陕西省清华大学附属中学延安学校2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题

清华大学附属中学延安学校2021—2022学年第一学期期末学情诊断

九年级数学

注意事项：

1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）。全卷共4页，总分120分。考试时间120分钟。

2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）。

3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效。

4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑。

5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题  共24分）

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）

1.已知反比例函数，则下列点在此函数图象上的是（    ）

A. B. C. D.

2.如图所示，该几何体的主视图是（    ）

A. B. C. D.

3.下列两个图形一定相似的是（    ）

A.任意两个矩形  B.任意两个等腰三角形

C.任意两个正方形  D.任意两个菱形

4.已知，若与的相似比为，则与的周长比为（    ）

A. B. C. D.

5.对于函数，下列说法错误的是（    ）

A.函数的图象分布在第一、三象限 B.当时，的值随的增大而减小

C.函数的图象关于原点对称 D.当时，的值随的增大而增大

6.如图，，若，，则（    ）

A.2.5 B.5 C.10 D.15

7.如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点旋转到的位置，已知的长为4米，若栏杆的旋转角，则栏杆端升高的高度为（    ）

A.米 B.米 C.米 D.米

8.如图，在矩形中，，点是上一点，将沿直线折叠，点落在矩形的内部点处，若，则的长为（    ）

A. B. C.2 D.

第二部分（非选择题  共96分）

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9.已知是锐角，，则________.

10.如图，在白炽灯下方有一个乒乓球，当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上影子的变化情况为________.（填“越小”或“越大”或“不变”）

11.在中，，如果，，那么的长为________.

12.如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，若的面积为2，则________.

13.如图，平行四边形中，是的延长线上一点，与交于点，，的面积为2，则平行四边形的面积为________.

三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）

14.（5分）计算：.

15.（5分）一辆汽车准备从甲地开往乙地.若平均速度为，则需要到达.

（1）写出汽车从甲地到乙地所用时间与平均速度之间的函数关系式；

（2）如果准备用到达，那么平均速度是多少？

16.（5分）如图，在中，，，，求的长及的正切值.

17.（5分）如图，，.求证：.

18.（5分）如图，已知和是直立在地面上的两根立柱.，某一时刻在阳光下的投影.

（1）请你在图中画出此时在阳光下的投影；

（2）在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为，请你计算的长.

19.（5分）已知反比例函数的图象经过点.

（1）求的值；

（2）点，均在反比例函数的图象上，若，请写出，的大小关系.

20.（5分）如图，为楼梯的倾斜角，楼梯底部到墙根垂直距离为，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角为，已知，，求调整后的楼梯的长.

21.（6分）如图，小明利用标杆测量楼高，点，，在同一直线上，，，垂足分别为，.若测得，，，楼高是多少？

22.（7分）如图，在边长均为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，为直角坐标系的原点，已知点的坐标为，三个顶点坐标分别为、、.

（1）若点是点以原点为位似中心的对应点，画出以原点为位似中心的位似图形，并写出点、的对应点、的坐标；

（2）与的相似比是________.

23.（7分）如图，已知在中，分别交、于点、，为上一点，连接、，且.

（1）求证：；

（2）若，，求的长.

24.（8分）如图，已知直线与反比例函数交于、两点，且点的横坐标为4.

（1）求的值；

（2）若反比例函数上一点的纵坐标为8，求的面积.

25.（8分）如图，在东西方向的海岸线上有一长为1千米的码头，在距码头西端的正西方向58千米处有一观测站，现测得位于观测站的北偏西方向，且与观测站相距60千米的小岛处有一艘轮船开始航行驶向港口.经过一段时间后又测得该轮船位于观测站的正北方向，且与观测站相距30千米的处.

（1）求两地的距离；（结果保留根号）

（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头靠岸？请说明理由.

（参考数据：，，.）

26.（10分）如图1，在中，，，、分别是、延长线上一点，.

（1）已知，，求的值；

（2）若将图1中的绕点逆时针旋转，使点落在的内部，连接、，且，，，如图2所示.

①求证：；

②求出的值.

清华大学附属中学延安学校2021—2022学年第一学期期末学情诊断

九年级数学参考答案及评分标准

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）

1.B  2.A  3.C  4.D  5.D  6.C  7.B  8.A

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9.60  10.越大  11.6  12.  13.24

三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）

14.解：原式…………………………………………（3分）

.………………………………………………………………………………（5分）

15.解：（1）∵平均速度为，需要到达，

∴甲地到乙地的距离为，……………………………………（2分）

∴，

∴汽车从甲地到乙地所用时间与平均速度之间的函数关系式为.…………（3分）

（2）当时，，

∴平均速度是.……………………………………………………………………（5分）

16.解：∵在中，，，，

∴，……………………………………………………………………（1分）

∴，………………………………………………（3分）

∴.……………………………………………………………………（5分）

17.证明：∵，

∴，

∴，…………………………………………………………………………（2分）

又∵，

∴.…………………………………………………………………………（5分）

18.解：（1）如图所示：即为所求.…………………………………………………………（2分）

（2）∵，，

∴，……………………………………………………（3分）

∴.

∵，某一时刻在阳光下的投影，，

则，………………………………………………………………（4分）

解得：，

答：的长为.……………………………………………………（5分）

19.解：（1）∵反比例函数的图象经过点，

∴，解得.………………………………………………（2分）

（2）由（1）知，反比例函数的解析式为：.

∵，

∴在每一象限内，随的增大而增大.……………………………………（3分）

∵点，均在反比例函数的图象上，且，

∴.……………………………………………………………………（5分）

20.解：∵在中，，，

∴.……………………………………（2分）

∵在中，，

∴.…………………………………………（5分）

21.解：∵，，

∴，

∴，………………………………………………（2分）

∴，

∴，……………………………………………………（4分）

∴，

答：楼高是.………………………………………………（6分）

22.解：（1）如图，即为所求.………………………………（3分）

点、的对应点、的坐标分别为、.……………………………………（5分）

（2）.……………………………………………………………………………………（7分）

23.（1）证明：∵，

∴.………………………………………………………………………………（1分）

∵，

∴，

∴.…………………………………………………………………………（2分）

∵，

∴.……………………………………………………………………（4分）

（2）解：∵，

∴，……………………………………………………（5分）

∴，

∴.………………………………………………（7分）

24.解：（1）∵点在直线上，且点横坐标为4，

∴当时，.

∴点的坐标为.……………………………………………………（2分）

∵点是直线与反比例函数的交点，

∴.…………………………………………………………（4分）

（2）如图，过点、分别作轴的垂线，垂足为、，

∵点在反比例函数上，当时，.

∴点的坐标为.…………………………………………………………（5分）

∵点的坐标为，

∴，，.

∵点、都在反比例函数上，

∴.

∴.

∴.……………………………………………………………………（6分）

∵，

∴.…………………………………………………………………………（8分）

25.解：（1）如图，过点作于点.

由题意得，千米，千米，.

∴在中，（千米）.……………………（2分）

（千米）.

∴（千米）.

在中，（千米）.

∴两地的距离是千米.…………………………………………………………（4分）

（2）如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头靠岸.

理由：延长交于点.

∵，.

∴，…………………………………………………………（5分）

∴，……………………………………………………………………（6分）

∴，

∴（千米）.……………………………………………………………………（7分）

∵，

∴该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头靠岸.………………………………（8分）

26.（1）解：∵，，

∴，

∵，

∴，………………………………………………………………（1分）

∵，

∴，，

∴，

∴，………………………………………………………………（2分）

∴.……………………………………………………………………（3分）

（2）①证明：∵，都是等腰直角三角形，

∴，，，……………………（4分）

∴，

∴，，

∴.…………………………………………………………（6分）

②解：∵，

∴，.…………………………………………（7分）

∵，

∴，

∵，

∴，………………………………………………（8分）

∴.………………………………………………………………（10分）