广东省深圳市2021年中考数学试卷【含答案】

广东省深圳市2021年中考数学

一、选择题(每题3分，共30分)

1．如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，和“建”字所在面相对的面上的字是（　　）

A．跟 B．百 C．走 D．年

2．﹣的相反数（　　）

A．2021 B． C．﹣2021 D．﹣

3．不等式x﹣1＞2的解集在数轴上表示为（　　）

A． B． 

C． D．

4．《你好，李焕英》的票房数据是：109，133，120，118，124，那么这组数据的中位数是（　　）

A．124 B．120 C．118 D．109

5．下列运算中，正确的是（　　）

A．2a2•a＝2a3 B．（a2）3＝a5 C．a2+a3＝a5 D．a6÷a2＝a3

6．计算|1﹣tan60°|的值为（　　）

A．1﹣ B．0 C．﹣1 D．1﹣

7．《九章算术》中记载：今有好田1亩，价值300钱；坏田7亩，价值500钱．今共买好、坏田1顷（1顷＝100亩），价钱10000钱．问好、坏田各买了多少亩？设好田买了x亩，坏田买了y亩，则下面所列方程组正确的是（　　）

A．             B． 

C．             D．

8．如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为（　　）

A．15sin32° B．15tan64° C．15sin64° D．15tan32°

9．二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A． B． 

C． D．

10．在正方形ABCD中，AB＝2，点E是BC边的中点，连接DE，延长EC至点F，使得EF＝DE，过点F作FG⊥DE，分别交CD、AB于N、G两点，连接CM、EG、EN，下列正确的是（　　）

①tan∠GFB＝；②MN＝NC；③；④S四边形GBEM＝．

A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题(每题3分，共15分)

11．因式分解：7a2﹣28＝　            　．

12．已知方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为 　 　．

13．如图，已知∠BAC＝60°，AD是角平分线且AD＝10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF周长为 　              　．

14．如图，已知反比例函数过A，B两点，A点坐标（2，3），直线AB经过原点，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，则C点坐标为 　       　．

15．如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC上的点，将△COE沿DE折叠，得到△FDE，连接BF，CF，∠BFC＝90°，若EF∥AB，AB＝4，EF＝10，则AE的长为 　               　．

三、解答题(共55分)

16．先化简再求值：（）÷，其中x＝﹣1．

17．如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位．

（1）过直线m作四边形ABCD的对称图形；（2）求四边形ABCD的面积．

18．随机调查某城市30天空气质量指数（AQI），绘制成扇形统计图．

（1）m＝　 　，n＝　 　；（2）求良的占比；（3）求差的圆心角；

（4）统计表是一个月内的空气污染指数统计，然后根据这个一个月内的统计进行估测一年的空气污染指数为中的天数，从统计表可以得到空气污染指数为中的有9天．根据统计表，一个月（30天）中有 　 　天AQI为中，估测该城市一年（以365天计）中大约有 　 　天AQI为中．

19．如图，AB为⊙O的弦，D，C为的三等分点，AC∥BE．

（1）求证：∠A＝∠E；（2）若BC＝3，BE＝5，求CE的长．

20．某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如表所示：

（1）求y与x的函数关系式；

（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？

21．探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍．

（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？　    　（填“存在”或“不存在”）．

（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？

同学们有以下思路：

①设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝10，xy＝12，联立得x2﹣10x+12＝0，再探究根的情况；

根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的倍；

②如图也可用反比例函数与一次函数证明l1：y＝﹣x+10，l2：y＝，那么，

a．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？　    　．

b．请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，若存在，用图象表达；

c．请直接写出当结论成立时k的取值范围：　    　．

22．在正方形ABCD中，等腰直角△AEF，∠AFE＝90°，连接CE，H为CE中点，连接BH、BF、HF，发现和∠HBF为定值．

（1）①＝　           　；②∠HBF＝　           　；

③小明为了证明①②，连接AC交BD于O，连接OH，证明了和的关系，请你按他的思路证明①②．

（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，＝k，∠BDA＝∠EAF＝θ（0°＜θ＜90°）．

求①＝　      　；（用k的代数式表示）②＝　      　．（用k、θ的代数式表示）

参考答案

1．B．2．B．3．A．4．B．5．A．6．C．7．B．8．C．9．A．10．B．

11．7（a+2）（a﹣2）．

12．2．

13．5+5．

14．（4，﹣7）．

15．10﹣4．

16．解：原式＝•

＝•

＝，

当x＝﹣1时，原式＝＝1．

17．解：（1）如图所示，四边形A'B'C'D'即为所求；

（2）四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝×4×1+×4×3＝8．

18．解：（1）根据题意，得m＝×30＝4，

所以n＝30﹣4﹣15﹣9＝2，故答案为：4，2；

（2）良的占比＝×100%＝50%；

（3）差的圆心角＝×360°＝24°；

（4）根据统计表，一个月（30天）中有9天AQI为中，估测该城市一年（以365天计）中大约有365×＝110（天）AQI为中．故答案为：9，110．

19．（1）证明：

∵AC∥BE，∴∠E═∠ACD，

∵D，C为的三等分点，∴＝＝，∴∠ACD═∠A，∴∠E═∠A，

（2）解：由（1）知＝＝，∴∠D═∠CBD═∠A═∠E，

∴BE═BD═5，BC═CD═3，△CBD∽△BDE，∴═，即，

解得DE═，∴CE═DE﹣CD═﹣3═．

20．解：（1）由表格中数据可知，y与x之间的函数关系式为一次函数关系，

设y＝kx+b（k≠0），则，解得：，∴y与x的函数关系式y＝﹣5x+90；

（2）设该产品的销售利润为w，

由题意得：w＝y（x﹣8）＝（﹣5x+90）（x﹣8）＝﹣5x2+130x﹣720＝﹣5（x﹣13）2+125，

∵﹣5＜0，∴当x＝13时，w最大，最大值为125（万元），

答：当销售单价为13万元时，有最大利润，最大利润为125万元．

21．解：（1）由题意得，给定正方形的周长为8，面积为4，

若存在新正方形满足条件，则新正方形的周长为16，面积为8，

对应的边长为：4和，不符合题意，∴不存在新正方形的周长和面积是边长为2的正方形的2倍．故答案为：不存在．

（2）①设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝2.5，xy＝3，

联立，得：2x2﹣5x+6＝0，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×6＝﹣23＜0，

∴此方程无解，∴不存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的倍．

②a：从图象看来，函数y＝﹣x+10和函数y＝图象在第一象限有两个交点，

∴存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的2倍．

故答案为：存在．

b：设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝2.5，xy＝3，

联立，得：2x2﹣5x+6＝0，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×6＝﹣23＜0，

∴此方程无解，∴不存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的倍．

从图象看来，函数y＝﹣x+2.5和函数y＝图象在第一象限没有交点，

∴不存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的倍．

c：设设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝5k，xy＝6k，

联立，得：x2﹣5kx+6k＝0，

∴Δ＝（﹣5k）2﹣4×1×6k＝25k2﹣24k，设方程的两根为x1，x2，

当Δ≥0即25k2﹣24k≥0时，x1+x2＝5k＞0，x1x2＝6k＞0，

解得：k≥或k≤0（舍），∴k≥时，存在新矩形的周长和面积均为原矩形的k倍．

故答案为：k≥．

22．解：①；②45°；③由正方形的性质得：，O为AC的中点，

又∵H为CE的中点，∴OH∥AE，OH＝，

∵△AEF是等腰直角三角形，∴AE＝，∴，

∵OH∥AE，∴∠COH＝∠CAE，∴∠BOH＝∠BAF，∴△BOH∽△BAF，

∴，∴∠HBF＝∠HBO+∠DBF＝∠DBA＝45°；

（2）①如图2，连接AC交BD于点O，连接OH，

由（1）中③问同理可证：△DOH∽△DAF，∴，

②由①知：△DOH∽△DAF，∴∠HDO＝∠FDA，∴∠HDF＝∠BDA＝θ，

在△HDF中，，设DF＝2t，HD＝kt，作HM⊥DF于M，

∴HM＝DH×sinθ＝ktsinθ，DM＝ktcosθ，∴MF＝DF﹣DM＝（2﹣kcosθ）t，

在Rt△HMF中，由勾股定理得：

HF＝，∴．