压轴专题03折叠与落点有迹性答案解析

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专题03 折叠与落点有迹性1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=5，BC=8，点P是射线BC上一动点，连接AP，将△ABP沿AP折叠，当点B的对应点B’落在线段BC的垂直平分线上时，则BP的长等于                                          【答案】10或.【解析】解：点B’的运动轨迹是以点A为圆心以AB的长为半径的圆，圆与BC的垂直平分线的交点即为所求的落点B’，如图作出图形，分两种情况计算：①连接BB’，过B’作B’E⊥BC于E，如下图所示，由题意知，BB’=B’C，BP=B’P，BE=EC=4，BB’⊥AP，∴∠B’BC=∠B’CB，∠B’BC+∠APB=90°，∠B’CB+∠CB’E=90°，∴∠APB=∠CB’E，∴△CB’E∽△APB，∴,即，设BP=x，则B’P=x，EP=4－x，B’E=x，在Rt△B’PE中，由勾股定理得：，解得：x=10（舍）或x=，即BP=；②过A作AH⊥MN于H，如图所示，∵AB=AB’=5，AH=4，GH=5,∴B’H=3，B’G=8，设BP=x，则B’P=x，PG=x－4，在Rt△PGB’中，由勾股定理得：，解得：x=10，即BP=10;综上所述，答案为：10或.2.如图，在边长为 3 的等边三角形ABC中，点D为AC上一点，CD=1，点E为边AB 上不与A，B重合的一个动点，连接DE，以DE为对称轴折叠△AED，点 A 的对应点为点 F，当点 F 落在等边三角形ABC的边上时，AE 的长为                 ．【答案】1或5－.【解析】解：第一步：确定落点，点F在以D为圆心，以线段AD的长为半径的弧上，如下图所示，第二步，根据落点确定折痕（对称轴）（1）∵AD=DF=2，∠A=60°，∴△ADF是等边三角形，∵DE平分∠ADF，∴AE=EF=1；（2）如下图所示，由对称知，∠EFD=∠A=60°，∴∠EFB+∠DFC=120°，∵∠DFC+∠FDC=120°，∴∠EFB=∠FDC，∵∠B=∠C=60°，∴△BEF∽△CFD，∴,设AE=x，则BE=3－x，即,∴BF=，CF=，∵BF+CF=3，即+=3，解得：x=5+（舍）或x=5－，综上所述，答案为：1或5－.3.如图，P 是边长为 3 的等边△ABC 的边 AB 上一动点，沿过点 P 的直线折叠∠B，使点 B 落在 AC 上，对应点为 D，折痕交 BC 于点 E，点 D 是 AC 的一个三等分点，PB 的长为               ．【答案】1或5－.【解析】解：第一步确定落点，AC的三等分点有两个，所以有两种情况；第二步根据落点确定折痕，方法：作BD的垂直平分线即为折痕所在的直线；（1）如下图所示，由折叠性质得：∠B=∠EDP=60°，∴∠CDE+∠ADP=120°，∵∠A=∠C=60°，∴∠ADP+∠APD=120°，∴∠APD=∠CDE，∴△CED∽△ADP，∴，设BP=DP=x，则AP=3－x，∴，∴CE=，DE=，∵DE=BE，∴CE+DE=CE+BE=3，即+=3，解得：x=；（2）如下图所示，当CD=1时，同理可得：∴，设BP=DP=x，则AP=3－x，∴，∴CE=，DE=，∴+=3，解得：x=；综上所述，PB的长为或.4.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=6，E．F分别是线段AD，BC上的点，连接EF，使四边形ABFE为正方形，若点G是AD上的动点，连接FG，将矩形沿FG折叠使得点C落在正方形ABFE的对角线所在的直线上，对应点为P，则线段AP的长为           ．【答案】4或4﹣2．【解析】解：如图1所示：由翻折的性质可知PF=CF=4，∵ABFE为正方形，边长为2，∴AF=2．∴PA=4﹣2．如图2所示：由翻折的性质可知PF=FC=4．∵ABFE为正方形，∴BE为AF的垂直平分线．∴AP=PF=4．故答案为：4或4﹣2．5.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E为AB上一点，AE=2，点F在AD上，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上时，折痕EF的长为　   　．【答案】4或4．【解析】解：第一步，确定落点，以E为圆心，AE的长为半径画弧，与BC的垂直平分线的交点即为A’，第二步，作出折痕，求解.(1) 如下图所示，由折叠性质知：A′E=AE=2，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，AM=AD=3，过E作EH⊥MN于H，则四边形AEHM是矩形，∴MH=AE=2，由勾股定理得：A′H=，∴A′M=，由MF2+A′M2=A′F2，得（3﹣AF）2+（）2=AF2，解得：AF=2，在Rt△AEF中，由勾股定理得：EF=4；（2）如下图所示，可得：A′E=AE=2，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，过A′作HG∥BC交AB于G，交CD于H，则四边形AGHD是矩形，∴DH=AG，HG=AD=6，A′H=A′G=3，在Rt△A’EG中，由勾股定理得：EG=，∴DH=AG=AE+EG=3，在Rt△A’HF中，由勾股定理得：A′F=6，在Rt△AEF中，由勾股定理得：EF=4；故答案为：4或4．6.在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，点E在边BC上，且BE＝2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C，D的对应点分别为C′，D′，折痕与边AD交于点F，当点B，C′，D′恰好在同一直线上时，AF的长为          ．【答案】，．【解析】解：由折叠的性质得，∠EC′D′＝∠C＝90°，C′E＝CE，∵点B、C′、D′在同一直线上，∴∠BC′E＝90°，∵BC＝12，BE＝2CE，∴BE＝8，C′E＝CE＝4，在Rt△BC′E中，∠C′BE＝30°，①当点C′在B、D’之间时，过E作EG⊥AD于G，延长EC′交AD于H，则四边形ABEG是矩形，∴EG＝AB＝6，AG＝BE＝8，∵∠C′BE＝30°，∠BC′E＝90°，∴∠BEC′＝60°，由折叠的性质得，∠C′EF＝′CEF，∴∠C′EF＝∠CEF＝60°，∵AD∥BC∴∠HFE＝∠CEF＝60°，∴△EFH是等边三角形，∴在Rt△EFG中，EG＝6，GF＝2，∴AF═8+2；②当点D′在B、C’之间时，过F作FG⊥AD于G，D′F交BE于H，同理可得：AF＝8﹣2，故答案为：或．7.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E．若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为     ．【答案】15或.【解析】解：第一步：确定落点，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交射线CD于B’，分两种情况讨论；第二步，根据落点作出折痕，求解；（1）如下图所示，由折叠知：AB′＝AB＝5，B′E＝BE，∴CE＝3﹣BE，∵AD＝3，∴DB′＝4，B′C＝1，由勾股定理知：B′E2＝CE2+B′C2，∴BE2＝（3﹣BE）2+12，∴BE＝；（2）如下图所示，AB′＝AB＝5，∵CD∥AB，∴∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∵AE垂直平分BB′，∴AB＝BF＝5，∴CF＝4，∵CF∥AB，∴△CEF∽△ABE，∴，即，∴CE＝12，∴BE＝15，故答案为：或15．8.如图，在等边三角形ABC中，AB＝2cm，点M为边BC的中点，点N为边AB上的任意一点（不与点A，B重合），若点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边三角形ABC的边上，则BN的长为       cm．【答案】或.【解析】解：∵N不与A重合，∴B落点不会在BC上，分两种情况讨论：（1）当B关于直线MN的对称点B'落在AB边上时，此时，MN⊥AB，即∠BNM=90°，∵△ABC是等边三角形，AB＝2，M是BC中点，∴∠B=60°，BM=,∴BN=BM=；（2）当点B关于直线MN的对称点B'落在边AC上时，则MN⊥BB′，可得：四边形BMB′N是菱形，∴BN＝BM＝BC＝，故答案为：或．9.在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的A′处，则AP的长为　   　．【答案】或.【解析】解：矩形对角线有两条，AC、BD，所以先以D为圆心以AD的长为半径作弧，与对角线AC、BD的交点即为A’点；再作出AA’的垂直平分线即为折痕；（1）点A落在矩形对角线BD上时，由AB＝4，BC＝3，得：BD＝5，根据折叠的性质，AD＝A′D＝3，AP＝A′P，∠A＝∠PA′D＝90°，∴BA′＝2，设AP＝x，则BP＝4﹣x，由勾股定理得：BP2＝BA′2+PA′2，（4﹣x）2＝x2+22，解得：x＝，∴AP＝；②点A落在矩形对角线AC上，根据折叠的性质可知：DP⊥AC，易证：∠ACB=∠APD，∴tan∠ACB= tan∠APD，∴AP＝ =．故答案为：或.10.如图，在▱ABCD 中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，点 E、F 分别是边 AB、CD 上的动点，将该四边形沿折痕 EF 翻折，使点 A 落在边 BC 的三等分点处，则 AE 的长为               ．【答案】或.【解析】解：第一步确定落点，因为BC的三等分点有两个，所以分两种情况讨论，第二步，确定落点后，画出折痕EF，求解.(1)如下图所示过点A’作A’H⊥AB交AB的延长线于H，则∠A’BH=60°，∵A’B=2，∴BH=1，A’H=,设AE=A’E=x，则BE=8－x，EH=9－x，在Rt△A’EH中，由勾股定理得：，解得：x=，即AE=;（2）如下图所示，过点A’作A’H⊥AB交AB的延长线于H，则∠A’BH=60°，∵A’B=4，∴BH=2，A’H=2,设AE=A’E=x，则BE=8－x，EH=10－x，在Rt△A’EH中，由勾股定理得：，解得：x=5.6，即AE=5.6;综上所述，答案为：或5.6.11.如图，边长为1的正方形ABCD，点P为边AD上一动点（不与点A重合）．连接BP，将△ABP沿直线BP折叠，点A落在点A′处，如果点A′恰好落在正方形ABCD的对角线上，则AP的长为       ．【答案】.【解析】解：由题意知，A’落在对角线BD上，连接A'D，则B、A’、D在同一直线上，∴∠A＝∠PA'B＝∠PA'D＝90°，AP＝A'P，AB＝A'B=1，∴BD＝，∴DA'＝BD﹣BA'＝BD﹣AB＝﹣1，由正方形性质知，∠PDA’=∠A’PD=45°，∴AP=A’P=A’D=﹣1，故答案为：﹣1．12.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为　     　．【答案】(10,3).【解析】解：∵四边形A0CD为矩形，D（10，8），∴AD=BC=10，DC=AB=8，由折叠性质知：AD=AF=10，DE=EF，在Rt△AOF中，由勾股定理得：OF=6，∴FC=4，设EC=x，则DE=EF=8﹣x，在Rt△CEF中，EF2=EC2+FC2，即（8﹣x）2=x2+42，解得x=3，∴点E的坐标为（10，3），故答案为：（10，3）．