广东省汕头经济特区林百欣中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题

汕头林百欣中学2022-2023学年度第一学期期末考试高一数学（含答案）

一.单选题（本大题8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知R是实数集，集合A= {x︱- 3 <x +1≤4}，B={ x︱1- x>0}，则下图中阴影部分表示的集合是(  )

A. {x︱x≤-4}      B. {x︱- 4 <x <1}    C. {x︱1 <x≤3}     D. {x︱- 4 <x≤3}

2.函数f（x）= lnx- 的零点所在的大致区间是（  ）

A.（1，2）  B.（2，е）      C.（е，3）    D.（3，+∞）

3.已知条件p: -1< x <1，q: x >m，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（   ）

A.[- 1，+∞）   B.（- ∞，- 1）   C.（- 1，0）   D.（- ∞，-1]

4.已知函数f（x）= ， 则f（- 3）的值为（  ）

A.8         B. 4         C.         D.

5.设a，b为正实数，ab=4，则下列不等式中对一切满足条件的a，b恒成立的是（  ）

A. a+b≥4     B. a2+b2≤8        C.+ ≤1    D.+ ≤2

6.已知= ，则tanα=（   ）

A.     B.        C.或1       D. 或1

7.已知函数f（x）对任意实数x都有f（- x）+ f（x）=0，当x>0时，f（x）=x( x-1 ) ，则不等式

f（lnx）> 0的解集为（    ）

A.（，1）  B.（е，+∞）      C.（，е）    D. （，1）∪（е，+∞）

8.已知函数f（x）=sinωx （ω>0）在区间[ ，]上单调递增，且f（x）=1在区间[0，2π]上有且仅有一解，则ω的取值范围是（   ）

A.（0，]    B.（，）     C.[ ，）         D. [，]

二.多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9.下列结论正确的是（   ）

A.=+2    B.     C.log39=2      D.log26- log24=log2(6- 4)=1 

10.已知函数f（x）=，则（  ）

A.函数f（x）的定义域为 R               B.函数f（x）的值域为（0，2]

C.函数f（x）在[-2，+∞）上单调递增      D.函数f（x）在[-2，+∞）上单调递减

11.不列函数中，最小正周期为π，且在（0，）上单调递增的是（   ）

A.y=sin2x    B.y=tanx        C.y=︱sinx︱       D.y=︱tanx︱ 

12.已知函数f（x）=ln(+x) +x+1  .则下列说法正确的是（  ）

A. f（lg3）+ f（lg）=2

B.函数f（x）的图象关于点（0，1）对称

C.函数f（x）的定义域上单调递减

D.若实数a，b 满足f（a）+ f（b）>2，则a+b>2

三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）

13.不等式- 2x2+5 x +12≥0的解集为________

14.若cos（α+）=，且α为锐角，则sin（α- ）=______

15.已知函数f（x）= a x -2+2（a>0且a≠1）的图像过定点P，且角a的始边与x轴的正半轴重

合，终边过点P，则=________

16.若函数f（x）= ，的值域为R，则a的取值范围是______________

四.解答题（本大题共6小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本题满分 10 分）

求下列各式的值：

（1）lg0.001- log 5×log59+ln+         （2）  -     

18.（本题满分 12分）已知幂函数f（x）= ( m-1)2  在（0，+0）上单调递增

（1）求m的值：

（2）若a>0，b>0，且a+b=m+1，当 a ，b  分别取何值时，+有最小值，并求出最小值。

19.（本题满分 12分）已知α.β均为锐角，cosα=，tan（α+β）= - 2.

（1）求tanα，tanβ和cos（α+β）的值；

（2）求tan（2α- β）的值.

20.（本题满分 12分）已知函数f（x）=sin（2x+）- 2cos2x.

（1）求f（x）的最小正周期和对称轴：

（2）当x∈[-，]时，求f（x）的单调增区间及值域。

21.（本题满分 12分）

2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、

“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松.某科研机构对变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：

若该变异毒株的数量y（单位：万个）与经过x（x∈N*）个单位时间T的关系有两个函数模型y=px2+q与y=kax（k>0，a>1）可供选择.

（1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

（2）求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个.

（参考数据：≈2.236，≈2.449，lg2≈0.301，1g6≈0.778）

22.（本题满分 12分）

已知函数 f（x）=ax2-2ax+b（a>0），在区间[0，3]上有最大值16，最小值0.

（1）设h（x）=2-2x（x≥1），求h（x）的值域：

（2）设g（x）=，若不等式g（log2x）- k·log2x≥0在x∈[4，16]上有解，求实数k的取值范围.

参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. {x︱- ≤x≤4}

14. 

15. 

16. [ －2 ，）

四.解答题（本大题共6小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.解：（1）原式=-3- log9+ + ×

=-3+2++

=1

   （2）原式= 

=

=

=

=4

18.解.（1）由幂函数的定义得：( m-1)2=1

∴m=0或m=2

当m =2时，f（x）= x- 2在（0，+∞）上单调递减，与题设矛盾，舍去；

当m = 0时，f（x）= x 2在（0，+∞）上单调递增，符合题意；

综上可知：m=0.

（2）∵a+b=m+1=1

     ∴+=( a+b) (+)=1+++4≥5+2=5+4=9

当且仅当=且a+b=1，即 时，等号成立

∴+的最小值为9

19.解：∵α.β均为锐角

∴sinα= =  =    

∴tanα==2

∵tan（α+β）=  =  =- 2.

 解得： tanβ=    

∴cosβ==

sinβ==

∴cos（α+β）= cosαcosβ – sinαsinβ

           =×–×

           =–

（2）由（1）可得：tanα=2，tanβ=

∴tan2α= = -

∴tan（2α- β）= =    =

20.解：（1）∵   f（x）=sin（2x+）- cos2x.

                     =（sin2x+ cos2x）+ cos2x- 1

= sin2x+ cos2x- 1

= sin(2x+) - 1

∴  f（x）的最小正周期T= =π

令2x+=+kπ，则x =+，k∈Z

∴  f（x）的最小正周期T=π, 对称轴x =+，k∈Z

（2）由正弦函数y=sinx的单调递增区间:[2kπ–，2kπ+], k∈Z可得

2kπ–≤ 2x+≤ 2kπ+，k∈Z

解得：kπ–≤ x≤kπ+，k∈Z

∴f（x）sin(2x+) - 1单调增区间[kπ–，kπ+] k∈Z

∵ x∈[-，]

∴当x∈[-，]时，f（x）的单调增区间[-，]

∵ x∈[-，]

∴2x+∈[–，]

∴sin(2x+) ∈[–，1]

∴故f（x）的值域为[––1，0]

21.解：（1）若选y=px2+q（p＞0），将x=2，y=10和x=4，y=50代入可得：

      解得：

∴y=

当x=6时，y=×62– = ≠250，不符合题意

若选y=kax（k>0，a>1），将x=2，y=10和x=4，y=50代入可得：

         解得：

∴y=2·()x

当x=6时，y=2·() 6=250，符合题意

综上所述，选择函数y=kax（k>0，a>1）更合适，

解析式为y=2·() x

（2）设至少需要x个单位时间

则  2·() x ≥10000，即() x ≥5000，

两边同时取对数可得：

xlg≥lg5+3

则：x≥=2+  =2+ ≈10.58

∵x∈N*，的最小值为11

∴x的最小值为11

故至少经过11个单位时间该病毒的数量不少于1亿个.

解：（1）∵对称轴：x=1，且a>0

∴f（x）在（0，1]上为减函数，在（1，3]上为增函数，

∵ f（x）在区间[0，3]上有最大值16，最小值0.

∴最小值为f（1）=b- a =0，最大值为f（3）=3a+b=16

解得：a =b=4

∴f（x）=4x2- 8x+4=4(x - 1)2

当x≥1时，f（x）≥0，

∴h（x）=2- 2x= -  2x  = (2x)2-  2x  ，（x≥1）

令t=2x，t∈[2，+∞）

h（t）= t2- t= (t - 2)2- 1≥- 1

∴h（x）的值域为[- 1，+∞）

（2）g（x）==4(x + )- 8

∵不等式g（log2x）- k·log2x≥0在x∈[4，16]上有解

∴

设，则

，在上有解

∴

设h（t）

当m=4时，h（m）取得最大值为

∴实数k的取值范围为（- ∞，]