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2023年中考数学常见几何模型全归纳 专题15 图形变换中的重要模型之翻折（折叠）模型
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这是一份2023年中考数学常见几何模型全归纳 专题15 图形变换中的重要模型之翻折（折叠）模型，文件包含专题15图形变换中的重要模型之翻折折叠模型解析版docx、专题15图形变换中的重要模型之翻折折叠模型原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共98页， 欢迎下载使用。
中考经典几何模型与最值问题
每年中考高考，数学都是很受关注的一门学科。每次数学中考结束，相当一部分学生的心情都不轻松。如果有效刷题，有效学生，有一点很重要，那就是搜集经典题目，汇总经典题型，尤其是对一些经典的数学模型，多解题或者易错题，不妨专门用一个本子搜集一下，整理一下，考前复习一下，效果会很不错。
今天整理了初三中考总复习阶段在教学过程中收集的经典题目，一共有16讲，包括原卷版和解析版，供大家学习复习参考。
经典题目1：这是一道非常经典的最值问题，最值模型将军饮马和一箭穿心。对于利用一穿心求圆外一点到圆上的最大值和最小值问题，弄懂这道题就够了。
经典题目2：上面三道题是费马点经典问题，旋转转化是费马点问题的关键，其核心思想是化折为直，掌握关键技巧，掌握核心思想，才能解决一类数学题目。
经典题目3：阿氏圆经典题目，这道题目实际包括了隐圆模型，一箭穿心模型等常见几何模型，核心思想依旧是化值为直，构造子母相似三角形实现线段的转化。
经典题目4：这是中考出现频率比较高的胡不归问题，也是经典最值问题，这是一个有历史故事的最值问题。构造锐角三角函数实现线段的转化，利用垂线段最短解决问题。
专题15 图形变换中的重要模型之翻折（折叠）模型
几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。
涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【知识储备】
翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的。以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。
对于翻折和折叠问题主要分两大类题型：直接计算型和分类讨论型，由浅入深难度逐步加大，掌握好分类讨论型的翻折问题，那么拿下中考数学翻折题型就没问题了。
翻折折叠题型(1)：直接计算型，运用翻折的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题。一般难度小，我们要多做一些这些题型，熟练翻折的性质，以及常见的解题套路。
翻折折叠题型(2)：分类讨论型，运用翻的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题。般难度较大，需要综合运用题中的条件，多种情况讨论分析，需要准确的画图，才能准确分析。
解决翻折题型的策略：
1）利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分；
2）结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；3）运用勾股定理或者三角形相似建立方程。
模型1.矩形中的折叠模型
1）常规计算型
例1．（2022·浙江·宁波一模）如图，在矩形纸片中，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，点、、恰好在同一直线上，若，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
变式1（2021·四川成都·中考真题）如图，在矩形中，，点E，F分别在边上，且，按以下步骤操作：第一步，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为，则线段的长为_______；第二步，分别在上取点M，N，沿直线继续翻折，使点F与点E重合，则线段的长为_______．
2）线段比值型
例1．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在矩形ABCD中．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为，点N运动的速度为，且．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好在CD的中点重合，则的值为______．
变式1．（2022·湖北襄阳·二模）如图，如图，将矩形ABCD对折，折痕为PQ，然后将其展开， E为BC边上一点，再将∠C沿DE折叠，使点C刚好落在线段AQ的中点F处，则 = ____
3）分类讨论型
例1．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形为矩形，，点E为边上一点，将沿翻折，点C的对应点为点F，过点F作的平行线交于点G，交直线于点H．若点G是边的三等分点，则的长是____________．
变式1．（2022·河南省实验中学一模）如图，在矩形中，已知，，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动，运动时间为t秒，连接，把沿着翻折得到．作射线与边交于点Q，当时，_______．
4）路径（轨迹）型
例1．（2022·重庆十八中两江实验中学一模）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则三角形AGC的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·四川成都·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，在点E从A到D的运动过程中，点G的运动路径=________，△CEF面积的最小值是 ________．
5）综合证明型
例1．（2022·广东·一模）如图，在矩形中，，，是上一点，沿折叠矩形，的对应边经过点，连接，与、分别交于点、，连接交于点下列结论：是等腰三角形；：：；平分；其中结论正确有（ ）
A．②④ B．②④ C．①②③ D．①②④
变式1．（2022·吉林·长春市二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴和轴上，已知对角线．．是边上一点，过点的反比例函数的图象与边交于点，若将沿翻折后，点恰好落在上的点处，则的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
模型2.特殊三角形中的折叠模型
1）常规计算型
例1．（2021·重庆·中考真题）如图，中，点D为边BC的中点，连接AD，将沿直线AD翻折至所在平面内，得，连接，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若，，则AD的长为__________．
变式1．（2022.广西九年级模拟）如图，在△ABC中，AB＜AC，∠C＝45°，AB＝5，BC＝4，点D在AC上运动，连接BD，把△BCD沿BD折叠得到，交AC于点E，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
2）分类讨论型
例1．（2022.重庆九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=4，点D是AB的中点，点E是边BC上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交边BC于点F，若△CB′F为直角三角形，则CB′的长为______．
变式1．（2022.河南九年级模拟）如图，，定长为的线段端点A，分别在射线，上运动（点A，不与点重合），为的中点，作关于直线对称的，交于点，当是等腰三角形时，的度数为______．
3）综合证明型
例1．（2020·江苏淮安·中考真题）【初步尝试】（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则与的数量关系为 ；
【思考说理】（2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值．
【拓展延伸】（3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．①求线段的长；②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围．
变式1．（2022·福建三明·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点．(1)求直线的函数解析式；(2)将沿直线翻折得到，使点O与点C重合，与x轴交于点D．求证：；(3)在直线下方是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
模型3.平行四边形中的折叠模型
1）常规计算型
例1．（2021·江苏苏州·中考真题）如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（ ）
A．1 B． C． D．
变式1．（2021·江西·中考真题）如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，，，则的周长为______．
2）分类讨论型
例1．（2022·湖北随州·中考模拟）在ABCD中，AB＜BC，已知∠B=30°，AB=2，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，使点B′落在ABCD所在的平面内，连接B′D．若△AB′D是直角三角形，则BC的长为_____．
变式1．在平行四边形 ABCD中，∠A60°，，点E、F分别为AD、BC的中点，沿EF折叠平行四边形，使线段CD落在直线AB上，点C的对应点为，点D的对应点为，若，则AD的长为___________.
3）综合证明型
例1．（2022·贵州贵阳·中考真题）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．
如图，在中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得．
(1)问题解决：如图①，当，将沿翻折后，使点与点重合，则______；
(2)问题探究：如图②，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；(3)拓展延伸：当，将沿翻折后，若，且，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值．
变式1．（2021·山西·中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明；
独立思考：（1）请解答老师提出的问题；
实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明；
问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．
模型4.菱形中的折叠
1）基本计算型
例1．（2021·辽宁大连·中考真题）如图，在菱形中，，点E在边上，将沿直线翻折180°，得到，点B的对应点是点若，，则的长是__________．
变式1．（2022·宁夏·银川市二模）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠C=60°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的G点处（不与B，D重合），折痕为EF，若DG=BG，则BE的长为（ ）
A． B． C． D．
2）分类讨论型
例1．（2022·河南·潢川县第二中学一模）如图，在菱形中，，，点为线段上一动点，过点作交于点，沿将折叠，点的对称点为点，连接、、，当为等腰三角形时，的长为______．
变式1.（2022山西中考模拟）如图在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝3，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF⊥AC交CD于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠点A落在G处，当△CGB为等腰三角形时，则AP的长为_________.
3）综合证明型
例1．（2022·河北·邢台市二模）如图1，菱形纸片的边长为2，．如图2，翻折，，使两个角的顶点重合于对角线上一点，，分别是折痕，设（），下列判断：①当时，的长为；②的值随的变化而变化；③六边形面积的最大值是；④六边形周长的值不变．其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④
变式1．（2022·湖北武汉·校联考一模）问题背景: 如图1，点E在BC上，AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥BC，求证：．
尝试应用:：如图2，在平行四边形ABCD中，点F在DC边上，将△ADF沿AF折叠得到△AEF，且点E恰好为BC边的中点，求的值．
拓展创新：如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，DC边上，∠AFE＝∠D，AE⊥FE，FC＝2．EC＝6．请直接写出的值．
模型5.正方形中的折叠模型
1）常规计算型
例1.（2022·广西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，，对角线相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作，分别交于点F、G，连接BF，交AC于点H，将沿EF翻折，点H的对应点恰好落在BD上，得到若点F为CD的中点，则的周长是_______．
变式1．（2022·四川成都·二模）如图，在正方形ABCD中，，E为BC中点，沿直线DF翻折，使点A的对应点A′恰好落在线段AE上，分别在AD，上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点与点D重合，则线段MN的长为________．
2）分类讨论型
例1．（2022·浙江·二模）正方形的边长为4，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，联结并延长交正方形一边于点．当时，的长为___．
变式1．（2022·河南·民权一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是边BC的中点，点F是AB边上一动点，将△BEF沿EF折叠得到，连接，作关于对称的，连接，．当是等腰三角形时，BF的长为______．
3）综合证明型
例1．（2022·四川渠县一模）如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边的点P处（不与点A，点D重合），点C落在G点处，PG交DC于点H，连接BP，BH．BH交EF于点M，连接PM．下列结论：①PB平分∠APG；②PH=AP+CH；③BM=BP，④若BE=，AP=1，则S四边形BEPM=，其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
变式1．（2022·福建·厦门二模）如图，正方形纸片ABCD，P为正方形AD边上的一点（不与点A，点D重合）．将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH，BH交EF于点M，连接PM．下列结论：①BE＝PE；②BP＝EF；③PB平分∠APG；④PH＝AP+HC；⑤MH＝MF，其中正确结论的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
模型6.圆中的折叠模型
1）角度、长度型
例1．（2021·湖北武汉·统考中考真题）如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．已知，，则的度数为_______；折痕的长为_______．
2）面积型
例1．（2022·山西太原·统考二模）如图是一张圆心为O，半径为4cm的圆形纸片，沿弦AC所在直线折叠，使得经过点O，将纸片展平后，作半径，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·山西大同·校联考三模）如图，边长为6的正六边形内接于，沿折叠，点F与点O重合，过点E作的切线与的延长线交于点G，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
课后专题训练
1．（2022·山东烟台·一模）如图，在矩形ABCD中，BC=6，E是BC的中点，连接AE，，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，当是直角三角形时，PD的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
2．（2022·山东模拟预测）矩形纸片中，，，将纸片折叠，使点B落在边上的处，折痕为．延长交的延长线于M，折痕上有点P，下列五个结论中正确的有（ ）
①；②；③；④；⑤若，则四边形是菱形．
A．2 B．3 C．4 D．5
3.（2022.山东中考模拟）如图，在中，点是线段上的一点，过点作交于点，将沿翻折，得到，若点恰好在线段上，若，：：，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·江苏镇江·中考真题）如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP＝x，QD＝y．若y关于x的函数图象（如图②）经过点E(9，2)，则cosB的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河南商丘·统考三模）如图菱形OABC，在平面直角坐标系中，点A(8，0)，∠C＝60°，点P为OA上的一点，且点P(3，0)，Q是BC边上的一个动点，将四边形OPQC沿直线PQ折叠，O的对应点，当的长度最小时，则点Q的坐标为（ ）
A．(﹣1，4) B．(﹣2，4) C．(﹣3，4) D．(0，4)
6．（2021·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图，在菱形中，，，点P为对角线上的一个动点，过P作交于点E，交于点F，将沿折叠，点A的对应点恰好落在对角线上的点G处，若是等腰三角形时，则的长为（ ）
A．或 B．或2 C．或4 D．或
7．（2022·安徽·模拟预测）正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿EF折叠，使点A落在处，点B落在处，交BC于G．下列结论错误的是（ ）
A．当为CD中点时，则＝
B．当时，则＝
C．连接，则
D．当（点不与C、D重合）在CD上移动时，周长随着位置变化而变化
8．（2022春·福建福州·九年级阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，则∠BCD的度数是（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
9．（2022秋·九年级课时练习）如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连接DE． 若AD＝2OD，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10.（2022·四川成都·二模）如图，在矩形中，．将矩形沿折叠，使点A落在边上的E处，得到四边形，连接，若，则________．
11．（2022.河北中考模拟）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．将沿直线翻折得到．若点C在反比例函数的图象上，则____．
12．（2022·成都市树德实验中学校考模拟预测）如图，，，点是线段上一个动点，连接，将线段沿直线进行翻折，点落在点处，连接，以为斜边在直线的左侧或者下方构造等腰直角三角形，则点从运动到的过程中，线段的最小值是______，当从点运动到点时，点的运动总路径长是______．
13．（2022·河南许昌·统考二模）如图，在菱形中，，，点为边的中点，为射线上一动点，连接，把沿折叠，得到，当与菱形的边垂直时，线段的长为______．
14．（2022·湖北襄阳·一模）如图，正方形的边长为24，点E是对角线上一点，且，F是的中点．连接与交点G，将沿翻折，得到，连接，交于点M，则_________．
15．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连结．（1）如图1，若点与圆心重合，则的度数为 __；
（2）如图2，若点与圆心不重合，，则的度数为 __．
16．（2021·浙江金华·统考中考真题）在扇形中，半径，点P在OA上，连结PB，将沿PB折叠得到．（1）如图1，若，且与所在的圆相切于点B．①求的度数．②求AP的长．（2）如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且，求的长．
17．（2022·辽宁·沈阳市九年级期中）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)迁移探究：①如图1，当点M在上时，___________°，___________°．
②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图2，判断与的数量关系，并说明理由．③已知正方形纸片的边长为8，当时，直接写出的长．
(2)拓展应用：正方形的边长为8，点P在边上，将沿直线翻折，使得点A落在正方形内的点M处，连接并延长交正方形一边于点G．当时，则的长为___________．
18．（2022·江苏无锡·统考一模）菱形中，，点E在边上，F在边上，
(1)如图1若点F与点B重合且，以直线为轴，将菱形折叠，使点C、D分别落在点、，且，请求出的长．(2)如图2以直线为轴，将菱形折叠，使点C、D分别落在点、，且过点A，当时，请求出的值．
19．（2021·吉林·统考中考真题）如图①，在中，，，是斜边上的中线，点为射线上一点，将沿折叠，点的对应点为点．
（1）若．直接写出的长（用含的代数式表示）；
（2）若，垂足为，点与点在直线的异侧，连接，如图②，判断四边形的形状，并说明理由；（3）若，直接写出的度数．
中考经典几何模型与最值问题
每年中考高考，数学都是很受关注的一门学科。每次数学中考结束，相当一部分学生的心情都不轻松。如果有效刷题，有效学生，有一点很重要，那就是搜集经典题目，汇总经典题型，尤其是对一些经典的数学模型，多解题或者易错题，不妨专门用一个本子搜集一下，整理一下，考前复习一下，效果会很不错。
今天整理了初三中考总复习阶段在教学过程中收集的经典题目，一共有16讲，包括原卷版和解析版，供大家学习复习参考。
经典题目1：这是一道非常经典的最值问题，最值模型将军饮马和一箭穿心。对于利用一穿心求圆外一点到圆上的最大值和最小值问题，弄懂这道题就够了。
经典题目2：上面三道题是费马点经典问题，旋转转化是费马点问题的关键，其核心思想是化折为直，掌握关键技巧，掌握核心思想，才能解决一类数学题目。
经典题目3：阿氏圆经典题目，这道题目实际包括了隐圆模型，一箭穿心模型等常见几何模型，核心思想依旧是化值为直，构造子母相似三角形实现线段的转化。
经典题目4：这是中考出现频率比较高的胡不归问题，也是经典最值问题，这是一个有历史故事的最值问题。构造锐角三角函数实现线段的转化，利用垂线段最短解决问题。
专题15 图形变换中的重要模型之翻折（折叠）模型
几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。
涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【知识储备】
翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的。以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。
对于翻折和折叠问题主要分两大类题型：直接计算型和分类讨论型，由浅入深难度逐步加大，掌握好分类讨论型的翻折问题，那么拿下中考数学翻折题型就没问题了。
翻折折叠题型(1)：直接计算型，运用翻折的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题。一般难度小，我们要多做一些这些题型，熟练翻折的性质，以及常见的解题套路。
翻折折叠题型(2)：分类讨论型，运用翻的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题。般难度较大，需要综合运用题中的条件，多种情况讨论分析，需要准确的画图，才能准确分析。
解决翻折题型的策略：
1）利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分；
2）结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；3）运用勾股定理或者三角形相似建立方程。
模型1.矩形中的折叠模型
1）常规计算型
例1．（2022·浙江·宁波一模）如图，在矩形纸片中，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，点、、恰好在同一直线上，若，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
变式1（2021·四川成都·中考真题）如图，在矩形中，，点E，F分别在边上，且，按以下步骤操作：第一步，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为，则线段的长为_______；第二步，分别在上取点M，N，沿直线继续翻折，使点F与点E重合，则线段的长为_______．
2）线段比值型
例1．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在矩形ABCD中．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为，点N运动的速度为，且．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好在CD的中点重合，则的值为______．
变式1．（2022·湖北襄阳·二模）如图，如图，将矩形ABCD对折，折痕为PQ，然后将其展开， E为BC边上一点，再将∠C沿DE折叠，使点C刚好落在线段AQ的中点F处，则 = ____
3）分类讨论型
例1．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形为矩形，，点E为边上一点，将沿翻折，点C的对应点为点F，过点F作的平行线交于点G，交直线于点H．若点G是边的三等分点，则的长是____________．
变式1．（2022·河南省实验中学一模）如图，在矩形中，已知，，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动，运动时间为t秒，连接，把沿着翻折得到．作射线与边交于点Q，当时，_______．
4）路径（轨迹）型
例1．（2022·重庆十八中两江实验中学一模）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则三角形AGC的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·四川成都·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，在点E从A到D的运动过程中，点G的运动路径=________，△CEF面积的最小值是 ________．
5）综合证明型
例1．（2022·广东·一模）如图，在矩形中，，，是上一点，沿折叠矩形，的对应边经过点，连接，与、分别交于点、，连接交于点下列结论：是等腰三角形；：：；平分；其中结论正确有（ ）
A．②④ B．②④ C．①②③ D．①②④
变式1．（2022·吉林·长春市二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴和轴上，已知对角线．．是边上一点，过点的反比例函数的图象与边交于点，若将沿翻折后，点恰好落在上的点处，则的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
模型2.特殊三角形中的折叠模型
1）常规计算型
例1．（2021·重庆·中考真题）如图，中，点D为边BC的中点，连接AD，将沿直线AD翻折至所在平面内，得，连接，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若，，则AD的长为__________．
变式1．（2022.广西九年级模拟）如图，在△ABC中，AB＜AC，∠C＝45°，AB＝5，BC＝4，点D在AC上运动，连接BD，把△BCD沿BD折叠得到，交AC于点E，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
2）分类讨论型
例1．（2022.重庆九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=4，点D是AB的中点，点E是边BC上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交边BC于点F，若△CB′F为直角三角形，则CB′的长为______．
变式1．（2022.河南九年级模拟）如图，，定长为的线段端点A，分别在射线，上运动（点A，不与点重合），为的中点，作关于直线对称的，交于点，当是等腰三角形时，的度数为______．
3）综合证明型
例1．（2020·江苏淮安·中考真题）【初步尝试】（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则与的数量关系为 ；
【思考说理】（2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值．
【拓展延伸】（3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．①求线段的长；②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围．
变式1．（2022·福建三明·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点．(1)求直线的函数解析式；(2)将沿直线翻折得到，使点O与点C重合，与x轴交于点D．求证：；(3)在直线下方是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
模型3.平行四边形中的折叠模型
1）常规计算型
例1．（2021·江苏苏州·中考真题）如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（ ）
A．1 B． C． D．
变式1．（2021·江西·中考真题）如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，，，则的周长为______．
2）分类讨论型
例1．（2022·湖北随州·中考模拟）在ABCD中，AB＜BC，已知∠B=30°，AB=2，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，使点B′落在ABCD所在的平面内，连接B′D．若△AB′D是直角三角形，则BC的长为_____．
变式1．在平行四边形 ABCD中，∠A60°，，点E、F分别为AD、BC的中点，沿EF折叠平行四边形，使线段CD落在直线AB上，点C的对应点为，点D的对应点为，若，则AD的长为___________.
3）综合证明型
例1．（2022·贵州贵阳·中考真题）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．
如图，在中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得．
(1)问题解决：如图①，当，将沿翻折后，使点与点重合，则______；
(2)问题探究：如图②，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；(3)拓展延伸：当，将沿翻折后，若，且，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值．
变式1．（2021·山西·中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明；
独立思考：（1）请解答老师提出的问题；
实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明；
问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．
模型4.菱形中的折叠
1）基本计算型
例1．（2021·辽宁大连·中考真题）如图，在菱形中，，点E在边上，将沿直线翻折180°，得到，点B的对应点是点若，，则的长是__________．
变式1．（2022·宁夏·银川市二模）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠C=60°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的G点处（不与B，D重合），折痕为EF，若DG=BG，则BE的长为（ ）
A． B． C． D．
2）分类讨论型
例1．（2022·河南·潢川县第二中学一模）如图，在菱形中，，，点为线段上一动点，过点作交于点，沿将折叠，点的对称点为点，连接、、，当为等腰三角形时，的长为______．
变式1.（2022山西中考模拟）如图在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝3，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF⊥AC交CD于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠点A落在G处，当△CGB为等腰三角形时，则AP的长为_________.
3）综合证明型
例1．（2022·河北·邢台市二模）如图1，菱形纸片的边长为2，．如图2，翻折，，使两个角的顶点重合于对角线上一点，，分别是折痕，设（），下列判断：①当时，的长为；②的值随的变化而变化；③六边形面积的最大值是；④六边形周长的值不变．其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④
变式1．（2022·湖北武汉·校联考一模）问题背景: 如图1，点E在BC上，AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥BC，求证：．
尝试应用:：如图2，在平行四边形ABCD中，点F在DC边上，将△ADF沿AF折叠得到△AEF，且点E恰好为BC边的中点，求的值．
拓展创新：如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，DC边上，∠AFE＝∠D，AE⊥FE，FC＝2．EC＝6．请直接写出的值．
模型5.正方形中的折叠模型
1）常规计算型
例1.（2022·广西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，，对角线相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作，分别交于点F、G，连接BF，交AC于点H，将沿EF翻折，点H的对应点恰好落在BD上，得到若点F为CD的中点，则的周长是_______．
变式1．（2022·四川成都·二模）如图，在正方形ABCD中，，E为BC中点，沿直线DF翻折，使点A的对应点A′恰好落在线段AE上，分别在AD，上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点与点D重合，则线段MN的长为________．
2）分类讨论型
例1．（2022·浙江·二模）正方形的边长为4，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，联结并延长交正方形一边于点．当时，的长为___．
变式1．（2022·河南·民权一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是边BC的中点，点F是AB边上一动点，将△BEF沿EF折叠得到，连接，作关于对称的，连接，．当是等腰三角形时，BF的长为______．
3）综合证明型
例1．（2022·四川渠县一模）如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边的点P处（不与点A，点D重合），点C落在G点处，PG交DC于点H，连接BP，BH．BH交EF于点M，连接PM．下列结论：①PB平分∠APG；②PH=AP+CH；③BM=BP，④若BE=，AP=1，则S四边形BEPM=，其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
变式1．（2022·福建·厦门二模）如图，正方形纸片ABCD，P为正方形AD边上的一点（不与点A，点D重合）．将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH，BH交EF于点M，连接PM．下列结论：①BE＝PE；②BP＝EF；③PB平分∠APG；④PH＝AP+HC；⑤MH＝MF，其中正确结论的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
模型6.圆中的折叠模型
1）角度、长度型
例1．（2021·湖北武汉·统考中考真题）如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．已知，，则的度数为_______；折痕的长为_______．
2）面积型
例1．（2022·山西太原·统考二模）如图是一张圆心为O，半径为4cm的圆形纸片，沿弦AC所在直线折叠，使得经过点O，将纸片展平后，作半径，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·山西大同·校联考三模）如图，边长为6的正六边形内接于，沿折叠，点F与点O重合，过点E作的切线与的延长线交于点G，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
课后专题训练
1．（2022·山东烟台·一模）如图，在矩形ABCD中，BC=6，E是BC的中点，连接AE，，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，当是直角三角形时，PD的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
2．（2022·山东模拟预测）矩形纸片中，，，将纸片折叠，使点B落在边上的处，折痕为．延长交的延长线于M，折痕上有点P，下列五个结论中正确的有（ ）
①；②；③；④；⑤若，则四边形是菱形．
A．2 B．3 C．4 D．5
3.（2022.山东中考模拟）如图，在中，点是线段上的一点，过点作交于点，将沿翻折，得到，若点恰好在线段上，若，：：，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·江苏镇江·中考真题）如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP＝x，QD＝y．若y关于x的函数图象（如图②）经过点E(9，2)，则cosB的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河南商丘·统考三模）如图菱形OABC，在平面直角坐标系中，点A(8，0)，∠C＝60°，点P为OA上的一点，且点P(3，0)，Q是BC边上的一个动点，将四边形OPQC沿直线PQ折叠，O的对应点，当的长度最小时，则点Q的坐标为（ ）
A．(﹣1，4) B．(﹣2，4) C．(﹣3，4) D．(0，4)
6．（2021·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图，在菱形中，，，点P为对角线上的一个动点，过P作交于点E，交于点F，将沿折叠，点A的对应点恰好落在对角线上的点G处，若是等腰三角形时，则的长为（ ）
A．或 B．或2 C．或4 D．或
7．（2022·安徽·模拟预测）正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿EF折叠，使点A落在处，点B落在处，交BC于G．下列结论错误的是（ ）
A．当为CD中点时，则＝
B．当时，则＝
C．连接，则
D．当（点不与C、D重合）在CD上移动时，周长随着位置变化而变化
8．（2022春·福建福州·九年级阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，则∠BCD的度数是（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
9．（2022秋·九年级课时练习）如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连接DE． 若AD＝2OD，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10.（2022·四川成都·二模）如图，在矩形中，．将矩形沿折叠，使点A落在边上的E处，得到四边形，连接，若，则________．
11．（2022.河北中考模拟）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．将沿直线翻折得到．若点C在反比例函数的图象上，则____．
12．（2022·成都市树德实验中学校考模拟预测）如图，，，点是线段上一个动点，连接，将线段沿直线进行翻折，点落在点处，连接，以为斜边在直线的左侧或者下方构造等腰直角三角形，则点从运动到的过程中，线段的最小值是______，当从点运动到点时，点的运动总路径长是______．
13．（2022·河南许昌·统考二模）如图，在菱形中，，，点为边的中点，为射线上一动点，连接，把沿折叠，得到，当与菱形的边垂直时，线段的长为______．
14．（2022·湖北襄阳·一模）如图，正方形的边长为24，点E是对角线上一点，且，F是的中点．连接与交点G，将沿翻折，得到，连接，交于点M，则_________．
15．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连结．（1）如图1，若点与圆心重合，则的度数为 __；
（2）如图2，若点与圆心不重合，，则的度数为 __．
16．（2021·浙江金华·统考中考真题）在扇形中，半径，点P在OA上，连结PB，将沿PB折叠得到．（1）如图1，若，且与所在的圆相切于点B．①求的度数．②求AP的长．（2）如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且，求的长．
17．（2022·辽宁·沈阳市九年级期中）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)迁移探究：①如图1，当点M在上时，___________°，___________°．
②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图2，判断与的数量关系，并说明理由．③已知正方形纸片的边长为8，当时，直接写出的长．
(2)拓展应用：正方形的边长为8，点P在边上，将沿直线翻折，使得点A落在正方形内的点M处，连接并延长交正方形一边于点G．当时，则的长为___________．
18．（2022·江苏无锡·统考一模）菱形中，，点E在边上，F在边上，
(1)如图1若点F与点B重合且，以直线为轴，将菱形折叠，使点C、D分别落在点、，且，请求出的长．(2)如图2以直线为轴，将菱形折叠，使点C、D分别落在点、，且过点A，当时，请求出的值．
19．（2021·吉林·统考中考真题）如图①，在中，，，是斜边上的中线，点为射线上一点，将沿折叠，点的对应点为点．
（1）若．直接写出的长（用含的代数式表示）；
（2）若，垂足为，点与点在直线的异侧，连接，如图②，判断四边形的形状，并说明理由；（3）若，直接写出的度数．
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