2022-2023学年广东省汕头市第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

汕头市新一中中学2022-2023 学年度第一学期期中考试高一数学

一、单选题（本大题8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 命题 “，”的否定是（）

A. ， B. ， C. ， D. ，

【答案】A

【解析】

【分析】根据全称命题的否定即可得出答案.

【详解】根据题意，命题 “，”的否定是“，”，

故选：A

2. 集合，，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合中元素满足的约束条件，化简集合，进而根据交集运算即可求解.

【详解】，，

所以，

故选：B

3. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据基本初等函数的图像性质即可逐项判断.

【详解】函数在上单调递增，是偶函数，故A不符合题意；

函数是非奇非偶函数，故B不符题意；

是奇函数且在上单调递增，故C符合题意；

在上单调递增，是偶函数，故D不符题意.

故选：.

4（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据根式与指数幂的互化，以及指数幂的运算可得出结果.

【详解】由题意可得.

故选B.

【点睛】本题考查指数幂的运算，同时也考查了根式与分数指数幂的互化，考查计算能力，属于基础题.

5. 已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数单调性可得每一段上的单调性和分段处函数值的大小关系，由此可构造不等式组求得结果.

【详解】是上的增函数，，解得：，

即的取值范围为.

故选：B.

6. 已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设出幂函数的解析式，利用函数图象经过点求出解析式，再由定义域及单调性排除CDB即可.

【详解】设幂函数为，

因为该幂函数得图象经过点，

所以，即，解得，

即函数为，

则函数的定义域为，所以排除CD，

因为，所以在上为减函数，所以排除B，

故选：A

7. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若对于任意不等实数x1，x2∈[ 0，+∞），不等式恒成立，则不等式的解集为（）

A.  B. 或

C.  D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】由函数f（x）是定义在R上的偶函数，得到，再根据f（x）在[ 0，+∞）上递减求解.

【详解】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，且，

所以，

又因为对于任意不等实数x1，x2∈[ 0，+∞），不等式恒成立，

所以f（x）在[ 0，+∞）上递减，

所以，

解得.

故选：C

8. 已知函数，若存在正实数k，得方程有三个互不相等的实根.则的取值围是（）

A. （4，2+2） B. （4，6+2）

C. （6，4+2） D. （8，6+2）

【答案】D

【解析】

【分析】方程可化为，令，可求得的解析式，并做出图像，若方程有三个互不相等的实根，则函数与直线有3个交点，根据二次函数的图像与性质，即可求解.

【详解】方程可化为，令，

则，做出的图像，如图所示，

由图可知，若方程有三个互不相等的实根，

则函数与直线有3个交点，则．

不妨设，．由二次函数图像关于直线对称可知，．

令，得，所以，

所以.

故选：D

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9. 使不等式成立的充分不必要条件可以是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据一元二次不等式的求解得解集为，进而根据集合的包含关系即可判断.

【详解】不等式解为，

由于，，

故使不等式成立的充分不必要条件可以是以及，

是成立的充要条件，

是成立必要不充分条件.

故选：BC

10. 下列各式比较大小，正确的是（）

A. 1.72.5＞1.73 B.

C. 1.70.3＞0.93.1 D.

【答案】BC

【解析】

【分析】A、B选项利用指数函数的单调性进行比较；C选项利用中间值1比大小；D选项利用指数函数和幂函数的单调性比较．

【详解】解：对于选项A：∵函数y＝1.7x在R上单调递增，且2.5＜3，

∴1.72.5＜1.73，故选项A错误，

对于选项B：＝，

∵函数y＝2x在R上单调递增，且，

∴＝，故选项B正确，

对于选项C：∵1.70.3＞1.70＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1，

∴1.70.3＞0.93.1，故选项C正确，

对于选项D：∵函数y＝在R上单调递减，且，

∴，

又∵函数y＝在（0，+∞）上单调递增，且，

∴，

∴＜，故选项D错误，

故选：BC．

11. 下列命题正确的是（）

A. y=与y= x不是同一个函数

B. y=的值域为

C. 函数的单调递减区间是

D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为[1，4]

【答案】ABD

【解析】

【分析】A. 由函数的定义判断；B.由指数函数的值域判断；C.由单调区间不能合并判断；D.利用抽象函数的定义域求解判断.

【详解】A. 因为y=，所以与y= x不是同一个函数，故正确；

B.因为，所以，即，所以的值域为，故正确；

C.函数的单调递减区间是，故错误；

D.因为函数的定义域为，所以，则，解得，函数的定义域为[1，4]，故正确

故选：ABD

12. 已知,若对任意的,不等式恒成立.则（）

A.  B.

C. 的最小值为12 D. 的最小值为

【答案】ACD

【解析】

【分析】先对进行因式分解,分情况讨论小于等于零的情况,可得,即,可得选项A,B正误;将中的用代替,再用基本不等式即可得出正误;先将代入中,再进行换元,求出新元的范围,根据二次函数的单调性即可求出最值,判断D的正误.

【详解】因为,

恒成立,即恒成立,

因为,所以当时,,则需,

当时,,则需,

故当时,,即,

所以且,故选项A正确,选项B错误;

所以,
 

当且仅当时,即时取等,故选项C正确;

因为,

令,

当且仅当，即时等号成立，故，

所以,故,

所以在上,单调递减,即,所以，故选项D正确.

故选:ACD

【点睛】思路点睛:该题考查基本不等式的应用,属于难题,关于不等式有:

(1),;

(2)柯西不等式:;

(3)变换后再用基本不等式:.

三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）

13. 已知函数，则______；若f（x）=4，则x=____________.

【答案】    ①. 5    ②. - 3或2

【解析】

【分析】根据函数分别代入求得函数值，分和求解方程.

【详解】解：因为函数，

所以，

当时，，解得；

当时，，解得，

综上：x=-3或2.

故答案为：5，-3或2

14. 已知函数，若，则________

【答案】

【解析】

分析】根据常见函数奇偶性，等量代换解决即可.

【详解】由题知，函数，

所以，

所以，

所以，

故答案为：

15. 在一次数学实践课上，同学们进行节能住房设计，综合分析后，设计出房屋的剖面图（如图所示），屋顶所在直线方程分别是yx+3和x，为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m，那么点A的横坐标为__．

【答案】6

【解析】

【分析】设A的横坐标为m，把代入两个直线方程，所得值相减（大减小）差为1，由此可解得，得结论．

【详解】设A的横坐标为m，则A的坐标为（m，0），∵屋顶所在直线方程分别是yx+3和yx，

为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m，∴，解得m＝6，故点A的横坐标为6．

故答案为：6．

16. 在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k] ={4n + k︱n∈Z} ，k =0，1，2，3.给出下列四个论①2025∈[1] ；②2025∈[1] ；③若a∈[1]，b∈[2]，则3a+b∈[3] ；④若a∈[1]，b∈[3]，则a3b∈[0].其中正确的结论是__________.

【答案】①④

【解析】

【分析】根据给定的定义进行求解，确定被4除所得余数即可.

【详解】因为2025被4除所得余数为1，所以①正确；

因为，所以，所以②不正确；

因为a∈[1]，b∈[2]，设，，则，且，所以，所以③不正确；

因为a∈[1]，b∈[3]，设，，则，且，所以，所以④正确.

故答案为：①④

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知是定义在R上的偶函数，当时， ；

（1）求当时，的解析式

（2）作出函数的大致图象，并根据图象直接写出函数的单调递减区间.

【答案】（1）

（2）图像见解析，

【解析】

【分析】（1）根据偶函数的性质即可求解，

（2）根据二次函数的图象特征，即可得的大致图象，结合图象即可求解单调区间.

【小问1详解】

当，则，所以，

因为是定义在R上的偶函数，所以，

所以时，；

【小问2详解】

图象如下：

函数的单调递减区间为.

18. 已知函数，且.

（1）求实数m的值；

（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；

（3）求函数在上的最值.

【答案】（1）4（2）单调递增，证明见解析

（3）

【解析】

【分析】（1）代入，求出实数m的值；

（2）利用定义法求解函数的单调性，步骤为，取值，作差，判号，下结论；

（3）在（2）求出的函数单调性基础上求解最值.

【小问1详解】

根据题意得：，

解得：；

【小问2详解】

在上的单调递增；理由如下：

设，

则

∵，故，，

∴，

∴f（x）在上的单调递增；

【小问3详解】

根据题意，由（2）可知，在上单调递增，

故，，

∴函数在上的值域为.

19. 在①A∪B=B：②“ ”是“”的充分条件：③ 这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.

问题：已知集合，}

（1）当a =2时，求A∪B；

（2）若________，求实数a的取值范围.【注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.】

【答案】（1）

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）根据一元二次不等式以及绝对值不等式化简集合,然后根据并集的定义求解；

（2）将问题转化成，然后利用集合包含关系求解.

【小问1详解】

当a =2时,，，

∴；

【小问2详解】

由题可得，，

选择①，A∪B= B，则，

∴，解得，

∴实数a的取值范围是；

选择②，由“ ”是“”的充分条件，可得，

∴，解得

∴实数a的取值范围是；

选择③，

∵，∴或，

∵,

∴，解得

∴实数a的取值范围是.

20. 定义在上的函数满足，.

（1）求的值

（2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；

（3）若函数在上单调递增，求不等式的解集.

【答案】（1）

（2）函数为奇函数，证明见解析

（3）

【解析】

【分析】（1）令，根据已知列方程即可得出答案；

（2）令，根据已知列方程结合小问一即可得出，即可证明；

（3）令，得出，即，根据已知结合奇函数的性质得出，得出，根据已知结合奇函数的性质得出函数在上单调递增，即可根据单调性解不等式得出解集.

【小问1详解】

令，得，解得；

【小问2详解】

因为函数的定义域为，令，

则，

，

，

函数为奇函数；

【小问3详解】

，

令，得，

，

，

，

，

，

函数在上单调递增，且函数为奇函数，

函数在上单调递增，

，解得，

故不等式的解集为.

21. 在第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕，冬奥会的举办为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇.

某冰雪装备器材生产企业生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本（万元）.经计算，若年产量于件低于100千件，则这x千件产品的成本；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品的成本.每千件产品售价为100万元，为了简化运算，我们假设该企业生产的产品能全部售完.

（1）写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；

（2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）

（2）最大值为1000万元，此时年产量为105千件

【解析】

【分析】（1）分与两种情况，求出函数解析式；

（2）在（1）的基础上，结合函数单调性与基本不等式求出分段函数的最大值.

【小问1详解】

当时

，

当时，

，

∴；

【小问2详解】

当时

，

∴时，取得最大值，最大值为950，

当时，

当且仅当，即时取等号，

因为，所以的最大值为1000万元，此时年产量为105千件.

22. 给定函数，若对于定义域中的任意x，都有恒成立，则称函数为“爬坡函数”.

（1）证明：函数是“爬坡函数”；

（2）若函数是“爬坡函数”，求实数m的取值范围；

【答案】（1）证明见解析；

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据“爬坡函数”的定义，判断在定义域是否恒成立即可.

（2）令有恒成立，讨论参数m结合二次不等式区间上恒成立求其范围.

【小问1详解】

恒成立，则是“爬坡函数”.

【小问2详解】

依题意，恒成立，

令，即在恒成立，

当，即，则只需满足，

当，即，则只需满足，

综上所述，实数m的取值范围为