专题09 倍长中线模型（解析版）

这是一份专题09 倍长中线模型（解析版），共42页。

专题09 倍长中线模型
倍长中线模型概述：当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移。
倍长中线模型模型：
【倍长中线】 已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE
1）连接EC,则∆ABD≌∆ECD，AB∥CE
2）连接BE,则∆ADC≌∆EDB，AC∥BE
证明：
∵点D为∆ABC中BC边中点
∴BD=DC
在∆ABD和∆ECD中
AD=ED
∠1=∠2 ∴∆ABD≌∆ECD（SAS） ∴∠ABD=∠ECD ∴AB∥CE
BD=DC
在∆ADC和∆EDB中
AD=ED
∠ADC=∠BDE ∴∆ADC≌∆EDB（SAS） ∴∠EBD=∠ACD ∴AC∥BE
BD=DC
【倍长类中线】已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段DF到点E使DF=DE,
连接EC，则∆BDF≌∆CDE
【基础过关练】
1．在中，，中线，则边的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长至，使，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围．
【详解】解：如图，延长至，使，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即
∴．
故选：B．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．“遇中线，加倍延”构造全等三角形是解题的关键．
2．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．证△ADC≌△EDB（SAS），可得BE＝AC＝2，再利用三角形的三边关系求出AE的范围即可解决问题．
【详解】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，

在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝2，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即2＜2AD＜6，
解得1＜AD＜3，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的全等判定和性质，三角形三边关系定理，熟练证明三角形的全等是解题的关键．
3．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，BC边上的中线AD＝4，则△ABC的面积为( 　)

A．30 B．24 C．20 D．48
【答案】B
【分析】延长AD到E，使DE=AD，连接CE，利用SAS得出△ADB与△EDC全等，得到AB=CE，利用勾股定理的逆定理得到△ACE为直角三角形，△ABC的面积等于△ACE的面积，利用三角形的面积公式即可得出结果．
【详解】解：延长AD到E，使DE=AD，连接CE，如图所示：
∵D为BC的中点，
∴DC=BD，
在△ADB与△EDC中， ，
∴△ADB≌△EDC（SAS），
∴CE=AB=6．
又∵AE=2AD=8，AB=CE=6，AC=10，
∴AC2=AE2+CE2，
∴∠E=90°，
则S△ABC=S△ACE=CE•AE=×6×8=24；
故选：B．

【点睛】本题考查的是勾股定理及逆定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4．如图，△ABC中，D是AB的中点，CD：AC：BC＝1：2：2，则∠BCD＝_____．

【答案】30°
【分析】利用“中线倍长法”构造全等三角形，进而得出等腰三角形，再通过作等腰三角形的高，依据锐角三角函数可求出答案．
【详解】解：延长CD到E，使DE＝CD，连接BE，过E点作EF⊥BC，垂足为F，
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
又∵∠ADC＝∠BDE，DE＝DC，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴AC＝BE，
∵CD：AC：BC＝1：2：2，
设CD＝m，则AC＝2m＝BE＝CE，
∴FC＝FB＝BC＝m，
在Rt△CEF中，cos∠FCE＝＝＝，
∴∠FCE＝30°，即∠BCD＝30°，
故答案为：30°．

【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质以及锐角三角函数等知识，理解直角三角形的边角关系是正确计算的前提．
5．如图，在中，是上一点，连接，已知，，是的中线．求证：．

【答案】见解析
【分析】延长至，使，连接．先证明．得到，，再利用外角性质及等式的性质得到，进而得到，最后即可得到．
【详解】证明：如图，延长至，使，连接．

∵是的中线，
∴．
在与中，
，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∵，，
，
∴．
在与中，
，
∴．
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
6．如图，在中，，是的中线，点D在的延长线上，连接，平分．

(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）由题意易得，，然后可得，进而问题可求证；
（2）延长到点F，使得，连接，易证，然后可得，进而可证，最后问题可求证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：延长到点F，使得，连接，如图所示：

∵是的中线，
∴，
∵，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴（AAS），
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键．
7．如图所示，为的角平分线，分别在上，，若．
求证：．

【答案】详见解析
【分析】延长FD至G，使，连结CG，可证，则EF=CG，利用全等三角形和角平分线以及平行线的性质可得 ，根据等角对等边得AC=CG，即可得出结论.
【详解】证明：延长FD至G，使，连结CG，

∵DC=DE，∠EDF=∠CDG，
∴，
，
，
，
又，
，
，
.
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是证△EDF 与△CDG 全等．
8．如图，已知，点是的中点，且，求证：．

【答案】证明见解析
【分析】延长AE、BC交于点M，利用AAS证出△ADE≌△MCE，从而得出AD=MC，AE=ME，结合已知条件即可证出BM=AB，再利用SSS即可证出△BAE≌△BME，从而得出∠BEA=∠BEM，根据垂直定义即可证出结论．
【详解】解：延长AE、BC交于点M，如下图所示

∵点是的中点，
∴DE=CE，
∵
∴∠1=∠M
在△ADE和△MCE中

∴△ADE≌△MCE
∴AD=MC，AE=ME
∵
∴MC＋BC=AB
∴BM=AB
在△BAE和△BME中

∴△BAE≌△BME
∴∠BEA=∠BEM
∵∠BEA＋∠BEM=180°
∴∠BEA=∠BEM=90°
∴
【点睛】此题考的是全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义，掌握全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义是解题关键．
【提高测试】
1．如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（    ）．

A．2 B． C． D．3
【答案】C
【分析】延长BE交CD延长线于P，可证△AEB≌△CEP，求出DP，根据勾股定理求出BP的长，从而求出BM的长．
【详解】解：延长BE交CD延长线于P，
∵AB∥CD，
∴∠EAB＝∠ECP，
在△AEB和△CEP中，

∴△AEB≌△CEP（ASA）
∴BE＝PE，CP＝AB＝5
又∵CD＝3，
∴PD=2，
∵
∴
∴BE＝BP＝．
故选：C．

【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股定理求出BP．
2．如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为　　

A． B． C． D．以上都有可能
【答案】C
【分析】如图，延长ED到T，使得DT＝DE，连接CT，TF，证明△EDB≌△TDC（SAS），推出BE＝CT，由CT＋CF＞FT，可得BE＋CF＞EF．
【详解】解：如图，延长到，使得，连接，．

，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
3．在中，，于点，点为的中点，若，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAE≌△CFE，所以NE＝CE，NA＝CF，再由已知条件CD⊥AB于D，∠ADE＝50°，即可求出∠B的度数．
【详解】解：连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，

∵四边形ABCF是平行四边形，
∴AB∥CF，AB＝CF，
∴∠NAE＝∠F，
∵点E是的AF中点，
∴AE＝FE，
在△NAE和△CFE中，
，
∴△NAE≌△CFE（ASA），
∴NE＝CE，NA＝CF，
∵AB＝CF，
∴NA＝AB，即BN＝2AB，
∵BC＝2AB，
∴BC＝BN，∠N＝∠NCB，
∵CD⊥AB于D，即∠NDC＝90°且NE＝CE，
∴DE＝NC＝NE，
∴∠N＝∠NDE＝50°＝∠NCB，
∴∠B＝80°．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答．
4．如图，在等腰直角三角形中，，F为边的中点，点D，E分别在边上运动，且保持，连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形的面积保持不变；③．其中正确的是（    ）

A．①②③ B．① C．② D．①②
【答案】A
【分析】连接，利用SAS可证，从而得出，从而求出，即可判断①；根据全等三角形的性质可得，从而得出四边形的面积为，从而判断②；延长到G使，连接，证出和，最后根据三角形的三边关系即可判断③．
【详解】解：如图，连接．
∵，F为的中点，
∴，．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．①正确．
∵，
∴，
∴四边形的面积为．
∵，
∴四边形的面积为16，为定值．②正确．
延长到G使，连接．
∵，，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在中，
∵，
∴．③正确．
①②③均正确，
故选A．

【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定和三角形的三边关系，掌握构造全等三角形的方法是解决的关键．
5．如图，在平行四边形中，，为上一点，为的中点，则下列结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质可以得到，且为的中点，所以,由此可判断选项；再结合平行线的性质可以得到，由此可判断选项；同时延长和交于点， 可以证得，所以,由此可以判断选项；由于，所以，由此可以判断选项；
【详解】四边形是平行四边形


由于条件不足，所以无法证明,故选项错误；





故选项错误；
同时延长和交于点


在和 中：


由于条件不足，并不能证明，故选项错误；


为的中点

故选项正确；
故选：D.

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，根据题意作出相应的辅助线是求解本题的关键.
6．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△CEF的面积为12cm2，则S△DGF的值为（    ）

A．4cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．9cm2
【答案】A
【分析】取CG的中点H，连接EH，根据三角形的中位线定理可得EH//AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠GDF=∠HEF，然后利用“角边角”证明△DFG和△EFH全等，根据全等三角形对应边相等可得FG=FH，全等三角形的面积相等可得S△EFH=S△DGF，再求出FC=3FH，再根据等高的三角形的面积比等于底边的比求出两三角形的面积的比，从而得解．
【详解】解：如图，取CG的中点H，连接EH，

∵E是AC的中点，
∴EH是△ACG的中位线，
∴EH//AD，
∴∠GDF=∠HEF，
∵F是DE的中点，
∴DF=EF，
在△DFG和△EFH中，
，
∴△DFG≌△EFH（ASA），
∴FG=FH，S△EFH=S△DGF，
又∵FC=FH+HC=FH+GH=FH+FG+FH=3FH，
∴S△CEF=3S△EFH，
∴S△CEF=3S△DGF，
∴S△DGF=×12=4（cm2）．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、平行线性质．利用倍长类中线构造全等三角形转换面积和线段关系是解题关键．
7．如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为____________．

【答案】2.4
【分析】延长到点，使，首先证明，然后得到，，然后根据等腰三角形的性质得到，然后根据线段的和差求解即可．
【详解】如解图，延长到点，使，

∵为边的中线，
∴
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴
∴．
故答案为：2.4．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．
8．如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，则∠ACB＝_____．

【答案】100°##100度
【分析】延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，证△BDM≌△CDA（SAS），得得到BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝24°，∠C＝∠DBM，再证△BFM是等腰三角形，求出∠MBF的度数，即可解决问题．
【详解】解：如图，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，

在△BDM和△CDA中，
，
∴△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝24°，∠C＝∠DBM，
∵BF＝AC，
∴BF＝BM，
∴∠M＝∠BFM＝24°，
∴∠MBF＝180°﹣∠M﹣∠BFM＝132°，
∵∠EBC＝32°，
∴∠DBM＝∠MBF﹣∠EBC＝100°，
∴∠C＝∠DBM＝100°，
故答案为：100°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则______________．

【答案】##
【分析】如图，延长至F，使得，交于点G，通过“边角边”证明，则，根据题意与三角形的外角性质可得，进而可得，设，根据题意得到关于x的方程，然后求解方程即可．
【详解】解：如图，延长至F，使得，交于点G，

∵点E是的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，  
设，
∵，
∴，
解得，
即．
故答案为：
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，根据中点作出适当的辅助线．
10．如图，，，，，点M为的中点，，______．

【答案】6
【分析】延长至N，使，连接，证明，推出，，求出，再证明即可．
【详解】证明：延长AM至N，使，连接，

∵点M为的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，主要考查学生的推理能力，延长至N，使，再证即可，这就是“倍长中线”，实质是“补短法”．
11．如图，中，，，，为边的中点，则 ______．

【答案】
【分析】由“”可证≌，可得，，可得，由勾股定理的逆定理可求为直角三角形，即可求解．
【详解】解：延长到使，连接，如图所示：

在和中，
，
≌，
，，
，
在中，，
为直角三角形，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定、勾股定理的逆定理的应用，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
12．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝__．

【答案】4
【分析】延长AE，BC交于点G，判定△ADE≌△GCE，即可得出CG＝AD＝5，AE＝GE，再根据三线合一即可得到FE⊥AG，进而得出Rt△AEF中，EF＝AF＝4．
【详解】解：如图，延长AE，BC交于点G，

∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠D＝∠ECG，
又∵∠AED＝∠GEC，
∴△ADE≌△GCE，
∴CG＝AD＝5，AE＝GE，
又∵AE平分∠FAD，AD∥BC，
∴∠FAE＝∠DAE＝∠G＝∠DAF＝30°，
∴AF＝GF＝3+5＝8，
又∵E是AG的中点，
∴FE⊥AG，
在Rt△AEF中，∠FAE＝30°，
∴EF＝AF＝4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推算．
13．（1）如图1，在ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是　 　；
（2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE＋CF＞EF；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B＋∠ADC＝180°，DA＝DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF＝∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明．

【答案】（1）1＜AD＜5；（2）见解析；（3）AF+EC=EF，见解析
【分析】（1）证明，推出CE=AB=4，在中，利用三角形的三边关系解决问题即可．
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接DH，FH．证明，推出BE=CH，再证明EF=FH，利用三角形的三边关系即可解决问题．
（3）结论：AF+EC=EF．延长BC到H，使得CH=AF．提供两次全等证明AF=CE，EF=EH即可解决问题．
【详解】（1）∵CD=BD，AD=DE，∠CDE=∠ADB，
∴(SAS)，
∴EC=AB=4，
∵6﹣4＜AE＜6+4，
∴2＜2AD＜10，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接DH，FH．

∵BD=DC，∠BDE=∠CDH，DE=DH，
∴(SAS)，
∴BE=CH，
∵FD⊥EH，又DE=DH，
∴EF=FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，
∵CH=BE，FH=EF，
∴BE+CF＞EF；
（3）结论：AF+EC=EF．理由：延长BC到H，使得CH=AF．
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠DCH+∠BCD=180°，
∴∠A=∠DCH，
∵AF=CH，AD=CD，
∴(SAS)，
∴DF=DH，∠ADF=∠CDH，
∴∠ADC=∠FDH，
∵∠EDF= ∠ADC，
∴∠EDF=∠FDH，
∴∠EDF=∠EDH，
∵DE=DE，
∴(SAS)，
∴EF=EH，
∵EH=EC+CH=EC+AF，
∴EF=AF+EC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
14．已知：如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AB上一点，F是AC上一点．若∠EDF＝90°，且BE2＋FC2＝EF2，求证：∠BAC＝90°．

【答案】见解析
【分析】延长FD到G使DG＝DF，连接BG，EG，先证明△BDG≌△CDF（SAS）得BG＝FC，∠GBD＝∠C，从而有，DG＝DF，又由勾股定理的逆定理得，再利用平行线的性质即可证明结论成立．
【详解】证明：如图，延长FD到G使DG＝DF，连接BG，EG，

∵D为BC中点，
∴BD＝CD，
∵在△BDG和△CDF中，
，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴BG＝FC，∠GBD＝∠C，
∴，DG＝DF，
∵ED⊥DF，
∴EG＝EF，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定及性质、三角形全等的判定及性质以及勾股定理的逆定理，熟练掌握三角形全等的判定及性质以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
15．已知：如图，在中，，为的中点，、分别在、上，且于.求证：.

【答案】详见解析
【分析】通过倍长线段，将、、转化到中，再证为直角三角形.
【详解】延长至，使，连结、，
，，
，
，，
，
，，
，
又，，
，
.

【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键.
16．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．
（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；
【分析】（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F， AB＝CD；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，△BEF≌△CEG
△BAF≌△CDG，AB＝CD；
（2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，则∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD；
【详解】（1）①如图1，

延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，
∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，
在△BEF和△CED中，
，
∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，
∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，
∴AB＝BF，∴AB＝CD；
②如图2，

分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，
∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，
∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，
在△BEF和△CEG中，
，
∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG，
在△BAF和△CDG中，
，
∴△BAF≌△CDG（AAS），
∴AB＝CD；
（2）如图3，

过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，
则∠BAE＝∠EMC，
∵E是BC中点，
∴BE＝CE，
在△BAE和△CME中，
，
∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F，
∵∠BAE＝∠EDC，
∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
17．如图，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE．

（1）依题意补全图形；
（2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明．
【答案】（1）见解析；（2），见解析
【分析】（1）直接延长CB到点E，使BE=BD即可；
（2）延长至点，使得，连接，可证得，则，再通过证明，可得到，从而得到即可．
【详解】（1）如图所示：

（2）如图，

判断：
证明如下：
延长至点，使得，连接
在和中，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵AD平分∠BAC
∴
在和中，
∵
∴
∴
又∵
∴
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，主要涉及倍长中线的模型，熟记基本模型是解题关键．
18．如图，已知AD是的中线，过点B作BE⊥AD，垂足为E．若BE=6，求点C到AD的距离．

【答案】6
【分析】延长AD，过点C作于点F，证明，再根据全等三角形的性质得到．
【详解】解：如图，延长AD，过点C作于点F，
∵AD是的中线，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即点C到AD的距离是6．

【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是利用倍长中线的方法做辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求解．
19．问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝4，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，则得到△ADC≌△EDB，小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：　 （用字母表示）；
问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；

拓展应用：以△ABC的边AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中点，连接AM，DE．当AM＝3时，求DE的长．
【答案】问题背景： SAS；问题解决：完整过程见解析；拓展应用： DE＝6．
【分析】问题背景：先判断出BD=CD，由对顶角相等∠BDE=∠CDA，进而得出△ADC≌△EDB（SAS）；
问题解决：先证明△ADC≌△EDB（SAS），得出BE=AC=3，最后用三角形三边关系即可得出结论；
拓展应用：如图2，延长AM到N，使得MN=AM，连接BN，同（1）的方法得出△BMN≌△CMA（SAS），则BN=AC，进而判断出∠ABN=∠EAD，进而判断出△ABN≌△EAD，得出AN=ED，即可求解．
【详解】问题背景：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，

∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：SAS；
问题解决：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC≌△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∵AB＝4，AC＝3，
∴4﹣3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，
∵DE＝AD，
∴AD＝AE，
∴＜AD＜；
拓展应用：如图2，延长AM到N，使得MN＝AM，连接BN，

由问题背景知，△BMN≌△CMA（SAS），
∴BN＝AC，∠CAM＝∠BNM，
∴AC//BN，
∵AC＝AD，
∴BN＝AD，
∵AC//BN，
∴∠BAC+∠ABN＝180°，
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD＝180°，
∴∠ABN＝∠EAD，
在△ABN和△EAD中，
，
∴△ABN≌△EAD（SAS），
∴AN＝DE，
∵MN＝AM，
∴DE＝AN＝2AM，
∵AM＝3，
∴DE＝6．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，补角的性质，掌握倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键．
20．如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，DE=2AM，点M为BC的中点，连接AM．求证：AD⊥AC

【答案】见解析
【分析】延长AM至N，使MN=AM，证△AMC≌△NMB，推出AC=BN=AD，ED=AN，证△EAD≌△ABN，得到∠EAD+∠BAC=180°，即可证明AD⊥AC．
【详解】延长AM至N，使MN=AM，连接BN，

∵点M为BC的中点，
∴CM=BM，
在△AMC和△NMB中，
，
∴△AMC≌△NMB（SAS），
∴AC=BN，∠C=∠NBM，∠CAM=∠N，
∵DE=2AM，AD=AC，
∴DE= AN，AD= BN，
在△EAD和△ABN中，
，
∴△EAD≌△ABN（SSS），
∴∠EAD=∠ABN，
∴∠EAD+∠BAC=∠EAD+∠BAN+∠CAM=∠ABN+∠BAN+∠N=180，
∵AB⊥AE，
∴∠EAB=90°，
∴∠DAC=360°-∠EAB-(∠EAD+∠BAC)= 90°，
∴AD⊥AC．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，延长AM至N，使MN=AM，利用“中线倍长”构造全等三角形的是解题的关键．
21．如图，，，，点为的中点，求证：.

【答案】详见解析
【分析】如图，延长AF至G，使，连结EG，证明，从而可得，，继而得，再证明，可得AG=BC，继而可得结论.
【详解】如图，延长AF至G，使，连结EG，
又，，
，
，.
，
，
，
，
，
又，，
，
，，
即.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据倍长中线正确添加辅助线是解题的关键.
22．如图，分别以的边向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG，若O为EG的中点，

求证：（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.
【分析】（1）如图，延长AO到M，使OM=AO，连接GM，延长OA交BC于点H．根据全等三角形的性质得到AE=MG，∠MGO=∠AEO，根据三角形的内角和得到∠MGA+∠GAE=180°，根据正方形的性质得到AG=AB，AE=AC，∠BAG=∠CAE=90°，根据全等三角形的性质得到AM=BC，等量代换即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠M=∠EAO，∠M=∠ACB，等量代换得到∠EAO=∠ACB，求得∠AHC=90°，根据垂直的定义即可得到结论．
【详解】解：（1）如图，延长AO到M，使OM=AO，连接GM，延长OA交BC于点H．

∵O为EG的中点，
∴OG=OE，
在△AOE与△MOG中，，
∴△AOE≌△MOG（SAS），
∴AE=MG，∠MGO=∠AEO，
∴∠MGA+∠GAE=180°，
∵四边形ABFG和四边形ACDE是正方形，
∴AG=AB，AE=AC，∠BAG=∠CAE=90°，
∴AC=GM，∠GAE+∠BAC=180°，
∴∠BAC=∠AGM，
在△AGM与△ABC中，，
∴△AGM≌△ABC（SAS），
∴AM=BC，
∵AM=2AO，
∴；
（2）由（1）知，△AOE≌△MOG，△AGM≌△ABC，
∴∠M=∠EAO，∠M=∠ACB，
∴∠EAO=∠ACB，
∵∠CAE=90°，
∴∠OAE=∠CAH=90°，
∴∠ACB+∠CAH=90°，
∴∠AHC=90°，
∴AH⊥BC．
即.
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．