2023高考数学复习专项训练《两条直线的交点坐标》

2023高考数学复习专项训练《两条直线的交点坐标》

一 、单选题（本大题共13小题，共65分）

1.（5分）函数的图象如图所示，在区间上可找到，且个不同的数，，，，使得，则的取值范围是 
 
 

A.  B.  C.  D.

2.（5分）若直线：与直线的交点位于第二象限，则直线的倾斜角的取值范围是

A.  B.
C.  D.

3.（5分）直线：与：交点的坐标为

A.  B.  C.  D.

4.（5分）过直线x+y=9和2x-y=18的交点且与直线3x-2y+8=0平行的直线的方程为（  ）

A. 3x-2y=0
B. 3x-2y+9=0
C. 3x-2y+18=0
D. 3x-2y-27=0

5.（5分）经过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是

A.  B.
C.  D.

6.（5分）直线l1：2x-y-10=0与直线l2：3x+4y-4=0的交点坐标是（  ）

A. （-4，2） B. （4，-2） C. （-2，4） D. （2，-4）

7.（5分）  已知点 ，直线 方程为 ，且与线段 相交，求直线 的斜率 的取值范围为

A.                  
B.              
C.                       
D. 

8.（5分）经过两条直线和的交点，并且与直线平行的直线方程为

A.  B.
C.  D.

9.（5分）已知，，，则垂心的坐标为

A.  B.  C.  D.

10.（5分）经过两直线和的交点，且和原点相距为的直线的条数为

A.  B.  C.  D.

11.（5分）瑞士数学家欧拉年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是

A.  B.
C.  D.

12.（5分）三条直线，，共有两个交点，则的值是

A.  B.  C. 或 D. 或

13.（5分）直线和直线的交点的坐标是

A.  B.
C.  D.

二 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，若，则点的坐标为______．

15.（5分）过直线与直线的交点，且与直线垂直的直线方程是______．

16.（5分）已知三条直线：，：，：相交于同一点，则实数的值是________.

17.（5分）已知三条直线，，不可能构成三角形，则的取值集合为______．

18.（5分）已知圆和过原点的直线的交点为则的值为__________. 
 

三 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）求经过直线与直线的交点，且平行于直线的直线方程．

20.（12分）求过直线和的交点，斜率为 的直线方程；  
过点的直线的倾斜角是直线：的倾斜角的倍，求直线的方程．

21.（12分）已知的两条高线所在直线的方程为和，顶点，

求：边所在直线的方程；

求三角形的面积．

22.（12分）如图，在平面直角坐标系中，第一象限内有定点和射线，已知，的倾斜角分别为，，，，，轴上的动点与，共线． 
 

求点坐标用表示；

求面积关于的表达式；求面积的最小时直线的方程．

23.（12分）已知直线与相交于点，求满足下列条件的直线方程： 
过点且过原点的直线方程； 
过点且平行于直线的直线方程．

答案和解析

1.【答案】B;

【解析】 
此题主要考查图象的应用和两条直线的交点坐标，是中档题解：设，则的图象与直线的交点的坐标满足题中等式由题图易知交 
点可以有个，个，个，个或个，又且，故的取值可以是，， 

 

2.【答案】B;

【解析】解：联立两直线方程得：， 
解得：，， 
所以两直线的交点坐标为， 
因为两直线的交点在第二象限，所以得到， 
解得：， 
设直线的倾斜角为，则，所以 
故选： 
求出直线的交点坐标，利用交点位于第二象限，求解的范围，然后求解直线的倾斜角的取值范围． 
此题主要考查学生会根据两直线的方程求出交点的坐标，掌握象限点坐标的特点，掌握直线倾斜角与直线斜率的关系，是一道综合题．
 

3.【答案】A;

【解析】解：直线：与：， 
联立方程组，解得， 
故直线：与：交点的坐标为． 
故选：． 
联立两条直线的方程，求解方程组，即可得到交点坐标． 
此题主要考查了两条直线位置关系的应用，涉及了两条直线交点的求解，解答该题的关键是掌握直线的交点坐标对应方程组的解，属于基础题．
 

4.【答案】D;

【解析】解：解方程组

， 
得

， 
∴直线x+y=9和2x-y=18的交点为（9，0）， 
设与直线3x-2y+8=0平行的直线的方程为3x-2y+a=0， 
把点（9，0）代入3x-2y+a=0， 
得a=-27， 
∴所求直线方程为：3x-2y-27=0． 
故选D．
 

5.【答案】A;

【解析】 
 
此题主要考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，考查直线系方程的应用，属于中档题． 
设过直线与的交点的直线方程为，依题意可求其斜率，从而可求得 
【解析】 
解：设过直线与的交点的直线方程为， 
即， 
该直线与直线垂直， 
， 
 
所求的直线方程为：， 
即 
故选 
 
 

 

6.【答案】B;

【解析】解：联立方程

， 
①×4+②可得11x-44=0，解得x=4， 
代入①可得8-y-10=0，解得y=-2， 
故方程组的解为

， 
所以两直线的交点为：（4，-2） 
故选B
 

7.【答案】A;

【解析】 
    该题考查直线的相交的应用，由直线方程可知过定点画出图形，由题意得得到所求直线的斜率满足 或，  用直线的斜率公式求出 和的值，即可求出直线的斜率的取值范围．     解：：，即直线过定点． 如图所示：  
 
由题意得，所求直线的斜率满足 或 ，  
即 或 ． 
故选A． 

 

8.【答案】A;

【解析】 
此题主要考查求两条直线的交点的方法，以及两条直线平行的性质，属于基础题． 
由题意可求得两直线的交点，结合直线平行的性质可得所求直线的斜率，根据点斜式方程求出直线的方程即可．解：联立得 
所以两直线交点坐标为， 
所求直线方程为，整理得 
故选 

 

9.【答案】D;

【解析】 
此题主要考查两条直线垂直的性质，考查两条直线的交点，属于基础题. 
根据直线的斜率求出直线的方程，再根据直线的斜率得出直线的方程，联立方程组即可解得的垂心坐标. 
 
解：由于， 
所以边上的高所在直线的方程为 
又， 
所以边上的高所在直线的斜率为，方程为， 
联立，得， 
即垂心的坐标为 
故选
 

10.【答案】C;

【解析】解：由方程组， 
解得两条直线的交点为， 
当直线的斜率存在时，设所求直线的方程为：， 
即 
由点到直线的距离公式，得， 
解得，直线方程为： 
当直线的斜率不存在时，直线的方程为也符合题意， 
故所求直线的方程为：或 
满足条件的直线有条． 
故选： 
由方程组，解得两条直线的交点为，当直线的斜率存在时，设所求直线的方程为：，由点到直线的距离公式，求出直线方程为：当直线的斜率不存在时，直线的方程为也符合题意，故满足条件的直线有条． 
此题主要考查满足条件的直线条数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．
 

11.【答案】C;

【解析】 
此题主要考查了三角形的重心坐标应用问题，也考查了运算求解能力，是难题． 
设出点的坐标，求出的重心并代入欧拉线方程，验证并排除部分选项，余下选项再由外心、垂心验证判断即可． 
 
解：设点的坐标为，的重心坐标为， 
依题意知，，整理得； 
对于，当，时，，不满足题意，排除选项； 
对于，当，时，，不满足题意，排除选项； 
对于，当，时，； 
对于，当，时，； 
直线的斜率为，线段的中点为，所以线段的中垂线方程为，即； 
由，解得，所以的外心为， 
若点，则直线的斜率为，新的的中点，该点与点确定直线斜率为， 
显然，即点不在线段的中垂线上，不满足题意，排除选项； 
若点，则直线的斜率为，线段的中点，线段中垂线方程为，即， 
由，解得，即点为的外心，并且在直线上， 
边上的高所在直线方程为：，即， 
边上的高所在直线方程为：，即， 
由，解得，所以的垂心， 
此时，即的垂心在直线上，选项满足题意． 
故本题选
 

12.【答案】D;

【解析】因为直线与相交，则直线与直线和的其中一条平行，则或，故选
 

13.【答案】B;

【解析】 
此题主要考查两条直线的交点坐标的求法，属于简单题.解：联立得解得所以直线和直线的交点的坐标是
 

14.【答案】;

【解析】解：设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点， 
则，，且两定直线垂直，即， 
设， 
， 
，且， 
， 
由，解得，， 
点的坐标为 
故答案为：． 
推导出，，且两定直线垂直，即，设，由，列出方程组能求出点的坐标． 
该题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线过定点的性质、两直线垂直的性质的合理运用．
 

15.【答案】y=-2x-8;

【解析】解：联立，解得，． 
可得与直线垂直的直线方程是：， 
化为：． 
故答案为：． 
联立，解得交点坐标，利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得要求直线的斜率． 
该题考查了直线的交点、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

16.【答案】;

【解析】 
此题主要考查了直线的交点、方程组的解法，属于基础题联立，，解得，由于三条直线：，：，：相交于一点，把点代入，即可解得 
 
解：先求与的交点， 
解得，即交点为， 
代入第一个直线 ，，解得 
故答案为
 

17.【答案】{4，-，-1，};

【解析】解：当直线：平行于：时，解得， 
当直线：平行于：时，解得， 
当：平行于：时，，无解． 
当三条直线经过同一个点时，把直线与的交点 
代入：得 
解得：或． 
综上，满足条件的的集合为为 
故答案为： 
三直线不能构成三角形时共有种情况，即三直线中其中有两直线平行或者是三条直线经过同一个点，在这四种情况中，分别求出实数的值即可． 
该题考查三条直线不能构成三角形的条件，三条直线中有两条直线平行或者三直线经过同一个点，是中档题．
 

18.【答案】5;

【解析】解得圆和轴的交点坐标为，所以
 

19.【答案】解：由，

解得， 
点的坐标是， 
所求直线与平行， 
可设直线的方程为 
把点的坐标代入得， 
即 
所求直线的方程为 
 
;

【解析】

此题主要考查直线与直线的位置关系，考查直线方程，考查直线系，正确设出方程是解答该题的关键．联立方程，求出点的坐标，利用所求直线与平行，可设直线的方程为，代入的坐标，可求直线的方程. 
 

 

20.【答案】解：（1）联立方程组解得x=1，y=2   …（2分）  
所以直线方程为y-2=1×（x-1），即为：x-y+1=0．      …（5分）  
（2）=tanα=2，…（8分）  
，即：4x+3y-2=0…（10分）;

【解析】 
联立方程组得交点，利用点斜式，可得直线方程；  
利用二倍角公式求出直线的斜率，即可求直线的方程．  
该题考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：（Ⅰ）∵A（1，2）点不在两条高线2x-3y+1=0和x+y=0上， 
∴AB、AC边所在直线的斜率分别为-和1， 
代入点斜式得：y-2=-（x-1），y-2=x-1 
∴AB、AC边所在直线方程为3x+2y-7=0，x-y+1=0． 
由解得x=-2，y=-1，∴C（-2，-1）、 
同理可求 B（7，-7）． 
∴边BC所在直线的斜率k==-，方程是y+1=-（x+2） 
化简得2x+3y+7=0，∴边BC所在直线的方程为 2x+3y+7=0． 
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，|BC|==， 
点A到边BC的高为h==， 
∴△ABC的面积S=×|BC|×h=×3×=．;

【解析】

此题主要考查了求直线方程和联立直线方程求交点坐标，以及两点之间的距离公式和点到直线的距离公式，也考查了学生的计算能力． 
判断点不在两条高线，由高线求出、边所在直线的斜率再把点的坐标代入点斜式方程，化简求出、边所在直线的方程，联立高线方程求出、的坐标，最后求出所求的直线方程． 
由的结果求的长和边上的高，代入三角形的面积公式求解．
 

22.【答案】解：且点在第一象限， 
，， 
，， 
故 
直线的方程为：，直线的方程为， 
联立得， 
， 
 
 
 
， 
当且仅当时取等号，最小， 
此时直线的方程为，即;

【解析】

此题主要考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，直线的点斜式方程，直线的一般式方程，两条直线的交点坐标，利用基本不等式求最值. 
根据可求得和，从而可得的坐标； 
通过直线和的方程联立，解得的坐标，由面积公式可得的表达式； 
变形后用基本不等式可求得最小值，以及取得最小值的条件，从而可得直线的方程．
 

23.【答案】解：由解得即． 
过点与原点的直线斜率为，故所求直线方程为：． 
过点且平行于直线的直线方程为， 
即 ．;

【解析】这道题主要考查求直线的交点坐标，用点斜式求直线的方程，属于基础题． 
先求出点的坐标，再求出它的斜率，用点斜式求得过点且过原点的直线方程； 
用点斜式求得过点且平行于直线：的直线方程．