专题12 平面直角坐标系（解析版）

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专题12 平面直角坐标系
【考查题型】

【知识要点】
知识点一 平面直角坐标系的基础
有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）。
【注意】a、b的先后顺序对位置有影响。
考查题型一 用有序数对表示位置
题型1．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图是一个教室平面示意图，我们把小刚的座位“第1列第3排”记为．若小丽的座位为，以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根据小丽的座位坐标为，根据四个选项中的座位坐标，判断四个选项中与其相邻的座位，即可得出答案．
【详解】解：∵只有与是相邻的，
∴与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是，故C正确．
故选：C．
【名师点拨】本题主要考查了坐标确定位置，关键是根据有序数对表示点的位置，根据点的坐标确定位置．
题型1-1．（2022·贵州六盘水·中考真题）两个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”时，表示的动物是（    ）

A．狐狸 B．猫 C．蜜蜂 D．牛
【答案】B
【提示】根据题意“咚咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“狗”，表示对应的字母为“”，则“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”表示，对应表格中的“”，即可求解．
【详解】解：∵“咚咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“狗”，表示对应的字母为“”，
则“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”表示，对应表格中的“”， 表示的动物是“猫”．
故选B．
【名师点拨】本题考查了有序数对表示位置，理解题意是解题的关键．
题型1-2．（2022·四川眉山·中考真题）将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列：
，2，，；
，，，4；
…
若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为________．
【答案】
【提示】先找出被开方数的规律，然后再求得的位置即可．
【详解】数字可以化成：
，，，；
，，，；
∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，
∵，28是第14个偶数，而
∴的位置记为
故答案为：
【名师点拨】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统一是关键．
题型1-3．（2022·山东烟台·中考真题）观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用（1，3）表示，“炮”所在的位置用（6，4）表示，那么“帅”所在的位置可表示为 _____．

【答案】（4，1）
【提示】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．
【详解】解：如图所示：

“帅”所在的位置：（4，1），
故答案为：（4，1）．
【名师点拨】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题的关键．
平面直角坐标系的概念：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。
两轴的定义：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取 向右 方向为正方向；
竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取 向上 方向为正方向。
原点：两坐标轴交点叫做坐标系原点。
坐标平面：坐标系所在的平面叫坐标平面。
象限：x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限。按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

【注意】坐标轴上的点不属于任何象限。
点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)。

知识点二 点的坐标的有关性质（考点）
性质一 各象限内的点的坐标特征
1）点P(x，y)在第一象限 x＞0，y＞0（同号）； 2）点P(x，y)在第二象限 x＜0，y＞0（异号）；
3）点P(x，y)在第三象限 x＜0，y＜0（同号）； 4）点P(x，y)在第四象限 x＞0，y＜0（异号）。
性质二 坐标轴上的点的坐标特征
1）点 P(x，y)在x轴上 y=0，x为任意实数；
2）点P(x，y)在y轴上 x=0，y为任意实数；
3）点P(x，y)既在x轴上，又在y轴上 x=y=0，即点P坐标为(0，0)；
性质三 象限角的平分线上的点的坐标
1）点P(x，y)在第一、三象限角平分线上 x与y相等；
2）点P(x，y)在第二、四象限角平分线上 x与y互为相反数（x+y=0）；
性质四 与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征
1）平行于x轴的直线上的各点：纵坐标相同；
2）平行于y轴的直线上的各点：横坐标相同；

性质五 点到坐标轴距离
在平面直角坐标系中，已知点P，则点P到轴的距离为； 点P到轴的距离为；点P到原点O的距离为P＝

性质六 平面直角坐标系内平移变化

性质七 关于x轴、y轴、原点对称点的坐标
1） 点P关于轴的对称点为， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数；

2） 点P关于轴的对称点为， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；

3）点P关于原点的对称点为，即横、纵坐标都互为相反数；

4）点（x，y）关于（a，b）的对称点为（2a-x，2b-y）。
性质八 坐标系中点与点之间的距离
点M（x1，y1）与点N（x2，y2）之间的直线距离（线段长度）：
若AB∥x轴，则的距离为；
若AB∥y轴，则的距离为；
点到原点之间的距离为
小结：
坐标轴上
点P（x，y）
连线平行于
坐标轴的点
点P（x，y）在各象限
的坐标特点
象限角平分线上
的点
X轴
Y轴
原点
平行X轴
平行Y轴
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
第一、
三象限
第二、四象限
(x,0)

(0,y)

(0,0)

纵坐标相同横坐标不同
横坐标相同纵坐标不同
x＞0
y＞0
x＜0
y＞0
x＜0
y＜0
x＞0
y＜0
(x,x)
(x,-x)
考查题型二 求直角坐标系点的坐标
题型2．（2021·海南·中考真题）如图，点都在方格纸的格点上，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【提示】根据点的坐标建立平面直角坐标系，由此即可得出答案．
【详解】解：由点的坐标建立平面直角坐标系如下：

则点的坐标为，
故选：D．
【名师点拨】本题考查了求点的坐标，正确建立平面直角坐标系是解题关键．
题型2-1．（2021·山西·中考真题）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”，两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点的坐标为__________．

【答案】
【提示】根据A，两点的坐标分别为，，可以判断原点的位置，然后确定C点坐标即可．
【详解】解：∵，两点的坐标分别为，，
∴B点向右移动3位即为原点的位置，
∴点C的坐标为，
故答案为：．
【名师点拨】本题主要考查在平面直角系中，根据已知点的坐标，求未知点的坐标，解题的关键是根据已知点的坐标确定原点的坐标．
题型2-2．（2021·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的边的中点C，D的横坐标分别是1，4，则点B的横坐标是_______．

【答案】6
【提示】根据中点的性质，先求出点A的横坐标，再根据A、D求出B点横坐标．
【详解】设点A的横坐标为a，点B的横坐标是b；
点的横坐标是0，C的横坐标是1 ，C，D是的中点
得
得
点B的横坐标是6．
故答案为6．
【名师点拨】本题考查了中点的性质，平面直角坐标系，三角形中线的性质，正确的使用中点坐标公式并正确的计算是解题的关键．
题型2-3．（2021·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若轴，且，则点B的坐标是________．
【答案】或
【提示】由题意，设点B的坐标为(-2，y)，则由AB=9可得，解方程即可求得y的值，从而可得点B的坐标．
【详解】∵轴
∴设点B的坐标为(-2，y)
∵AB=9
∴
解得：y=8或y=－10
∴点B的坐标为或
故答案为：或
【名师点拨】本题考查了平面直角坐标系求点的坐标，解含绝对值方程，关键是抓住平行于坐标轴的线段长度只与两点的横坐标或纵坐标有关，易错点则是考虑不周，忽略其中一种情况．
题型2-4．（2021·湖南湘潭·中考真题）在平面直角坐标系中，把点向右平移5个单位得到点，则点的坐标为____．
【答案】
【提示】把点向右平移5个单位，纵坐标不变，横坐标增加5，据此解题．
【详解】解：把点向右平移5个单位得到点，则点的坐标为，即，
故答案为：．
【名师点拨】本题考查平面直角坐标系与点的坐标，涉及平移等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
考查题型三 点所在的象限
题型3．（2022·浙江衢州·中考真题）在平面直角坐标系中，点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【提示】根据第三象限内的点的横坐标小于零，纵坐标小于零，可得答案．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点位于第三象限，
故选：C．
【名师点拨】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
题型3-1．（2022·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，点P(﹣3，a2+1)所在的象限是（     ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】∵a2⩾0，
∴a2+1⩾1，
∴点P(−3,a2+1)所在的象限是第二象限．
故选B.
题型3-2．（2022·四川攀枝花·中考真题）若点在第一象限，则点在（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【提示】根据点在第一象限，得到，，即可得到点所在的象限．
【详解】解：点在第一象限内，
，，
，
点所在的象限是：第二象限．
故选：B．
【名师点拨】此题考查了已知点所在是象限求参数，根据点坐标判断点所在的象限，正确理解点的坐标与点所在象限的关系是解题的关键．
题型3-3．（2022·四川眉山·中考真题）一次函数的值随的增大而增大，则点所在象限为（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【提示】根据一次函数的性质求出m的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断P点所处的象限即可．
【详解】∵一次函数的值随的增大而增大，
∴
解得：
∴在第二象限
故选：B
【名师点拨】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．
题型3-4．（2022·四川广安·中考真题）若点P（m+1，m）在第四象限，则点Q（﹣3，m+2）在第________象限．
【答案】二
【提示】根据点P（m+1，m）在第四象限，可得到，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵点P（m+1，m）在第四象限，
∴，解得：，
∴，
∴点Q（﹣3，m+2）在第二象限．
故答案为：二
【名师点拨】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）是解题的关键．
考查题型四 已知点所在的象限求参数坐标
题型4．（2022·广西河池·中考真题）如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是(   )
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】根据第三象限点的特征，横纵坐标都为负，列出一元一次不等式组，进而即可求解．
【详解】解：∵点P（m，1+2m）在第三象限内，
∴，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
故选D．
【名师点拨】本题考查了第三象限的点的坐标特征，一元一次不等式组的应用，掌握各象限点的坐标特征是解题的关键．
题型4-1．（2021·湖北荆州·中考真题）若点关干轴的对称点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【提示】先根据题意求出点关于轴的对称点坐标，根据点在第四象限列方程组，求解即可.
【详解】∵
∴点 关于轴的对称点坐标为
∵在第四象限
∴
解得：
故选：C
【名师点拨】本题考查点关于坐标轴对称点求法，以及根据象限点去判断参数的取值范围，能根据题意找见相关的关系是解题关键．
题型4-2．（2021·青海·中考真题）已知点在第四象限，则的取值范围是______．
【答案】
【提示】根据直角坐标系、一元一次不等式组的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵点在第四象限
∴∴∴故答案为：．
【名师点拨】本题考查了直角坐标系、一元一次不等式组的知识；解题的关键是熟练掌握象限、一元一次不等式组的性质，从而完成求解．
考查题型五 坐标与图形
题型5．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在矩形中，，则D的坐标为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【提示】先根据A、B的坐标求出AB的长，则CD=AB=6，并证明轴，同理可得轴，由此即可得到答案．
【详解】解：∵A（-3，2），B（3，2），
∴AB=6，轴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6，轴，
同理可得轴，
∵点C（3，-1），
∴点D的坐标为（-3，-1），
故选D．
【名师点拨】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，熟知矩形的性质是解题的关键．
题型5-1．（2022·天津·中考真题）如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【提示】利用HL证明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解．
【详解】解：∵AB⊥x轴，
∴∠ACO=∠BCO=90°，

∵OA=OB，OC=OC，
∴△ACO≌△BCO(HL)，
∴AC=BC=AB=3，
∵OA=5，
∴OC=4，
∴点A的坐标是（4，3），
故选：D．
【名师点拨】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
题型5-2．（2021·四川自贡·中考真题）如图，，，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【提示】先根据题意得出OA=8，OC=2，再根据勾股定理计算即可
【详解】解：由题意可知：AC=AB
∵，
∴OA=8，OC=2
∴AC=AB=10
在Rt△OAB中，
∴B(0，6)
故选：D
【名师点拨】本题考查勾股定理、正确写出点的坐标，圆的半径相等、熟练进行勾股定理的计算是关键
题型5-3．（2022·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上，以点为圆心，长为半径作弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为__________．

【答案】
【提示】连接，先根据点的坐标可得，再根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形，然后根据等腰三角形的三线合一可得，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，

点的坐标为，
，
由同圆半径相等得：，
是等腰三角形，
，
（等腰三角形的三线合一），
又点位于轴正半轴，
点的坐标为，
故答案为：．
【名师点拨】本题考查了同圆半径相等、等腰三角形的三线合一、点坐标等知识点，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．
考查题型六 点的坐标规律
题型6．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点；…；按此做法进行下去，则点的坐标为_________．

【答案】
【提示】先根据平移规律得到第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，每一个循环里面横坐标不发生变化，纵坐标向下平移4个单位长度，从而求出点A8的坐标为（0，-8），由此求解即可．
【详解】解：∵把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，
∴第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，
∵O到A1是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，A1到A2是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度，A2到A3是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度，A3到A4是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，A4到A5是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度，
∴可以看作每四次坐标变换为一个循环，每一个循环里面横坐标不发生变化，纵坐标向下平移4个单位长度，
∴点A8的坐标为（0，-8），
∴点A8到A9的平移方式与O到A1的方式相同（只指平移方向）即A8到A9向右平移9个单位，向上平移9个单位，
∴A9的坐标为（9，1），
同理A9到A10的平移方式与A1到A2的平移方式相同（只指平移方向），即A9到A10向左平移10个单位，向上平移10个单位，
∴A10的坐标为（-1，11），
故答案为：（-1，11）．
【名师点拨】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确找到规律是解题的关键．
题型6-1．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，的中点为；，，的中点为；，，的中点为；，，的中点为；…；按此做法进行下去，则点的坐标为_____．

【答案】
【提示】根据图形找出规律即可解答．由图可知，线段位于第一象限，位于第二象限，位于第三象限，位于第四象限…，每四个循环一次，则可知道在第几象限，写出的坐标，即可解答．
【详解】
∴线段在第二象限；
∴（0，2023），（-2022，0）
∵点为线段中点，
∴点的坐标为，即
故答案为：
【名师点拨】本题主要考查了图形的变化规律，仔细读题找出变化规律是解题的关键．
题型6-2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，过点作交轴于点，过点作轴交于点，过点作交轴于点，过点作轴交于点…，按照如此规律操作下去，则点的纵坐标是______________．

【答案】
【提示】先根据30°的特殊直角三角形，如，，，求出B点，B1点的纵坐标，发现规律，即可
【详解】∵
当时，
当时，
故，
∴为30°的直角三角形
∴
∵
∴为30°的直角三角形
∴
∴为30°的直角三角形

∵轴
∴
∴
为30°的直角三角形

同理：


…

故：
故答案为：
【名师点拨】本题考查30°的特殊直角三角形；注意只用求点的纵坐标，即长度
题型6-3．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，过原点的两条直线分别为l1：y＝2x，l2：y＝﹣x，过点A（1，0）作x轴的垂线与l1交于点A1，过点A1作y轴的垂线与l2交于点A2，过点A2作x轴的垂线与l1交于点A3，过点A3作y轴的垂线与l2交于点A4，过点A4作x轴的垂线与l1交于点A5，⋯，依次进行下去，则点A20的坐标为 _____．

【答案】（210，﹣210）
【提示】首先把x＝1代入l1：y＝2x，可得点A1的坐标为（1，2），把y=2代入l2：y＝﹣x，可得点A2的坐标为（﹣2，2），据此即可求得A3，A4，A5，A6，A7，A8，A9的坐标，即可找到规律，据此即可求得．
【详解】解：当x＝1时，y＝2，
∴点A1的坐标为（1，2）；
当y＝﹣x＝2时，x＝﹣2，
∴点A2的坐标为（﹣2，2）；
同理可得：A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），A6（﹣8，8），A7（﹣8，﹣16），A8（16，﹣16），A9（16，32），…，
∴A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（﹣22n+1，22n+1），
A4n+3（﹣22n+1，﹣22n+2），A4n+4（22n+2，﹣22n+2）（n为自然数）．
∵20＝4×4+4，
∴点A20的坐标为（22×4+2，﹣22×4+2），即（210，﹣210）．
故答案为：（210，﹣210）．
【名师点拨】本题考查了坐标与图形，坐标的规律，根据函数图象找到坐标规律是解决本题的关键．
题型6-4．（2021·山东潍坊·中考真题）在直角坐标系中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到达终点An（506，﹣505），则n的值为 _______．

【答案】2022
【提示】终点在第四象限，寻找序号与坐标之间的关系可求n的值．
【详解】解：∵是第四象限的点，
∴落在第四象限．
∴在第四象限的点为
∵
∴
故答案为：2022
【名师点拨】本题考查了点坐标的位置及坐标变化规律的知识点，善于观察并寻找题目中蕴含的规律是解题的关键．
考查题型七 坐标方法的简单应用
题型7．（2022·广西柳州·中考真题）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），则教学楼的坐标是（　　）

A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2）
【答案】D
【提示】根据综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），先确定坐标原点以及坐标系，再根据教学楼的位置可得答案．
【详解】解：如图，根据综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），画图如下：

∴教学楼的坐标为：
故选D
【名师点拨】本题考查的是根据位置确定点的坐标，熟练的根据已知条件建立坐标系是解本题的关键．
题型7-1．（2022·江苏泰州·中考真题）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为__________.

【答案】
【提示】根据第一步马往外跳，第二步马再往回跳但路线不与第一步的路线重合，这样走两步后的落点与出发点距离最短．
【详解】解：如下图所示：

马第一步往外跳，可能的落点为A、B、C、D、E、F点，
第二步往回跳，但路线不与第一步的路线重合，这样走两步后的落点与出发点距离最短，
比如，第一步马跳到A点位置，第二步在从A点跳到G点位置，此时落点与出发点的距离最短为，
故答案为：．
【名师点拨】本题借助象棋中的“马走日”的规则考察了两点之间的距离公式，解题的关键是读懂题意．
题型7-2．（2022·甘肃兰州·中考真题）如图，小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系，如果白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0），那么黄河母亲像的坐标是______．

【答案】
【提示】根据白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0）画出直角坐标系，然后根据点的坐标的表示方法写出黄河母亲像的坐标；
【详解】解：如图，

根据白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0）画出直角坐标系，
∴黄河母亲像的坐标是 ．
故答案为：．
【名师点拨】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征是解题的关键．