eq \(MF2,\s\up6(→))＝(2eq \r(3)﹣3，﹣m)，
∴eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝(3＋2eq \r(3))×(3﹣2eq \r(3))＋m2＝﹣3＋m2，
∵点M(3，m)在双曲线上，∴9﹣m2＝6，即m2﹣3＝0，
∴eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0.
设双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为eq \f(\r(3),4)c，求双曲线的离心率.
【答案解析】解：直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，即bx＋ay﹣ab＝0.
于是有eq \f(|b·0＋a·0－ab|,\r(a2＋b2))＝eq \f(\r(3),4)c，
所以ab＝eq \f(\r(3),4)c2，两边平方，得a2b2＝eq \f(3,16)c4.
又b2＝c2﹣a2，所以16a2(c2﹣a2)＝3c4，
两边同时除以a4，得3e4﹣16e2＋16＝0，
解得e2＝4或e2＝eq \f(4,3).
又b＞a，所以e2＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)＞2，则e＝2.
于是双曲线的离心率为2.
已知双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0).
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为﹣eq \r(3)，求双曲线的离心率.
【答案解析】解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，所以a＝b，
所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，
所以双曲线的方程为eq \f(x2,2)﹣eq \f(y2,2)＝1.
(2)设点A的坐标为(x0，y0)，
所以直线AO的斜率满足eq \f(y0,x0)·(﹣eq \r(3))＝﹣1，所以x0＝eq \r(3)y0，①
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程得3yeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝c2，即y0＝eq \f(1,2)c，
所以x0＝eq \f(\r(3),2)c，所以点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)c，\f(1,2)c))，
代入双曲线方程得eq \f(\f(3,4)c2,a2)﹣eq \f(\f(1,4)c2,b2)＝1，即eq \f(3,4)b2c2﹣eq \f(1,4)a2c2＝a2b2，②
又因为a2＋b2＝c2，
所以将b2＝c2﹣a2代入②式，整理得eq \f(3,4)c4﹣2a2c2＋a4＝0，
所以3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))4﹣8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))2＋4＝0，
所以(3e2﹣2)(e2﹣2)＝0，
因为e＞1，所以e＝eq \r(2)，
所以双曲线的离心率为eq \r(2).