初中数学中考复习 专题07 平面直角坐标系与函数概念【考点精讲】（解析版）

考点1：平面直角坐标系内点的坐标

1．平面直角坐标系

（1）对应关系：坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的. 

（2）坐标轴上的点：x轴，y轴上的点不属于任何象限.

（3）坐标象限：为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别

叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限.

注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限.

2．点的坐标特征

（1）各象限内点的坐标特征：

点P(x，y)在第一象限,即x>0，y>0；点P(x,y)在第二象限，即x<0,y>0；

点P(x，y)在第三象限，即x<0，y<0；点P(x,y)在第四象限，即x>0,y<0. 

（2）坐标轴上点的特征：

x轴上点的纵坐标为0；y轴上点的横坐标为0；原点的坐标为(0,0). 

（3）点到坐标轴的距离:

点P(x,y)到x轴的距离为|y|；到y轴的距离为|x|.

【例1】（2021·海南中考真题）如图，点都在方格纸的格点上，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标是（    ）

A． B． C． D．

【分析】根据点的坐标建立平面直角坐标系，由此即可得出答案．

【详解】解：由点的坐标建立平面直角坐标系如下：

则点的坐标为，

故选：D．

【例2】已知点A（x，5）在第二象限，则点B（﹣x，﹣5）在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【分析】根据各象限内点坐标特征解答．

【详解】∵点A（x，5）在第二象限，

∴x＜0，

∴﹣x＞0，

∴点B（﹣x，﹣5）在四象限．

故选：D．

解答本考点的有关题目，关键在于掌握平面直角坐标系内点的坐标的特征.

1．（2020•扬州）在平面直角坐标系中，点P（x2+2，﹣3）所在的象限是（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【分析】直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案．

【详解】∵x2+2＞0，

∴点P（x2+2，﹣3）所在的象限是第四象限．

故选：D．

2．（2020•黄冈）在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣b）在第三象限，则点B（﹣ab，b）所在的象限是（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【分析】根据点A（a，﹣b）在第三象限，可得a＜0，﹣b＜0，得b＞0，﹣ab＞0，进而可以判断点B（﹣ab，b）所在的象限．

【详解】∵点A（a，﹣b）在第三象限，

∴a＜0，﹣b＜0，

∴b＞0，

∴﹣ab＞0，

∴点B（﹣ab，b）所在的象限是第一象限．

故选：A．

3．（2020•滨州）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为（　　）

A．（﹣4，5） B．（﹣5，4） C．（4，﹣5） D．（5，﹣4）

【分析】直接利用点的坐标特点进而分析得出答案．

【详解】∵在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，

∴点M的纵坐标为：﹣4，横坐标为：5，

即点M的坐标为：（5，﹣4）．

故选：D．

考点2：点的坐标变化

1．对称点的坐标特征:

点P(x,y)关于x轴的对称点为P1(x,-y)；点P(x,y)关于y轴的对称点为P2(-x,y);

点P(x,y)关于原点的对称点为P3(-x,-y). 

2．点的平移特征:将点P(x,y)向右(或左)平移a个单位长度后得P'(x+a,y)(或P'(x-a,y));

将点P(x,y)向上(或下)平移b个单位长度后得P″(x,y+b)(或P″(x,y-b)).

【例3】(2020广东)在平面直角坐标系中，点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为 (　　)

A．(-3,2)　        B．(-2,3)         C．(2,-3)     　    D．(3,-2)

【分析】熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键

【详解】关于x轴对称的点的坐标特征:横坐标不变,纵坐标互为相反数.所以点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为(3,-2)

故选：D.

【例4】(2020广州番禺模拟)在平面直角坐标系中,将点A(-1,2)向右平移3个单位长度得到点B,则点B关于x轴的对称点C的坐标是 (　　)

A．(-4,-2)　         B．(2,2)              C．(-2,2)　          D．(2,-2)

【详解】点A(-1,2)向右平移3个单位长度得到的点B的坐标为(-1+3,2),即(2,2),则点B关于x轴的对称点

C的坐标是(2,-2).

故选D.

1．在平面直角坐标系中，点P与点M关于y轴对称，点N与点M关于x轴对称，若点P的坐标为（﹣2，3），则点N的坐标为（　　）

A．（﹣3，2） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）

【分析】作出相关对称后可得点P与点N关于原点对称，那么依据点P的坐标为（﹣2，3），可得点N的坐标．

【详解】解：∵点M与点P关于y轴对称，点N与点M关于x轴对称，

∴点N与点P关于原点对称，

又∵点P的坐标为（﹣2，3），

∴点N的坐标为（2，﹣3），

故选：C．

2．若点P（2a﹣1，3）关于y轴对称的点为Q（3，b），则点M（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（　　）

A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）

【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出a，b的值，进而利用关于x轴对称点的性质得出答案．

【详解】解：∵点P（2a﹣1，3）关于y轴对称的点为Q（3，b），

∴2a﹣1＝﹣3，b＝3，

解得：a＝﹣1，

故M（﹣1，3），关于x轴对称的点的坐标为：（﹣1，﹣3）．

故选：C．

3．已知A（3，﹣2），B（1，0），把线段AB平移至线段CD，其中点A、B分别对应点C、D，若C（5，x），D（y，0），则x+y的值是（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

【分析】根据A、B两点平移后对应点的位置可得图形的平移方法，进而可得x、y的值，然后再计算出x+y即可．

【详解】解：∵A（3，﹣2），B（1，0）平移后的对应点C（5，x），D（y，0），

∴平移方法为向右平移2个单位，

∴x＝﹣2，y＝3，

∴x+y＝1，

故选：C．

考点3：函数自变量的取值范围

1．函数的有关概念

（1）变量与常量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.

（2）函数的概念：一般地,在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.

（3）表示方法：:解析式法、列表法、图象法.

（4）自变量的取值范围

① 解析式是整式时,自变量的取值范围是全体实数; 

② 解析式是分式时,自变量的取值范围是分母不为0的实数; 

③ 解析式是二次根式时,自变量的取值范围是被开方数大于等于0;

【例5】（2021·湖北黄石市）函数的自变量的取值范围是（    ）

A． B． C．且 D．且

【分析】根据被开方数大于等于0，分母不为0以及零次幂的底数不为0，列式计算即可得解．

【详解】解：函数的自变量的取值范围是：

且，

解得：且，

故选：C．

【例6】（2020•岳阳）函数y中自变量x的取值范围是　     　．

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．

【详解】依题意，得x﹣2≥0，

解得：x≥2，

故答案为：x≥2．

解答本考点的有关题目，关键在于正确求解函数自变量的取值范围，即求解使函数有意义的全部值.

注意以下要点：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数.

1．（2020•黑龙江）在函数中，自变量x的取值范围是　   　．

【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．

【详解】由题意得2x﹣3＞0，

解得x＞1.5．

故答案为：x＞1.5．

2．（2021·四川泸州市）函数的自变量x的取值范围是（  ）

A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1

【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．

【详解】解:由题意得，x-1≥0且x-1≠0，

解得x＞1．

故选：B．

3．（2021·江苏无锡市）函数y=的自变量x的取值范围是（    ）

A．x≠2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2

【分析】根据被开放式的非负性和分母不等于零列出不等式即可解题.

【详解】解：∵函数y=有意义,

∴x-20,

即x＞2

故选D

考点4：函数图象的分析与运用

1．函数图象的概念：一般地,对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.

2．函数图象的画法:列表、描点、连线.

【例7】（2021·重庆中考真题）小明从家出发沿笔直的公路去图书馆，在图书馆阅读书报后按原路回到家．如图，反映了小明离家的距离y（单位：km）与时间t（单位：h）之间的对应关系．下列描述错误的是（    ）

A．小明家距图书馆3km

B．小明在图书馆阅读时间为2h

C．小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4h

D．小明去图书馆的速度比回家时的速度快

【分析】根据题意，首先分析出函数图象中每一部分所对应的实际意义，然后逐项分析即可．

【详解】根据题意可知，函数图象中，0-1h对应的实际意义是小明从家到图书馆的过程，走过的路程为3km，故A正确；

1-3h对应的实际意义是小明在图书馆阅读，即阅读时间为3-1=2h，故B正确；

3h后直到纵坐标为0，对应的实际意义为小明从图书馆回到家中，显然，这段时间不足1h，从而小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4h，故C正确；

显然，从图中可知小明去图书馆的速度为，回来时，路程同样是3km，但用时不足1h，则回来时的速度大于，即大于去时的速度，故D错误；

故选：D．

解答本考点的有关题目，关键在于准确分析题意，把握变量之间的函数关系，从而得出正确的函数图象. 注意以下要点：

（1）函数的图象；

（2）常量与变量；

（3）函数关系式.

1．（2021·海南）李叔叔开车上班，最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了几分钟，为了按时到单位，李叔叔在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶，则汽车行驶的路程y（千米）与行驶的时间t（小时）的函数关系的大致图象是（    ）

A． B． C． D．

【分析】根据“路程速度时间”可得与之间的函数关系式，再根据加完油后，加快了速度可得后面的一次函数的一次项系数更大，图象更陡，由此即可得．

【详解】

解：设最初的速度为千米/小时，加快了速度后的速度为千米/小时，则，

由题意得：最初以某一速度匀速行驶时，，

加油几分钟时，保持不变，

加完油后，，

，

函数的图象比函数的图象更陡，

观察四个选项可知，只有选项B符合，

故选：B．

2．（2021·湖南邵阳市）某天早晨7：00，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障，就地修车耽误了一段时间，修好车后继续骑行，7：30赶到了学校．图所示的函数图象反映了他骑车上学的整个过程．结合图象，判断下列结论正确的是（    ）

A．小明修车花了15min

B．小明家距离学校1100m

C．小明修好车后花了30min到达学校

D．小明修好车后骑行到学校的平均速度是3m/s

【分析】根据函数图像进行分析计算即可判断．

【详解】

解：根据图像7:05-7:20为修车时间20-5=15分钟，故A正确；

小明家距离学校2100m，故B错误；

小明修好车后花了30-20=10分钟到达学校，故C错误；

小明修好车后骑行到学校的平均速度是（2100-1000）÷600=m/s，故D错误；

故选：A．

3．（2021·四川资阳市）一对变量满足如图的函数关系．设计以下问题情境：

①小明从家骑车以600米/分的速度匀速骑了2.5分钟，在原地停留了2分钟，然后以1000米/分的速度匀速骑回家．设所用时间为x分钟，离家的距离为y千米；

②有一个容积为1.5升的开口空瓶，小张以0.6升/秒的速度匀速向这个空瓶注水，注满后停止，等2秒后，再以1升/秒的速度匀速倒空瓶中的水．设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y升；

③在矩形中，，点P从点A出发．沿路线运动至点A停止．设点P的运动路程为x，的面积为y．其中，符合图中函数关系的情境个数为（    ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【分析】由题意及函数图象可直接进行判断①②，③由题意作出图形，然后再根据矩形的性质、勾股定理及三角形面积计算公式可进行判断．

【详解】

解：①设所用时间为x分钟，离家的距离为y千米，

600×2.5=1500（米）=1.5千米，1500÷1000=1.5分钟，

∵4.5-2.5=2分钟，6-4.5=1.5分钟，

∴①符合该函数关系；

②设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y升，

∴0.6×2.5=1.5升，1.5÷1=1.5秒，

∴②符合该函数关系；

③如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，，

∴，

∴，

设点P的运动路程为x，的面积为y，

由题意可得当点P从点A运动到点C时，的面积逐渐增大，直到运动到点C时，达到最大，即为，

当点P在线段CD上运动时，的面积保持不变，此时x的范围为，

当点P在线段DA上时，则的面积逐渐减小，当点P与点A重合时，的面积为0，此时x=6，

∴③也符合该函数关系；

∴符合图中函数关系的情境个数为3个；

故选A．