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2009年广东省深圳市中考数学试卷
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这是一份2009年广东省深圳市中考数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）3的倒数是（ ）
A．﹣3B．C．﹣D．3
2．（3分）经公安部交管局统计，今年5月份全国因道路交通事故造成伤亡共25591人．这个数据用科学记数法可以表示为（ ）
A．2.5591×105B．25.591×103C．2.5591×104D．2.5591×106
3．（3分）如图，平放在台面上的圆锥体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么你估计该厂这20万件产品中合格品约为（ ）
A．1万件B．19万件C．15万件D．20万件
6．（3分）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）班长去文具店买毕业留言卡50张，每张标价2元，店老板说可以按标价九折优惠，则班长应付（ ）
A．45元B．90元C．10元D．100元
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．不能确定
9．（3分）不等式组的整数解是（ ）
A．1，2B．1，2，3C．D．0，1，2
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA＝1：3，且AC＝10，则DE的长度是（ ）
A．3B．5C．D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）计算：（y3）2÷y5＝ ．
12．（3分）如图，点A为反比例函数y＝的图象在第二象限上的任一点，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，则矩形ABOC的面积是 ．
13．（3分）为了准备毕业联欢的抽奖活动，小华准备了10个白球，2个红球，8个黄球，每个球除颜色外都相同，把它们放入不透明的口袋中搅匀，规定每位同学每次抽奖，只能从袋中摸出一个球，记下颜色后放回，摸到红球可获钢笔一支．那么小亮抽奖一次得到钢笔的概率是 ．
14．（3分）如图，小明利用升旗用的绳子测量学校旗杆BC的高度，他发现绳子刚好比旗杆长11米，若把绳子往外拉直，绳子接触地面A点并与地面形成30°角时，绳子末端D距A点还有1米，那么旗杆BC的高度为 米．
15．（3分）下面是按一定规律摆放的图案，按此规律，第2010个图案与第1～4个图案中相同的是第 个．（只填数字）．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD，若AB＝8，BD＝5，则CD＝ ．
三、解答题（共7小题，满分52分）
17．（5分）计算：．
18．（6分）解分式方程：．
19．（6分）随着网络的普及，越来越多的人喜欢到网上购物．某公司对某个网站2005年到2008年网上商店的数量和购物顾客人次进行了调查．根据调查结果，将四年来该网站网上商店的数量和每个网上商店年平均购物顾客人次分别制成了折线统计图（如图a）和条形统计图（如图b）．请你根据统计图提供的信息完成下列填空：
（1）2005年该网站共有网上商店 个；
（2）2008年该网站网上购物顾客共有 万人次；
（3）这4年该网站平均每年网上购物顾客有 万人次．
20．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠ABE＝50°，求∠EGC的大小．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，DC切⊙O于点C，AD⊥DC，垂足为D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若sin∠BEC＝，求DC的长．
22．（9分）某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人：他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装，生产开始后，调研部分发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
（3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资，给每名新工人每月发1200元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能的少？
23．（10分）已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）．
（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式．
（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E．
①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标．
②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．
2009年广东省深圳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）3的倒数是（ ）
A．﹣3B．C．﹣D．3
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数计算即可得解．
【解答】解：∵3×＝1，
∴3的倒数是．
故选：B．
【点评】本题考查了倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2．（3分）经公安部交管局统计，今年5月份全国因道路交通事故造成伤亡共25591人．这个数据用科学记数法可以表示为（ ）
A．2.5591×105B．25.591×103C．2.5591×104D．2.5591×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：将25 591用科学记数法表示为2.5591×104．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）如图，平放在台面上的圆锥体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从正面看得到的平面图形的即可．
【解答】解：从正面看得到的平面图形为一个等腰三角形，故选A．
【点评】考查圆锥给定位置的主视图，注意主视图是从物体正面看得到的平面图形．
4．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．（3分）某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么你估计该厂这20万件产品中合格品约为（ ）
A．1万件B．19万件C．15万件D．20万件
【分析】先计算出100件样本中合格品的百分比，约等于这20万件的合格率，再估计该厂这20万件产品中合格品．
【解答】解：（100﹣5）÷100×100%×20＝19（万件），故选：B．
【点评】考查用样本估计总体的方法，总体合格率约等于样本合格率．
6．（3分）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先对分子分母进行因式分解，然后再约分即可．
【解答】解：原式＝＝；
故选：D．
【点评】对分式进行化简时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式，然后进行约分．
7．（3分）班长去文具店买毕业留言卡50张，每张标价2元，店老板说可以按标价九折优惠，则班长应付（ ）
A．45元B．90元C．10元D．100元
【分析】根据九折可以知道实际售价为2×0.9＝1.8元，一共买50张，则需付款1.8×50＝90元．
【解答】解：班长应付款为：2×0.9×50＝90（元）．
故选：B．
【点评】本题主要考查有理数的乘法运算，同学们只要明白九折表示原价的0.9倍，即可得解．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．不能确定
【分析】利用二次函数的性质即可解答．
【解答】解：从题中给出的图象可以看出，对称轴为直线x＝﹣3，a＜0，
又点A、B位于对称轴右侧，y随x的增大而减小，
则y1＞y2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，学会比较图象上点的坐标的大小．
9．（3分）不等式组的整数解是（ ）
A．1，2B．1，2，3C．D．0，1，2
【分析】先求出不等式组的解集，再求出其整数解．
【解答】解：，
由①得，x＜3，
由②得，x＞，
不等式的解集为＜x＜3，
其整数解是1，2．
故选：A．
【点评】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA＝1：3，且AC＝10，则DE的长度是（ ）
A．3B．5C．D．
【分析】根据∠EDC：∠EDA＝1：3，可得∠EDC＝22.5°，∠EDA＝67.5°，再由AC＝10，求得DE．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝10，OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD＝BD＝5，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA＝1：3，∠EDC+∠EDA＝90°，
∴∠EDC＝22.5°，∠EDA＝67.5°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DCE＝90°﹣∠EDC＝67.5°，
∴∠ODC＝∠OCD＝67.5°，
∴∠ODC+∠OCD+∠DOC＝180°，
∴∠COD＝45°，
∴OE＝DE，
∵OE2+DE2＝OD2，
∴2DE2＝OD2＝25，
∴DE＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理和矩形的性质，是一道中等题．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）计算：（y3）2÷y5＝ y ．
【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减的运算性质计算即可．
【解答】解：（y3）2÷y5，
＝y6÷y5，
＝y．
【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．
12．（3分）如图，点A为反比例函数y＝的图象在第二象限上的任一点，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，则矩形ABOC的面积是 3 ．
【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S＝|k|．
【解答】解：点A为反比例函数y＝的图象在第二象限上的任一点，则矩形ABOC的面积S＝|k|＝3．
故答案为：3．
【点评】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
13．（3分）为了准备毕业联欢的抽奖活动，小华准备了10个白球，2个红球，8个黄球，每个球除颜色外都相同，把它们放入不透明的口袋中搅匀，规定每位同学每次抽奖，只能从袋中摸出一个球，记下颜色后放回，摸到红球可获钢笔一支．那么小亮抽奖一次得到钢笔的概率是 ．
【分析】先求出球的总个数，找出符合条件的球的总数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：∵小华准备了10个白球，2个红球，8个黄球，
∴球的总个数为10+2+8＝20个，
∴随机摸一个摸到红球的概率是＝，
∵摸到红球可获钢笔一支，
∴小亮抽奖一次得到钢笔的概率是．
【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
14．（3分）如图，小明利用升旗用的绳子测量学校旗杆BC的高度，他发现绳子刚好比旗杆长11米，若把绳子往外拉直，绳子接触地面A点并与地面形成30°角时，绳子末端D距A点还有1米，那么旗杆BC的高度为 10 米．
【分析】如图，根据已知条件知AB+1﹣BC＝11米，再由，∠BAC＝30°，得到BC＝AB，接着就可以求出旗杆BC的高度．
【解答】解：如图，依题意得AB+1﹣BC＝11米，
而在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴BC＝AB，
∴BC＝10米．
故填空答案：10．
【点评】此题比较简单，直接利用直角三角形中30°的角所对的边等于斜边的一半就可以求出结果．
15．（3分）下面是按一定规律摆放的图案，按此规律，第2010个图案与第1～4个图案中相同的是第 2 个．（只填数字）．
【分析】本题的关键是要找出4个图形一循环，然后再求2010被4整除后余数是2，从而确定是第2个图形．
【解答】解：根据题意可知箭头是1、2、3、4即4个一循环，又因为2010÷4＝502…2，所以是第2个图形．
【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD，若AB＝8，BD＝5，则CD＝ ．
【分析】设出AC、CD的长，由勾股定理列方程组求出AC、CD的长．
【解答】解：设AC＝x，CD＝y，由勾股定理得：
，
消去x，得：
（y+5）2﹣y2＝39，
整理，得：
10y＝14，即y＝，
故CD的长为．
【点评】此题主要考查了勾股定理和二元二次方程组的解法，难度适中．
三、解答题（共7小题，满分52分）
17．（5分）计算：．
【分析】本题涉及绝对值、零指数幂、负指数幂3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝
＝．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
18．（6分）解分式方程：．
【分析】本题考查解分式方程的能力，因为1﹣x＝﹣（x﹣1），所以最简公分母为（x﹣1）．
【解答】解：（1）方程两边同乘（x﹣1），
得：x+3＝3x﹣3，
解得x＝3．
经检验x＝3是原方程的解．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
（3）去分母时要注意符号的变化．
19．（6分）随着网络的普及，越来越多的人喜欢到网上购物．某公司对某个网站2005年到2008年网上商店的数量和购物顾客人次进行了调查．根据调查结果，将四年来该网站网上商店的数量和每个网上商店年平均购物顾客人次分别制成了折线统计图（如图a）和条形统计图（如图b）．请你根据统计图提供的信息完成下列填空：
（1）2005年该网站共有网上商店 20 个；
（2）2008年该网站网上购物顾客共有 3600 万人次；
（3）这4年该网站平均每年网上购物顾客有 1250 万人次．
【分析】（1）分析折线图，易得答案；
（2）分析折线图和扇形图可知，2008年有80个网店，每个网上商店平均45万人购物，则可求得结果；
（3）根据平均数公式计算求解．
【解答】解：（1）分析折线图可得：2005年该网站共有网上商店20个；
（2）80×45＝3600万人次；
（3）平均每年网上购物顾客＝（20×5+30×10+50×20+80×45）÷4＝1250万人次．
【点评】本题考查折线统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
20．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠ABE＝50°，求∠EGC的大小．
【分析】（1）证全等三角形由AB＝BC，BE＝BF，∠ABE+∠EBC＝∠CBF+∠EBC⇒∠BAE＝∠CBF，可证的全等．
（2）因为BE＝BF再根据（1）可得∠EFB＝∠BEF＝45°，∠EGC＝∠EBG+∠BEF＝45°+40°＝85°
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BE⊥BF
∴AB＝CB，∠ABC＝∠EBF＝90°（1分）
∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EBF﹣∠EBC
即∠ABE＝∠CBF（2分）
又BE＝BF（3分）
∴△ABE≌△CBF；（4分）
（2）解：∵BE＝BF，∠EBF＝90°
∴∠BEF＝45°（5分）
又∠EBG＝∠ABC﹣∠ABE＝40°（6分）
∴∠EGC＝∠EBG+∠BEF＝85°．（8分）
（注：其它方法酌情给分）
【点评】本题关键在于全等三角形的证明以及等腰三角形性质的运用，等腰三角形两底角相等．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，DC切⊙O于点C，AD⊥DC，垂足为D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若sin∠BEC＝，求DC的长．
【分析】（1）连接OC，易证AD∥OC，则∠DAC＝∠ACO，则只要证明∠CAO＝∠ACO，根据等边对等角即可证明；
（2）∠BEC＝∠BAC，则直角△ABC中即可求得∠ABC，根据三角函数即可求得AB、AC的长，而∠DCA＝∠CBA，在直角△ACD中即可利用三角函数求得CD的长．
【解答】（1）证明：连接OC，由DC是切线得OC⊥DC；
又AD⊥DC，
∴AD∥OC，
∴∠DAC＝∠ACO．
又由OA＝OC得∠BAC＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠BAC．
即AC平分∠BAD．
（2）解：方法一：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°
又∵∠BAC＝∠BEC，
∴BC＝AB•sin∠BAC＝AB•sin∠BEC＝6．
∴AC＝．
又∵∠DAC＝∠BAC＝∠BEC，且AD⊥DC，
∴CD＝AC•sin∠DAC＝AC•sin∠BEC＝．
方法二：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°．
又∵∠BAC＝∠BEC，
∴BC＝AB•sin∠BAC＝AB•sin∠BEC＝6．
∴．
又∵∠DAC＝∠BAC，∠D＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
，即，
解得．
【点评】本题考查了圆的切线的性质及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
22．（9分）某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人：他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装，生产开始后，调研部分发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
（3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资，给每名新工人每月发1200元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能的少？
【分析】（1）设熟练工和新工人每月分别可以安装x辆和y辆汽车，根据题意列出方程组，解出方程组即是所求；
（2）设需熟练工人数为m，根据题意列出方程，分析m取各值时，n的数值是多少；
（3）根据工资总额＝熟练工的工资×人数+新员工的工资×人数，可得出W关于n的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x辆和y辆汽车，
根据题意得：，
解得：．
答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装4辆和2辆汽车．
（2）设需熟练工m名，
根据题意得：2n×12+4m×12＝240，
∴n＝10﹣2m．
∵0＜n＜10，
∴0＜m＜5．
当m＝1时，n＝8；当m＝2时，n＝6；当m＝3时，n＝4；当m＝4时，n＝2．
∴共有四种方案：①需要1名熟练工人，另招聘8名新工人；②需要2名熟练工人，另招聘6名新工人；③需要3名熟练工人，另招聘4名新工人；④需要4名熟练工人，另招聘2名新工人．
（3）根据题意得：W＝1200n+（5﹣n）×2000＝200n+10000．
∵要使新工人数量多于熟练工，
∴n＝4、6、8．
∵200＞0，
∴当n＝4时，W取最小值，最小值为10800．
【点评】本题考查了一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，找出W关于n的函数关系式．
23．（10分）已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）．
（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式．
（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E．
①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标．
②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．
【分析】（1）由Rt△ABC中，CO⊥AB可证△AOC∽△COB，由相似比得OC2＝OA•OB，设OA的长为x，则OB＝5﹣x，代入可求OA，OB的长，确定A，B，C三点坐标，求抛物线解析式；
（2）根据△BDE为等腰三角形，分为DE＝EB，EB＝BD，DE＝BD三种情况，分别求E点坐标；
（3）作辅助线，将求△CDP的面积问题转化．方法一：如图1，连接OP，根据S△CDP＝S四边形CODP﹣S△COD＝S△COP+S△ODP﹣S△COD，表示△CDP的面积；方法二：过点P作PE⊥x轴于点F，则S△CDP＝S梯形COFP﹣S△COD﹣S△DFP，表示△CDP的面积；再利用二次函数的性质求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标．
【解答】解：（1）设OA的长为x，则OB＝5﹣x；
∵OC＝2，AB＝5，∠BOC＝∠AOC＝90°，∠OAC＝∠OCB；
∴△AOC∽△COB，∴OC2＝OA•OB
∴22＝x（5﹣x） …（1分）
解得：x1＝1，x2＝4，
∵OA＜OB，∴OA＝1，OB＝4； …（2分）
∴点A、B、C的坐标分别是：A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；
（注：直接用射影定理的，不扣分）
方法一：设经过点A、B、C的抛物线的关系式为：y＝ax2+bx+2，
将A、B、C三点的坐标代入得…（3分）
解得：a＝，b＝，c＝2
所以这个二次函数的表达式为：…（4分）
方法二：设过点A、B、C的抛物线的关系式为：y＝a（x+1）（x﹣4）…（3分）
将C点的坐标代入得：a＝
所以这个二次函数的表达式为：…（4分）
（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）
（2）①当△BDE是等腰三角形时，点E的坐标分别是：，，．
…1+1+（1分）
（注：符合条件的E点共有三个，其坐标，写对一个给1分）
②如图1，连接OP，
S△CDP＝S四边形CODP﹣S△COD＝S△COP+S△ODP﹣S△COD …（8分）
＝＝m+n﹣2
＝＝…（9分）
∴当m＝时，△CDP的面积最大．此时P点的坐标为（，），
S△CDP的最大值是． …（10分）
另解：如图2、图3，过点P作PF⊥x轴于点F，则
S△CDP＝S梯形COFP﹣S△COD﹣S△DFP …（8分）
＝＝m+n﹣2
＝＝…（9分）
∴当m＝时，△CDP的面积最大．此时P点的坐标为（，），
S△CDP的最大值是．
（注：只回答有最大面积，而没有说明理由的，不给分；点P的坐标，或最大面积计算错误的，扣（1分）；其他解法只要合理，酌情给分．）
【点评】本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据直角三角形中斜边上的高分得的两个三角形相似，利用相似比求A、B两点坐标，确定抛物线解析式，根据等腰三角形的性质求E点坐标，利用作辅助线的方法表示△CDP的面积，由二次函数的性质求三角形面积的最大值．
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日期：2021/6/18 15:43:10；用户：初中数学；邮箱：sxljy01@xyh.cm；学号：24425668
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一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）3的倒数是（ ）
A．﹣3B．C．﹣D．3
2．（3分）经公安部交管局统计，今年5月份全国因道路交通事故造成伤亡共25591人．这个数据用科学记数法可以表示为（ ）
A．2.5591×105B．25.591×103C．2.5591×104D．2.5591×106
3．（3分）如图，平放在台面上的圆锥体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么你估计该厂这20万件产品中合格品约为（ ）
A．1万件B．19万件C．15万件D．20万件
6．（3分）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）班长去文具店买毕业留言卡50张，每张标价2元，店老板说可以按标价九折优惠，则班长应付（ ）
A．45元B．90元C．10元D．100元
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．不能确定
9．（3分）不等式组的整数解是（ ）
A．1，2B．1，2，3C．D．0，1，2
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA＝1：3，且AC＝10，则DE的长度是（ ）
A．3B．5C．D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）计算：（y3）2÷y5＝ ．
12．（3分）如图，点A为反比例函数y＝的图象在第二象限上的任一点，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，则矩形ABOC的面积是 ．
13．（3分）为了准备毕业联欢的抽奖活动，小华准备了10个白球，2个红球，8个黄球，每个球除颜色外都相同，把它们放入不透明的口袋中搅匀，规定每位同学每次抽奖，只能从袋中摸出一个球，记下颜色后放回，摸到红球可获钢笔一支．那么小亮抽奖一次得到钢笔的概率是 ．
14．（3分）如图，小明利用升旗用的绳子测量学校旗杆BC的高度，他发现绳子刚好比旗杆长11米，若把绳子往外拉直，绳子接触地面A点并与地面形成30°角时，绳子末端D距A点还有1米，那么旗杆BC的高度为 米．
15．（3分）下面是按一定规律摆放的图案，按此规律，第2010个图案与第1～4个图案中相同的是第 个．（只填数字）．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD，若AB＝8，BD＝5，则CD＝ ．
三、解答题（共7小题，满分52分）
17．（5分）计算：．
18．（6分）解分式方程：．
19．（6分）随着网络的普及，越来越多的人喜欢到网上购物．某公司对某个网站2005年到2008年网上商店的数量和购物顾客人次进行了调查．根据调查结果，将四年来该网站网上商店的数量和每个网上商店年平均购物顾客人次分别制成了折线统计图（如图a）和条形统计图（如图b）．请你根据统计图提供的信息完成下列填空：
（1）2005年该网站共有网上商店 个；
（2）2008年该网站网上购物顾客共有 万人次；
（3）这4年该网站平均每年网上购物顾客有 万人次．
20．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠ABE＝50°，求∠EGC的大小．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，DC切⊙O于点C，AD⊥DC，垂足为D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若sin∠BEC＝，求DC的长．
22．（9分）某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人：他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装，生产开始后，调研部分发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
（3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资，给每名新工人每月发1200元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能的少？
23．（10分）已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）．
（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式．
（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E．
①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标．
②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．
2009年广东省深圳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）3的倒数是（ ）
A．﹣3B．C．﹣D．3
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数计算即可得解．
【解答】解：∵3×＝1，
∴3的倒数是．
故选：B．
【点评】本题考查了倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2．（3分）经公安部交管局统计，今年5月份全国因道路交通事故造成伤亡共25591人．这个数据用科学记数法可以表示为（ ）
A．2.5591×105B．25.591×103C．2.5591×104D．2.5591×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：将25 591用科学记数法表示为2.5591×104．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）如图，平放在台面上的圆锥体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从正面看得到的平面图形的即可．
【解答】解：从正面看得到的平面图形为一个等腰三角形，故选A．
【点评】考查圆锥给定位置的主视图，注意主视图是从物体正面看得到的平面图形．
4．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．（3分）某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么你估计该厂这20万件产品中合格品约为（ ）
A．1万件B．19万件C．15万件D．20万件
【分析】先计算出100件样本中合格品的百分比，约等于这20万件的合格率，再估计该厂这20万件产品中合格品．
【解答】解：（100﹣5）÷100×100%×20＝19（万件），故选：B．
【点评】考查用样本估计总体的方法，总体合格率约等于样本合格率．
6．（3分）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先对分子分母进行因式分解，然后再约分即可．
【解答】解：原式＝＝；
故选：D．
【点评】对分式进行化简时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式，然后进行约分．
7．（3分）班长去文具店买毕业留言卡50张，每张标价2元，店老板说可以按标价九折优惠，则班长应付（ ）
A．45元B．90元C．10元D．100元
【分析】根据九折可以知道实际售价为2×0.9＝1.8元，一共买50张，则需付款1.8×50＝90元．
【解答】解：班长应付款为：2×0.9×50＝90（元）．
故选：B．
【点评】本题主要考查有理数的乘法运算，同学们只要明白九折表示原价的0.9倍，即可得解．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．不能确定
【分析】利用二次函数的性质即可解答．
【解答】解：从题中给出的图象可以看出，对称轴为直线x＝﹣3，a＜0，
又点A、B位于对称轴右侧，y随x的增大而减小，
则y1＞y2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，学会比较图象上点的坐标的大小．
9．（3分）不等式组的整数解是（ ）
A．1，2B．1，2，3C．D．0，1，2
【分析】先求出不等式组的解集，再求出其整数解．
【解答】解：，
由①得，x＜3，
由②得，x＞，
不等式的解集为＜x＜3，
其整数解是1，2．
故选：A．
【点评】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA＝1：3，且AC＝10，则DE的长度是（ ）
A．3B．5C．D．
【分析】根据∠EDC：∠EDA＝1：3，可得∠EDC＝22.5°，∠EDA＝67.5°，再由AC＝10，求得DE．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝10，OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD＝BD＝5，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA＝1：3，∠EDC+∠EDA＝90°，
∴∠EDC＝22.5°，∠EDA＝67.5°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DCE＝90°﹣∠EDC＝67.5°，
∴∠ODC＝∠OCD＝67.5°，
∴∠ODC+∠OCD+∠DOC＝180°，
∴∠COD＝45°，
∴OE＝DE，
∵OE2+DE2＝OD2，
∴2DE2＝OD2＝25，
∴DE＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理和矩形的性质，是一道中等题．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）计算：（y3）2÷y5＝ y ．
【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减的运算性质计算即可．
【解答】解：（y3）2÷y5，
＝y6÷y5，
＝y．
【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．
12．（3分）如图，点A为反比例函数y＝的图象在第二象限上的任一点，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，则矩形ABOC的面积是 3 ．
【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S＝|k|．
【解答】解：点A为反比例函数y＝的图象在第二象限上的任一点，则矩形ABOC的面积S＝|k|＝3．
故答案为：3．
【点评】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
13．（3分）为了准备毕业联欢的抽奖活动，小华准备了10个白球，2个红球，8个黄球，每个球除颜色外都相同，把它们放入不透明的口袋中搅匀，规定每位同学每次抽奖，只能从袋中摸出一个球，记下颜色后放回，摸到红球可获钢笔一支．那么小亮抽奖一次得到钢笔的概率是 ．
【分析】先求出球的总个数，找出符合条件的球的总数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：∵小华准备了10个白球，2个红球，8个黄球，
∴球的总个数为10+2+8＝20个，
∴随机摸一个摸到红球的概率是＝，
∵摸到红球可获钢笔一支，
∴小亮抽奖一次得到钢笔的概率是．
【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
14．（3分）如图，小明利用升旗用的绳子测量学校旗杆BC的高度，他发现绳子刚好比旗杆长11米，若把绳子往外拉直，绳子接触地面A点并与地面形成30°角时，绳子末端D距A点还有1米，那么旗杆BC的高度为 10 米．
【分析】如图，根据已知条件知AB+1﹣BC＝11米，再由，∠BAC＝30°，得到BC＝AB，接着就可以求出旗杆BC的高度．
【解答】解：如图，依题意得AB+1﹣BC＝11米，
而在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴BC＝AB，
∴BC＝10米．
故填空答案：10．
【点评】此题比较简单，直接利用直角三角形中30°的角所对的边等于斜边的一半就可以求出结果．
15．（3分）下面是按一定规律摆放的图案，按此规律，第2010个图案与第1～4个图案中相同的是第 2 个．（只填数字）．
【分析】本题的关键是要找出4个图形一循环，然后再求2010被4整除后余数是2，从而确定是第2个图形．
【解答】解：根据题意可知箭头是1、2、3、4即4个一循环，又因为2010÷4＝502…2，所以是第2个图形．
【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD，若AB＝8，BD＝5，则CD＝ ．
【分析】设出AC、CD的长，由勾股定理列方程组求出AC、CD的长．
【解答】解：设AC＝x，CD＝y，由勾股定理得：
，
消去x，得：
（y+5）2﹣y2＝39，
整理，得：
10y＝14，即y＝，
故CD的长为．
【点评】此题主要考查了勾股定理和二元二次方程组的解法，难度适中．
三、解答题（共7小题，满分52分）
17．（5分）计算：．
【分析】本题涉及绝对值、零指数幂、负指数幂3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝
＝．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
18．（6分）解分式方程：．
【分析】本题考查解分式方程的能力，因为1﹣x＝﹣（x﹣1），所以最简公分母为（x﹣1）．
【解答】解：（1）方程两边同乘（x﹣1），
得：x+3＝3x﹣3，
解得x＝3．
经检验x＝3是原方程的解．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
（3）去分母时要注意符号的变化．
19．（6分）随着网络的普及，越来越多的人喜欢到网上购物．某公司对某个网站2005年到2008年网上商店的数量和购物顾客人次进行了调查．根据调查结果，将四年来该网站网上商店的数量和每个网上商店年平均购物顾客人次分别制成了折线统计图（如图a）和条形统计图（如图b）．请你根据统计图提供的信息完成下列填空：
（1）2005年该网站共有网上商店 20 个；
（2）2008年该网站网上购物顾客共有 3600 万人次；
（3）这4年该网站平均每年网上购物顾客有 1250 万人次．
【分析】（1）分析折线图，易得答案；
（2）分析折线图和扇形图可知，2008年有80个网店，每个网上商店平均45万人购物，则可求得结果；
（3）根据平均数公式计算求解．
【解答】解：（1）分析折线图可得：2005年该网站共有网上商店20个；
（2）80×45＝3600万人次；
（3）平均每年网上购物顾客＝（20×5+30×10+50×20+80×45）÷4＝1250万人次．
【点评】本题考查折线统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
20．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠ABE＝50°，求∠EGC的大小．
【分析】（1）证全等三角形由AB＝BC，BE＝BF，∠ABE+∠EBC＝∠CBF+∠EBC⇒∠BAE＝∠CBF，可证的全等．
（2）因为BE＝BF再根据（1）可得∠EFB＝∠BEF＝45°，∠EGC＝∠EBG+∠BEF＝45°+40°＝85°
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BE⊥BF
∴AB＝CB，∠ABC＝∠EBF＝90°（1分）
∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EBF﹣∠EBC
即∠ABE＝∠CBF（2分）
又BE＝BF（3分）
∴△ABE≌△CBF；（4分）
（2）解：∵BE＝BF，∠EBF＝90°
∴∠BEF＝45°（5分）
又∠EBG＝∠ABC﹣∠ABE＝40°（6分）
∴∠EGC＝∠EBG+∠BEF＝85°．（8分）
（注：其它方法酌情给分）
【点评】本题关键在于全等三角形的证明以及等腰三角形性质的运用，等腰三角形两底角相等．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，DC切⊙O于点C，AD⊥DC，垂足为D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若sin∠BEC＝，求DC的长．
【分析】（1）连接OC，易证AD∥OC，则∠DAC＝∠ACO，则只要证明∠CAO＝∠ACO，根据等边对等角即可证明；
（2）∠BEC＝∠BAC，则直角△ABC中即可求得∠ABC，根据三角函数即可求得AB、AC的长，而∠DCA＝∠CBA，在直角△ACD中即可利用三角函数求得CD的长．
【解答】（1）证明：连接OC，由DC是切线得OC⊥DC；
又AD⊥DC，
∴AD∥OC，
∴∠DAC＝∠ACO．
又由OA＝OC得∠BAC＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠BAC．
即AC平分∠BAD．
（2）解：方法一：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°
又∵∠BAC＝∠BEC，
∴BC＝AB•sin∠BAC＝AB•sin∠BEC＝6．
∴AC＝．
又∵∠DAC＝∠BAC＝∠BEC，且AD⊥DC，
∴CD＝AC•sin∠DAC＝AC•sin∠BEC＝．
方法二：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°．
又∵∠BAC＝∠BEC，
∴BC＝AB•sin∠BAC＝AB•sin∠BEC＝6．
∴．
又∵∠DAC＝∠BAC，∠D＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
，即，
解得．
【点评】本题考查了圆的切线的性质及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
22．（9分）某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人：他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装，生产开始后，调研部分发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
（3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资，给每名新工人每月发1200元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能的少？
【分析】（1）设熟练工和新工人每月分别可以安装x辆和y辆汽车，根据题意列出方程组，解出方程组即是所求；
（2）设需熟练工人数为m，根据题意列出方程，分析m取各值时，n的数值是多少；
（3）根据工资总额＝熟练工的工资×人数+新员工的工资×人数，可得出W关于n的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x辆和y辆汽车，
根据题意得：，
解得：．
答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装4辆和2辆汽车．
（2）设需熟练工m名，
根据题意得：2n×12+4m×12＝240，
∴n＝10﹣2m．
∵0＜n＜10，
∴0＜m＜5．
当m＝1时，n＝8；当m＝2时，n＝6；当m＝3时，n＝4；当m＝4时，n＝2．
∴共有四种方案：①需要1名熟练工人，另招聘8名新工人；②需要2名熟练工人，另招聘6名新工人；③需要3名熟练工人，另招聘4名新工人；④需要4名熟练工人，另招聘2名新工人．
（3）根据题意得：W＝1200n+（5﹣n）×2000＝200n+10000．
∵要使新工人数量多于熟练工，
∴n＝4、6、8．
∵200＞0，
∴当n＝4时，W取最小值，最小值为10800．
【点评】本题考查了一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，找出W关于n的函数关系式．
23．（10分）已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）．
（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式．
（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E．
①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标．
②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．
【分析】（1）由Rt△ABC中，CO⊥AB可证△AOC∽△COB，由相似比得OC2＝OA•OB，设OA的长为x，则OB＝5﹣x，代入可求OA，OB的长，确定A，B，C三点坐标，求抛物线解析式；
（2）根据△BDE为等腰三角形，分为DE＝EB，EB＝BD，DE＝BD三种情况，分别求E点坐标；
（3）作辅助线，将求△CDP的面积问题转化．方法一：如图1，连接OP，根据S△CDP＝S四边形CODP﹣S△COD＝S△COP+S△ODP﹣S△COD，表示△CDP的面积；方法二：过点P作PE⊥x轴于点F，则S△CDP＝S梯形COFP﹣S△COD﹣S△DFP，表示△CDP的面积；再利用二次函数的性质求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标．
【解答】解：（1）设OA的长为x，则OB＝5﹣x；
∵OC＝2，AB＝5，∠BOC＝∠AOC＝90°，∠OAC＝∠OCB；
∴△AOC∽△COB，∴OC2＝OA•OB
∴22＝x（5﹣x） …（1分）
解得：x1＝1，x2＝4，
∵OA＜OB，∴OA＝1，OB＝4； …（2分）
∴点A、B、C的坐标分别是：A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；
（注：直接用射影定理的，不扣分）
方法一：设经过点A、B、C的抛物线的关系式为：y＝ax2+bx+2，
将A、B、C三点的坐标代入得…（3分）
解得：a＝，b＝，c＝2
所以这个二次函数的表达式为：…（4分）
方法二：设过点A、B、C的抛物线的关系式为：y＝a（x+1）（x﹣4）…（3分）
将C点的坐标代入得：a＝
所以这个二次函数的表达式为：…（4分）
（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）
（2）①当△BDE是等腰三角形时，点E的坐标分别是：，，．
…1+1+（1分）
（注：符合条件的E点共有三个，其坐标，写对一个给1分）
②如图1，连接OP，
S△CDP＝S四边形CODP﹣S△COD＝S△COP+S△ODP﹣S△COD …（8分）
＝＝m+n﹣2
＝＝…（9分）
∴当m＝时，△CDP的面积最大．此时P点的坐标为（，），
S△CDP的最大值是． …（10分）
另解：如图2、图3，过点P作PF⊥x轴于点F，则
S△CDP＝S梯形COFP﹣S△COD﹣S△DFP …（8分）
＝＝m+n﹣2
＝＝…（9分）
∴当m＝时，△CDP的面积最大．此时P点的坐标为（，），
S△CDP的最大值是．
（注：只回答有最大面积，而没有说明理由的，不给分；点P的坐标，或最大面积计算错误的，扣（1分）；其他解法只要合理，酌情给分．）
【点评】本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据直角三角形中斜边上的高分得的两个三角形相似，利用相似比求A、B两点坐标，确定抛物线解析式，根据等腰三角形的性质求E点坐标，利用作辅助线的方法表示△CDP的面积，由二次函数的性质求三角形面积的最大值．
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日期：2021/6/18 15:43:10；用户：初中数学；邮箱：sxljy01@xyh.cm；学号：24425668
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