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2024年中考数学专题训练 专题09 倍长中线模型综合应用（知识解读）
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这是一份2024年中考数学专题训练 专题09 倍长中线模型综合应用（知识解读），共16页。
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
【方法技巧】
类型一：直接倍长中线
△ABC中AD是BC边中线
方式1： 延长AD到E，使DE=AD，连接BE
类型二：间接倍长中线
作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E连接BE 。
延长MD到N， 使DN=MD，连接CN
【典例分析】
【典例1】如图，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，a，b均大于0，中线AD＝c，求c的取值范围．
【典例2】已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．
【典例3】如图，△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF．
【变式1】如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝5，点D为BC的中点，且AD⊥AC，则△ABC的周长为 ．
【变式2】如图，在△ABC中，点E是AB边的中点，D是BC延长线上一点，连接DE交AC于点F，且AF＝BD，若BD＝3，AC＝5，则CD的长为 ．
【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，E是AB边上一点，DF⊥DE交AC于点F，连接EF，若BE＝2，CF＝，则EF的长为 ．
【变式4】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝9，点E为AB的中点，点F在BC上，且BF＝2FC，AF与DE，DB分别交于点G，H，求GH的长．
【变式5】如图，四边形ABCD为平行四边形，点E，F分别为BC，AB上的点，且点F为AB的中点，连接DF，DE．
（1）如图①，若DF平分∠ADE，求证：AD+BE＝DE；
（2）如图②，若四边形ABCD是边长为4的正方形，当ED平分∠FDC时，求EC的长．
【变式6】阅读下面材料，并按要求完成相应的任务．
如图①，圆内接四边形的对角线AC⊥BD，垂足为G，过点G作AD的垂线，垂足为E，延长EG交BC于点F，则点F为BC的中点．
下而是部分证明过程：
∵AC⊥BD，EF⊥AD，
∴∠EGD+∠FGC＝90°，∠EGD+∠EDG＝90°，
∴∠EDG＝∠FGC．
∵∠ADB＝∠ACB，
…
任务一：请将上述过程补充完整；
任务二：如图②，在△ABC中，把边AC绕点C顺时针旋转90°得到DC，把边BC绕点C逆时针旋转90°得到EC．连接DE，取AB的中点M，连接MC并延长交DE于点N．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若AC＝4，AB＝6，∠CAB＝30°，求DE的长．
专题09 倍长中线模型综合应用（知识解读）
【专题说明】
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
【方法技巧】
类型一：直接倍长中线
△ABC中AD是BC边中线
方式1： 延长AD到E，使DE=AD，连接BE
类型二：间接倍长中线
作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E连接BE 。
延长MD到N， 使DN=MD，连接CN
【典例分析】
【典例1】如图，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，a，b均大于0，中线AD＝c，求c的取值范围．
【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝b，
在△AEB中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即a﹣b＜2AD＜a+b，
∴＜c＜．
【典例2】已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．
【解答】证明：如图，延长AD到点G，使得AD＝DG，连接BG．
∵AD是BC边上的中线（已知），
∴DC＝DB，
在△ADC和△GDB中，
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴∠CAD＝∠G，BG＝AC
又∵BE＝AC，
∴BE＝BG，
∴∠BED＝∠G，
∵∠BED＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠CAD，
即：∠AEF＝∠FAE，
∴AF＝EF．
【典例3】如图，△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF．
【解答】证明：如图，延长ED使得DM＝DE，连接FM，CM．
∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDM，DE＝DM，
∴△BDE≌△CDM（SAS），
∴BE＝CM，
∵DE＝DM，DF⊥EM，
∴FE＝FM，
∵CM+CF＞FM，
∴BE+CF＞EF．
【变式1】如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝5，点D为BC的中点，且AD⊥AC，则△ABC的周长为 ．
【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∵∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝3，∠DAC＝∠E，
∵AD⊥AC，
∴∠DAC＝90°，
∴∠E＝90°，
∴AE＝＝＝4，
∴AD＝DE＝2，
∴BD＝＝＝，
∴BC＝2BD＝2，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝5+3+2＝8+2．
故答案为：8+2．
【变式2】如图，在△ABC中，点E是AB边的中点，D是BC延长线上一点，连接DE交AC于点F，且AF＝BD，若BD＝3，AC＝5，则CD的长为 ．
【解答】解：延长DE至H，使EH＝DE，连接AH，
∵AF＝BD，BD＝3，AC＝5，
∴CF＝AC﹣AF＝5﹣3＝2，
在△BED和△AEH中，
，
∴△BED≌△AEH（SAS），
∴AH＝BD，∠D＝∠H，
∵AF＝BD，
∴AH＝AF，
∴∠AFH＝∠H，
∴∠CFD＝∠D，
∴CD＝CF＝2，
故答案为：2．
【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，E是AB边上一点，DF⊥DE交AC于点F，连接EF，若BE＝2，CF＝，则EF的长为 ．
【解答】解：如图，延长FD到G使GD＝DF，连接GE，BG，
在△BDG和△CDF中，
，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴BG＝CF＝，∠GBD＝∠C，
∴BG∥CA，
∴∠EBG＝∠A＝90°，
∵BE＝2，
∴EG＝＝＝，
∵DF⊥DE，DF＝DG，
∴EF＝EG＝，
故答案为：．
【变式4】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝9，点E为AB的中点，点F在BC上，且BF＝2FC，AF与DE，DB分别交于点G，H，求GH的长．
【解答】解：如图，过点F作FM⊥AD于M，交ED于O，
则FM＝AB＝8，
∵BF＝2FC，BC＝9，
∴BF＝AM＝6，FC＝MD＝3，
∴AF＝＝＝10，
∵OM∥AE，
∴，
∵点E为AB的中点，
∴OM＝，
∴OF＝FM﹣OM＝8﹣＝，
∵AE∥FO，
∴△AGE∽△FGO，
∴＝，
∴AG＝＝，
∴GH=10-4-=
【变式5】如图，四边形ABCD为平行四边形，点E，F分别为BC，AB上的点，且点F为AB的中点，连接DF，DE．
（1）如图①，若DF平分∠ADE，求证：AD+BE＝DE；
（2）如图②，若四边形ABCD是边长为4的正方形，当ED平分∠FDC时，求EC的长．
【解答】（1）证明：延长DF，CB交于G，如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠ADG＝∠G，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADG＝∠EDG，
∴∠G＝∠EDG，
∴DE＝GE＝GB+BE，
∵F是AB中点，
∴AF＝BF，
在△ADF和△BGF中，
，
∴△ADF≌△BGF（AAS），
∴AD＝GB，
∴DE＝AD+BE；
（2）解：延长AB，DE交于H，如图：
∵四边形ABCD是边长为4的正方形，点F为AB的中点，
∴DF＝＝＝2，AB∥CD，
∴∠CDE＝∠H，
∵ED平分∠FDC，
∴∠CDE＝∠FDE，
∴∠FDE＝∠H，
∴FH＝DF＝2，
∴BH＝FH﹣BF＝2﹣2，
∵∠C＝90°＝∠HBE，∠DEC＝∠HEB，
∴△DCE∽△HBE，
∴＝，即＝，
解得CE＝2﹣2．
∴EC的长为2﹣2．
【变式6】阅读下面材料，并按要求完成相应的任务．
如图①，圆内接四边形的对角线AC⊥BD，垂足为G，过点G作AD的垂线，垂足为E，延长EG交BC于点F，则点F为BC的中点．
下而是部分证明过程：
∵AC⊥BD，EF⊥AD，
∴∠EGD+∠FGC＝90°，∠EGD+∠EDG＝90°，
∴∠EDG＝∠FGC．
∵∠ADB＝∠ACB，
…
任务一：请将上述过程补充完整；
任务二：如图②，在△ABC中，把边AC绕点C顺时针旋转90°得到DC，把边BC绕点C逆时针旋转90°得到EC．连接DE，取AB的中点M，连接MC并延长交DE于点N．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若AC＝4，AB＝6，∠CAB＝30°，求DE的长．
【解答】解：任务一：∵AC⊥BD，EF⊥AD，
∴∠EGD+∠FGC＝90°，∠EGD+∠EDG＝
∴∠EDG＝∠FGC．
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠CGF，
∴CF＝FD，
同理BF＝FG，
∴BF＝CF，
∴点F为BC的中点；
任务二：（1）证明：延长CM到F使MF＝CM，
∵AM＝MB，
∴ACBF是平行四边形，
∴AF＝BC＝CE，AF∥BC，
∴∠CAF+∠ACB＝180°，
∠DCE+∠ACB＝180°，
∴∠CAF＝∠DCE，
∵DC＝AC，
∴△DCE≌△CAF（SAS），
∴∠D＝∠ACF，
∵∠ACF+∠DCN＝90°，
∴∠D+∠DCN＝90°，
∴∠DNC＝90°，
∴MN⊥DE；
（2）解：作CG⊥AB于G，
∵∠CAB＝30，AC＝4，
∴CG＝2，AG＝2，
∵AM＝AB＝3，
∴GM＝，
∵CM2＝CG2+GM2，
∴CM2＝22+（）2，
∴CM＝，
∵△DCE≌△CAF，
∴DE＝CF＝2．
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
【方法技巧】
类型一：直接倍长中线
△ABC中AD是BC边中线
方式1： 延长AD到E，使DE=AD，连接BE
类型二：间接倍长中线
作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E连接BE 。
延长MD到N， 使DN=MD，连接CN
【典例分析】
【典例1】如图，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，a，b均大于0，中线AD＝c，求c的取值范围．
【典例2】已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．
【典例3】如图，△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF．
【变式1】如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝5，点D为BC的中点，且AD⊥AC，则△ABC的周长为 ．
【变式2】如图，在△ABC中，点E是AB边的中点，D是BC延长线上一点，连接DE交AC于点F，且AF＝BD，若BD＝3，AC＝5，则CD的长为 ．
【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，E是AB边上一点，DF⊥DE交AC于点F，连接EF，若BE＝2，CF＝，则EF的长为 ．
【变式4】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝9，点E为AB的中点，点F在BC上，且BF＝2FC，AF与DE，DB分别交于点G，H，求GH的长．
【变式5】如图，四边形ABCD为平行四边形，点E，F分别为BC，AB上的点，且点F为AB的中点，连接DF，DE．
（1）如图①，若DF平分∠ADE，求证：AD+BE＝DE；
（2）如图②，若四边形ABCD是边长为4的正方形，当ED平分∠FDC时，求EC的长．
【变式6】阅读下面材料，并按要求完成相应的任务．
如图①，圆内接四边形的对角线AC⊥BD，垂足为G，过点G作AD的垂线，垂足为E，延长EG交BC于点F，则点F为BC的中点．
下而是部分证明过程：
∵AC⊥BD，EF⊥AD，
∴∠EGD+∠FGC＝90°，∠EGD+∠EDG＝90°，
∴∠EDG＝∠FGC．
∵∠ADB＝∠ACB，
…
任务一：请将上述过程补充完整；
任务二：如图②，在△ABC中，把边AC绕点C顺时针旋转90°得到DC，把边BC绕点C逆时针旋转90°得到EC．连接DE，取AB的中点M，连接MC并延长交DE于点N．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若AC＝4，AB＝6，∠CAB＝30°，求DE的长．
专题09 倍长中线模型综合应用（知识解读）
【专题说明】
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
【方法技巧】
类型一：直接倍长中线
△ABC中AD是BC边中线
方式1： 延长AD到E，使DE=AD，连接BE
类型二：间接倍长中线
作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E连接BE 。
延长MD到N， 使DN=MD，连接CN
【典例分析】
【典例1】如图，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，a，b均大于0，中线AD＝c，求c的取值范围．
【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝b，
在△AEB中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即a﹣b＜2AD＜a+b，
∴＜c＜．
【典例2】已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．
【解答】证明：如图，延长AD到点G，使得AD＝DG，连接BG．
∵AD是BC边上的中线（已知），
∴DC＝DB，
在△ADC和△GDB中，
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴∠CAD＝∠G，BG＝AC
又∵BE＝AC，
∴BE＝BG，
∴∠BED＝∠G，
∵∠BED＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠CAD，
即：∠AEF＝∠FAE，
∴AF＝EF．
【典例3】如图，△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF．
【解答】证明：如图，延长ED使得DM＝DE，连接FM，CM．
∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDM，DE＝DM，
∴△BDE≌△CDM（SAS），
∴BE＝CM，
∵DE＝DM，DF⊥EM，
∴FE＝FM，
∵CM+CF＞FM，
∴BE+CF＞EF．
【变式1】如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝5，点D为BC的中点，且AD⊥AC，则△ABC的周长为 ．
【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∵∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝3，∠DAC＝∠E，
∵AD⊥AC，
∴∠DAC＝90°，
∴∠E＝90°，
∴AE＝＝＝4，
∴AD＝DE＝2，
∴BD＝＝＝，
∴BC＝2BD＝2，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝5+3+2＝8+2．
故答案为：8+2．
【变式2】如图，在△ABC中，点E是AB边的中点，D是BC延长线上一点，连接DE交AC于点F，且AF＝BD，若BD＝3，AC＝5，则CD的长为 ．
【解答】解：延长DE至H，使EH＝DE，连接AH，
∵AF＝BD，BD＝3，AC＝5，
∴CF＝AC﹣AF＝5﹣3＝2，
在△BED和△AEH中，
，
∴△BED≌△AEH（SAS），
∴AH＝BD，∠D＝∠H，
∵AF＝BD，
∴AH＝AF，
∴∠AFH＝∠H，
∴∠CFD＝∠D，
∴CD＝CF＝2，
故答案为：2．
【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，E是AB边上一点，DF⊥DE交AC于点F，连接EF，若BE＝2，CF＝，则EF的长为 ．
【解答】解：如图，延长FD到G使GD＝DF，连接GE，BG，
在△BDG和△CDF中，
，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴BG＝CF＝，∠GBD＝∠C，
∴BG∥CA，
∴∠EBG＝∠A＝90°，
∵BE＝2，
∴EG＝＝＝，
∵DF⊥DE，DF＝DG，
∴EF＝EG＝，
故答案为：．
【变式4】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝9，点E为AB的中点，点F在BC上，且BF＝2FC，AF与DE，DB分别交于点G，H，求GH的长．
【解答】解：如图，过点F作FM⊥AD于M，交ED于O，
则FM＝AB＝8，
∵BF＝2FC，BC＝9，
∴BF＝AM＝6，FC＝MD＝3，
∴AF＝＝＝10，
∵OM∥AE，
∴，
∵点E为AB的中点，
∴OM＝，
∴OF＝FM﹣OM＝8﹣＝，
∵AE∥FO，
∴△AGE∽△FGO，
∴＝，
∴AG＝＝，
∴GH=10-4-=
【变式5】如图，四边形ABCD为平行四边形，点E，F分别为BC，AB上的点，且点F为AB的中点，连接DF，DE．
（1）如图①，若DF平分∠ADE，求证：AD+BE＝DE；
（2）如图②，若四边形ABCD是边长为4的正方形，当ED平分∠FDC时，求EC的长．
【解答】（1）证明：延长DF，CB交于G，如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠ADG＝∠G，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADG＝∠EDG，
∴∠G＝∠EDG，
∴DE＝GE＝GB+BE，
∵F是AB中点，
∴AF＝BF，
在△ADF和△BGF中，
，
∴△ADF≌△BGF（AAS），
∴AD＝GB，
∴DE＝AD+BE；
（2）解：延长AB，DE交于H，如图：
∵四边形ABCD是边长为4的正方形，点F为AB的中点，
∴DF＝＝＝2，AB∥CD，
∴∠CDE＝∠H，
∵ED平分∠FDC，
∴∠CDE＝∠FDE，
∴∠FDE＝∠H，
∴FH＝DF＝2，
∴BH＝FH﹣BF＝2﹣2，
∵∠C＝90°＝∠HBE，∠DEC＝∠HEB，
∴△DCE∽△HBE，
∴＝，即＝，
解得CE＝2﹣2．
∴EC的长为2﹣2．
【变式6】阅读下面材料，并按要求完成相应的任务．
如图①，圆内接四边形的对角线AC⊥BD，垂足为G，过点G作AD的垂线，垂足为E，延长EG交BC于点F，则点F为BC的中点．
下而是部分证明过程：
∵AC⊥BD，EF⊥AD，
∴∠EGD+∠FGC＝90°，∠EGD+∠EDG＝90°，
∴∠EDG＝∠FGC．
∵∠ADB＝∠ACB，
…
任务一：请将上述过程补充完整；
任务二：如图②，在△ABC中，把边AC绕点C顺时针旋转90°得到DC，把边BC绕点C逆时针旋转90°得到EC．连接DE，取AB的中点M，连接MC并延长交DE于点N．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若AC＝4，AB＝6，∠CAB＝30°，求DE的长．
【解答】解：任务一：∵AC⊥BD，EF⊥AD，
∴∠EGD+∠FGC＝90°，∠EGD+∠EDG＝
∴∠EDG＝∠FGC．
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠CGF，
∴CF＝FD，
同理BF＝FG，
∴BF＝CF，
∴点F为BC的中点；
任务二：（1）证明：延长CM到F使MF＝CM，
∵AM＝MB，
∴ACBF是平行四边形，
∴AF＝BC＝CE，AF∥BC，
∴∠CAF+∠ACB＝180°，
∠DCE+∠ACB＝180°，
∴∠CAF＝∠DCE，
∵DC＝AC，
∴△DCE≌△CAF（SAS），
∴∠D＝∠ACF，
∵∠ACF+∠DCN＝90°，
∴∠D+∠DCN＝90°，
∴∠DNC＝90°，
∴MN⊥DE；
（2）解：作CG⊥AB于G，
∵∠CAB＝30，AC＝4，
∴CG＝2，AG＝2，
∵AM＝AB＝3，
∴GM＝，
∵CM2＝CG2+GM2，
∴CM2＝22+（）2，
∴CM＝，
∵△DCE≌△CAF，
∴DE＝CF＝2．
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