专题22 认识多边形（解析版）

这是一份专题22 认识多边形（解析版），共21页。


【知识要点】
多边形的概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
多边形内角的概念：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角。
多边形外角的概念：多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
多边形对角线条数：一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为
凸多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其它边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形。
正多边形的概念：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。
多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（扩展：正n边形每个内角的度数是（n−2）×180°n）
【推论】1）n边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1，内角和增加180°。
2）任意多边形的内角和均为180°的整数倍。
多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。
考查题型一 多边形内角和问题
典例1．（2022·湖南湘西·统考中考真题）一个正六边形的内角和的度数为（ ）
A．1080°B．720°C．540°D．360°
【答案】B
【分析】利用多边形的内角和定理解答即可．
【详解】解：一个正六边形的内角和的度数为：（6﹣2）×180°＝720°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，利用多边形的内角和定理解答是解题的关键．
变式1-1．（2022·山东临沂·统考中考真题）如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是（ ）
A．900°B．720°C．540°D．360°
【答案】C
【分析】n边形的内角和公式为：，再根据内角和公式计算即可．
【详解】解：（5-2）×180° =180°×3 =540°
因此五边形的内角和是540°．
故选：C
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式（n-2）×180°的灵活运用．熟悉多边形的内角和公式是解本题的关键．
变式1-2．（2022·湖南怀化·统考中考真题）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）
A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形
【答案】A
【分析】根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°，列出方程即可求解．
【详解】解：根据n边形的内角和公式，得
（n﹣2）•180°=900°，
解得n=7，
∴这个多边形的边数是7，
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记内角和公式并列出方程．
变式1-3．（2021·北京·统考中考真题）下列多边形中，内角和最大的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据多边形内角和公式可直接进行排除选项．
【详解】解：A、是一个三角形，其内角和为180°；
B、是一个四边形，其内角和为360°；
C、是一个五边形，其内角和为540°；
D、是一个六边形，其内角和为720°；
∴内角和最大的是六边形；
故选D．
【点睛】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．
变式1-4．（2021·江苏扬州·统考中考真题）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接、、、、，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的和，即可得到结果．
【详解】解：连接BD，∵∠BCD=100°，
∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，
∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形．
变式1-5．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”．请你在不直接运用结论“n边形的内角和为”计算的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，结合图形说明：五边形的内角和为540°．
【答案】答案见解析
【分析】如下图，连接，，将五边形分成三个三角形，然后利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：连接，，
五边形的内角和等于，，的内角和的和，
五边形的内角和．
【点睛】此题考查了三角形的内角和定理，熟练运用三角形内角和定理，并将五边形转化为三个三角形是解答此题的关键．
考查题型二 正多边形内角和问题
典例2．（2022·四川南充·中考真题）如图，在正五边形中，以为边向内作正，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用正多边形各边长度相等，各角度数相等，即可逐项判断．
【详解】解：∵多边形是正五边形，
∴该多边形内角和为：，，
∴，故D选项正确；
∵是正三角形，
∴，，
∴，，
∴，故B选项正确；
∵，，
∴，故A选项正确；
∵，，
∴，故C选项错误，
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形的性质以及多边形内角和公式，熟练掌握正多边形“各边长度相等，各角度数相等”是解题的关键．
变式2-1．（2022·广西玉林·统考中考真题）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是( )
A．4B．C．2D．0
【答案】B
【分析】由题意可分别求出经过2022秒后，红黑两枚跳棋的位置，然后根据正多边形的性质及含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵2022÷3=674，2022÷1=2022，
∴，
∴经过2022秒后，红跳棋落在点A处，黑跳棋落在点E处，
连接AE，过点F作FG⊥AE于点G，如图所示：
在正六边形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查图形规律问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及正多边形的性质，熟练掌握图形规律问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及正多边形的性质是解题的关键．
变式2-2．（2022·上海·统考中考真题）有一个正n边形旋转后与自身重合，则n为（ ）
A．6B．9C．12D．15
【答案】C
【分析】根据选项求出每个选项对应的正多边形的中心角度数，与一致或有倍数关系的则符合题意．
【详解】如图所示，计算出每个正多边形的中心角，是的3倍，则可以旋转得到．
观察四个正多边形的中心角，可以发现正12边形旋转90°后能与自身重合
故选C．
【点睛】本题考查正多边形中心角与旋转的知识，解决本题的关键是求出中心角的度数并与旋转度数建立关系．
变式2-3．（2021·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面d及的值都正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出多边形的边长，利用多边形内角和求解内角度数，再根据锐角三角函数求值即可．
【详解】
解： 设剪去△ABC边长AC=BC=x，可得：
，
解得x=，
则BD=，
∵正方形剪去四个角后成为一个正八边形，根据正八边形每个内角为135度，
，
则∠BFD=22.5°，
∴外接圆直径d=BF=，
根据题意知周长÷d==，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、多边形内角和、圆周长直径公式和锐角三角函数等相关知识，阅读理解题意是解决问题的关键．
变式2-4．（2021·福建·统考中考真题）如图，点F在正五边形的内部，为等边三角形，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据多边形内角和公式可求出∠ABC的度数，根据正五边形的性质可得AB=BC，根据等边三角形的性质可得∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，可得BF=BC，根据角的和差关系可得出∠FBC的度数，根据等腰三角形的性质可求出∠BFC的度数，根据角的和差关系即可得答案．
【详解】∵是正五边形，
∴∠ABC==108°，AB=BC，
∵为等边三角形，
∴∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，
∴BF=BC，∠FBC=∠ABC-∠ABF=48°，
∴∠BFC==66°，
∴=∠AFB+∠BFC=126°，
故选：C．
【点睛】本题考查多边形内角和、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．
变式2-5．（2022·江苏徐州·统考中考真题）正十二边形每个内角的度数为 ．
【答案】
【分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解．
【详解】试题分析：正十二边形的每个外角的度数是：=30°，
则每一个内角的度数是：180°﹣30°=150°．
故答案为150°．
变式2-6．（2021·江苏镇江·统考中考真题）如图，花瓣图案中的正六边形ABCDEF的每个内角的度数是__．
【答案】120°
【分析】多边形的内角和可以表示成(n﹣2)•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，可设这个正六边形的每一个内角的度数为x，故又可表示成6x，列方程可求解．
【详解】解：设这个正六边形的每一个内角的度数为x，
则6x＝(6﹣2)•180°，
解得x＝120°．
故答案为：120°．
【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式及求正多边形的内角的度数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
变式2-7．（2021·四川雅安·统考中考真题）如图，为正六边形，为正方形，连接CG，则∠BCG+∠BGC=______．
【答案】
【分析】分别计算正六边形和正方形的每个内角的度数，再利用三角形的内角和定理即可得出答案．
【详解】解：∵ABDEF是正六边形，
∴
∵ABGH是正方形，
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了多边形的内角和与正多边形每个内角的计算等知识点，熟知多边形的内角和的计算公式是解题的关键．
变式2-8．（2021·浙江·统考中考真题）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（是正五边形的五个顶点），则图中的度数是_______度．
【答案】36
【分析】根据题意，得五边形（是正五边形的五个顶点）为正五边形，且；根据多边形内角和性质，得正五边形内角和，从而得；再根据补角、等腰三角形、三角形内角和性质计算，即可得到答案．
【详解】∵正五角星（是正五边形的五个顶点）
∴五边形（是正五边形的五个顶点）为正五边形，且
∴正五边形内角和为：
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：36．
【点睛】本题考查了正多边形、多边形内角和、补角、等腰三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形、多边形内角和、等腰三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．
考查题型三 正多边形外角问题
典例3．（2021·辽宁营口·统考中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出正六边形的内角和外角，再根据三角形的外角性质以及平行线的性质，即可求解．
【详解】解：∵正六边形的每个内角等于120°，每个外角等于60°，
∴∠FAD=120°-∠1=101°，∠ADB=60°，
∴∠ABD=101°-60°=41°
∵光线是平行的，
∴=∠ABD=，
故选A
【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形外角性质以及正六边形的性质，掌握三角形的外角性质以及平行线的性质是解题的关键．
变式3-1．（2022·青海西宁·统考中考真题）一个正n边形的一个外角等于36°，则n＝________．
【答案】10
【分析】利用多边形的外角和即可解决问题．
【详解】解：n=360°÷36°=10．
故答案为10．
【点睛】本题主要考查了正n边形的外角特点．因为外角和是360度，所以当多边形是正多边形时，每个外角都相等．直接利用外角求多边形的边数是常用的方法．
变式3-2．（2022·江苏泰州·统考中考真题）正八边形一个外角的大小为________度．
【答案】
【分析】根据正八边形得出八个内角都相等，再因为每个内角与它相应的外角互补，且多边形外角和为，算出正八边形一个外角的大小．
【详解】解：∵正八边形，
∴正八边形八个内角都相等，
∵正八边形的每个内角和它对应的外角互补，且外角和，
∴正八边形有八个相等的外角，
∴正八边形一个外角为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形的性质，多边形外角和，正确理解以上图形性质是解题的关键．
变式3-3．（2022·江西·统考中考真题）正五边形的外角和等于 _______◦．
【答案】360
【详解】∵任何n边形的外角和都等于360度
∴正五边形的外解和也为360°
故答案为360
考查题型四 多边形外角和的应用
典例4．（2022·河北·统考中考真题）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为，，则正确的是（ ）
A．B．
C．D．无法比较与的大小
【答案】A
【分析】多边形的外角和为，△ABC与四边形BCDE的外角和均为，作出选择即可．
【详解】解：∵多边形的外角和为，
∴△ABC与四边形BCDE的外角和与均为，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查多边形的外角和定理，注意多边形的外角和为是解答本题的关键．
变式4-1．（2021·湖南株洲·统考中考真题）如图所示，在正六边形内，以为边作正五边形，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用正n边形的外角和定理计算即可
【详解】如图，延长BA到点O，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAO==60°，
∵五边形ABGHI是正五边形，
∴∠IAO==72°，
∴∠FAI=∠IAO-∠FAO=12°，
故选B．
【点睛】本题考查了正多边形的外角和定理，熟练掌握正ｎ边形的外角和定理是解题的关键．
变式4-2．（2020·山东德州·中考真题）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°……照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（ ）
A．80米B．96米C．64米D．48米
【答案】C
【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．
【详解】解：根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×8=64米．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数．任何一个多边形的外角和都是360°．
考查题型五 多边形内角和与外角和的综合
典例5．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）正多边形的每个内角为，则它的边数是（ ）
A．4B．6C．7D．5
【答案】D
【分析】根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72°，再用外角和360°除以72°，计算即可得解．
【详解】解：∵正多边形的每个内角等于108°，
∴每一个外角的度数为180°-108°=72°，
∴边数=360°÷72°=5，
故选D．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，对于正多边形，利用多边形的外角和除以每一个外角的度数求边数更简便．
变式5-1．（2021·四川眉山·统考中考真题）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ）
A．1：3B．1：2C．2：1D．3：1
【答案】D
【分析】根据正八边形的外角和等于360°，求出每个外角的度数，再求出每个内角的度数，进而即可求解．
【详解】解：正八边形中，每个外角=360°÷8=45°，每个内角=180°-45°=135°，
∴每个内角与每个外角的度数之比=135°：45°=3：1，
故选D．
【点睛】本题主要考查正多边形的内角和外角，熟练掌握正多边形的外角和等于360°，是解题的关键．
变式5-2．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3：2，则_______．
【答案】5
【分析】设多边形的一个内角为3x度，一个外角则为2x度，求得外角的度数，然后根据多边形的外角和为360°，进而求出n的值．
【详解】解：∵正边形的一个内角度数与其外角度数的比是3：2，
∴设多边形的一个内角为3x度，一个外角则为2x度，
∴3x+2x＝180°，
解得x＝36°，
∴一个外角为2x＝72°，
360°÷72°＝5，
∴n＝5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了多边形的内角、外角的知识和外角和定理，理解一个多边形的一个内角与它相邻外角互补是解题的关键．
变式5-3．（2022·四川眉山·中考真题）一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为________．
【答案】11
【分析】多边形的内角和定理为，多边形的外角和为360°，根据题意列出方程求出n的值．
【详解】解：根据题意可得：，
解得： ，
故答案为：11．
【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和公式以及外角和定理，属于基础题型．记忆理解并应用这两个公式是解题的关键．
变式5-4．（2022·湖南株洲·统考中考真题）如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则_________度．
【答案】48
【分析】是正五边形的一个外角，利用多边形外交和360°算出一个外角，再利用的内角和180°，即可算出
【详解】∵四边形ABCDE是正五边形，是一个外角
∴
在中：
故答案为：48
【点睛】本题考查多边形外角和和三角形内角和，注意多边形外角和均为360°
变式5-5．（2021·四川广安·统考中考真题）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
【答案】8
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
【详解】解：设边数为n，由题意得，
180（n－2）=3603，
解得n=8．
所以这个多边形的边数是8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
变式5-6．（2020·四川遂宁·统考中考真题）已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为_____度．
【答案】36
【分析】首先设此正多边形为n边形，根据题意得：180°（n﹣2）=1440°，即可求得n=10，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
【详解】设此多边形为n边形，
根据题意得：180°（n﹣2）=1440°，
解得：n=10，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10＝36°．
故答案为：36．
【点睛】本题主要考查多边形的内角与外角，熟练掌握定义与相关方法是解题关键.
考查题型六 平面镶嵌
典例6．（2021·黑龙江绥化·统考中考真题）已知一个多边形内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（ ）
A．八边形B．九边形C．十边形D．十二边形
【答案】C
【分析】设这个多边形的边数为n，然后根据内角和与外角和公式列方程求解即可.
【详解】设这个多边形的边数为n，
则（n－2）×180°＝4×360°，
解得：n＝10，
故选C.
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，熟练掌握多边形内角和定理是解答本题的关键.n变形的内角和为：(n-2) ×180°， n变形的外角和为：360°；然后根据等量关系列出方程求解．
变式6-1．（2021·贵州铜仁·统考中考真题）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（ ）
A．等边三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形
【答案】C
【分析】进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应是，因此我们只需要验证是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可．
【详解】解：A、等边三角形每个内角的度数为，，故该项不符合题意；
B、正方形的每个内角的度数为，，故该项不符合题意；
C、正五边形的每个内角的度数为，，故该项符合题意；
D、正六边形的每个内角的度数为，，故该项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查镶嵌问题，正确掌握各正多边形的每个内角的度数及镶嵌的计算方法是解题的关键．
变式6-2．（2022·四川资阳·中考真题）小张同学家要装修，准备购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面．现已选定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以是___________．（填一种即可）
【答案】4或6或12
【分析】分别求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
【详解】正三角形的每个内角是，正四边形的每个内角是，
∵，
∴正四边形可以，
正六边形的每个内角是，
∵，
∴正六边形可以，
正十二边形的每个内角是，
∵，
∴正十二边形可以，
故答案为：4或6或12．
【点睛】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
变式6-3．（2019·浙江绍兴·统考中考真题）把边长为2的正方形纸片分割成如图的四块，其中点为正方形的中心，点分别是，的中点，用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形的周长是______.
【答案】10或或
【分析】先根据题意画出图形，再根据周长的定义即可求解．
【详解】如图所示：
图1的周长为1+2+3+2=6+2；
图2的周长为1+4+1+4=10；
图3的周长为3+5++=8+2．
故四边形MNPQ的周长是6+2或10或8+2．
故答案为6+2或10或8+2．
【点睛】考查了平面镶嵌（密铺），关键是得到与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙）的各种情况．