2023高考数学复习专项训练《两条直线平行的判定》

这是一份2023高考数学复习专项训练《两条直线平行的判定》，共19页。试卷主要包含了、单选题，、多选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。

2023高考数学复习专项训练《两条直线平行的判定》

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）直线3x+y+2=0的倾斜角是()
A、π3
B、π6
C、2π3
D、-π3
A. π3 B. π6 C. 2π3 D. -π3
2.（5分）关于空间向量，以下说法不正确的是()
A. 若两个不同平面α，β的法向量分别是u→,ν→，且n→=(1,2,-2),ν→=(2,1,2)，则α⊥β
B. 若直线l的方向向量为e→=(1,0,3)，平面α的法向量为n→=(-2,0,23)，则直线l//α
C. 若对空间中任意一点O，有OP→=14OA→+14OB→+12OC→，则P，A，B，C四点共面
D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
3.（5分）下列四个命题中，正确的是()
A. 直线3x+y+2=0在y轴上的截距为2
B. 直线y=0的倾斜角和斜率均存在
C. 若两直线的斜率k1，k2满足k1=k2，则两直线互相平行
D. 若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等
4.（5分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点，点P在平面BDD1B1内运动，则PE+PC1的最小值为()
A. 3 B. 23 C. 32 D. 5
5.（5分）已知直线x-2y+m=0(m>0)与直线x+ny-3=0互相平行，且它们间的距离是5，则m+n等于()
A. 0 B. 1 C. -1 D. 2
6.（5分）已知直线l过点P(1,2,1)，且方向向量为m→=(1,0,-1)，则点A(1,-1,-1)到l的距离为()
A. 22 B. 11 C. 23 D. 3
7.（5分）已知直线l1：x-my+1=0过定点A，直线l2：mx+y-m+3=0过定点B，l1与l2相交于点P，则|PA|2+|PB|2=( )
A. 10 B. 13 C. 16 D. 20
8.（5分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，AA1=6，则异面直线AB1与BC1所成角的大小为()

A. 60° B. 45° C. 30° D. 15°
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(-1,3,1)，则下列结论正确的有()
A. 与AB→共线的单位向量是(22,22,0)
B. AB→⊥AC→
C. AB→与BC→夹角的余弦值是5511
D. 平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)
10.（5分）已知直线l1：mx-y-3=0，直线l2：4x-my+6=0，则下列命题正确的有()
A. 直线l1恒过点(0,-3) B. 存在m使得直线l2的倾斜角为90°
C. 若l1//l2，则m=2或m=-2 D. 不存在实数m使得l1⊥l2
11.（5分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则下面结论中正确的是()

A. 点P到平面A1BC1的距离为定值
B. 三棱锥D-BPC1的体积为定值
C. 异面直线C1P与直线CB1所成的角为定值
D. 直线C1P与平面BDC1所成线面角为定值
12.（5分）已知直线l的倾斜角等于120°，且l经过点(-3,1)，则下列结论中正确的有()
A. l的一个方向向量为u→=(-36,12)
B. 直线l与两坐标轴围成三角形的面积为433
C. l与直线3x-3y+2=0垂直
D. l与直线3x+y+2=0平行
13.（5分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2，E，F，G分别是棱BC，A1C1，A1B1的中点，D在线段B1C1上，则下列说法中正确的有()

A. EF//平面AA1B1B B. BD//平面EFG
C. 存在点D，满足BD⊥EF D. CD+GD的最小值为342
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1,2,3)和点B关于坐标平面Oxz对称，则点B的坐标为 ______.
15.（5分）若点M(a,b)为直线3x-y+3=0上的动点，则a2+(b+1)2的最小值为 ______.
16.（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别是边AB，CD的中点，沿EF将四边形AEFD折起，使二面角A-EF-B的大小为60°，则A，C两点间的距离为 ______.
17.（5分）已知，空间直角坐标系xOy中，过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n→=(a,b,c)的平面α的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0.经过点P(x0,y0,z0)且方向向量为n→=(A,B,C)的直线方程为x-x0A=y-y0B=z-z0C.用以上知识解决下面问题：已知平面α的方程为x-2y+2z+1=0，直线l的方程为x-12=y3=z-2-1，则直线l与平面α所成角的正弦值为 ______.
18.（5分）点B在x轴上运动，点C在直线l：x-y+2=0上运动，若A(1,2)，则△ABC的周长的最小值为 ______.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）求出满足下列条件的直线方程． 
(1)经过点A(-1,2)且与直线x+2y-3=0垂直； 
(2)经过点B(2,2)且在两条坐标轴上的截距相等．
20.（12分）如图，在四棱锥E-ABCD中，AB//CD，CD=4AB，点F为棱CD的中点，与E，F相异的动点P在棱EF上． 
(1)当P为EF的中点时，证明：PB//平面ADE； 
(2)设平面EAD与平面EBC的交线为l，是否存在点P使得l//平面PBD？若存在，求EPPF的值；若不存在，请说明理由．

21.（12分）已知直线l1的方程为x+2y-4=0，若l2在x轴上的截距为32，且l1⊥l2.
(1)求直线l1与l2的交点坐标；
(2)已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求l3的方程.
22.（12分）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AA1=6. 
(1)求证：BD⊥A1C； 
(2)求二面角A-A1C-D1的余弦值； 
(3)在线段CC1上是否存在点P，使得平面A1CD1⊥平面PBD，若存在，求出CPPC1的值；若不存在，请说明理由．

23.（12分）已知在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD//BC，AB⊥BC，AB>BC，AB=1，AA1=AD=2，Q为A1B的中点，平面ABB1A1与平面所成的锐二面角的余弦值为. 

(1)求证：BD⊥A1C；
(2)若点P是棱AD上的点，且三棱锥P-ABQ的体积为512，求直线PQ和平面A1BC所成角的正弦值的大小.

答案和解析
1.【答案】null;
【解析】 

此题主要考查直线的斜率和倾斜角，属于基础题. 
由直线方程求出斜率，根据斜率可得倾斜角.
解：将直线3x+y+2=0化为y=-3x-2，所以直线的斜率为-3， 
设直线的倾斜角为α，则tanα=-3，
又0⩽α0)与直线x+ny-3=0互相平行，得到n=-2，再根据两平行线之间的距离为5求解.解：直线x-2y+m=0(m>0)与直线x+ny-3=0互相平行，所以n=-2， 
因为两平行线之间的距离d=5，所以5=|m+3|12+(-2)2，解得|m+3|=5， 
整理得m=2或-8(负值舍去)， 
故m+n=2+(-2)=0. 
故选A.

6.【答案】B;
【解析】解：∵直线l的一个方向向量为m→=(1,0,-1)，取直线l一个单位方向向量为μ→=m→|m→|=(22,0,-22)， 
又A(1,-1,-1)为直线外一点，且直线l过点P(1,2,1)，∴PA→=(0,-3,-2)， 
∴PA→·μ→=(0,-3,2)·(22,0,-22)=2，|AP→|=13， 
∴点A到直线l的距离为d=PA→2-(AP→·μ→)2=13-2=11. 
故选：B. 
根据直线l一个方向向量为m→，取直线l的一个单位方向向量为μ→=m→|m→|，计算PA→，代入点到直线的距离公式d=PA→2-(AP→·μ→)2计算即可． 
此题主要考查空间中点到直线的距离，属于中档题．

7.【答案】B;
【解析】解：直线l1：x-my+1=0过定点A(-1,0)， 
直线l2：mx+y-m+3=0化为m(x-1)+y+3=0，令y+3=0，解得y=-3， 
则直线l2：mx+y-m+3=0过定点B(1,-3)， 
∵直线l1：x-my+1=0过定点A，直线l2：mx+y-m+3=0， 
kl1.kl2=-1， 
∴直线l1与l2垂直， 
∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=(-1-1)2+(0+3)2=13. 
故选：B. 
先求出直线l1与l2所过的定点，再结合直线l1与l2垂直，即可求解． 
此题主要考查恒过定点的直线，考查转化能力，属于基础题．

8.【答案】B;
【解析】解：如图： 
连结AD1，B1D1， 
则异面直线AB1与BC1所成角为∠B1AD1， 
在△B1AD1中， 
AB1=2+6=22；AD1=3+6=3；B1D1=2+3=5； 
则cos∠B1AD1=9+8-52×3×22=22， 
∴∠B1AD1=45°， 
故选：B. 
连结AD1，B1D1，化异面直线AB1与BC1所成角为∠B1AD1，用余弦定理解答． 
此题主要考查了学生的空间想象力及辅助线的作法，同时考查了余弦定理的应用，属于基础题．


9.【答案】BD;
【解析】解：∵空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(-1,3,1)， 
∴AB→=(2,1,0)，222≠221，∴单位向量是(22,22,0)与AB→不共线，故A错误； 
AC→=(-1,2,1)，AB→·AC→=0，∴AB→⊥AC→，故B正确； 
BC→=(-3,1,1)，cos=AB→·BC→|AB→|·|BC→|=-555=-5511，故C错误； 
设m→=(1,-2,5)，则m→·AB→=0，m→·BC→=0，AB∩BC=B， 
∴平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)，故D正确． 
故选：BD. 
利用共线向量和单位向量的定义判断A；利用向量垂直的性质判断B；利用向量夹角余弦公式判断C；利用法向量定义判断D. 
此题主要考查共线向量、单位向量的定义、向量垂直的性质、向量夹角余弦公式、法向量定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

10.【答案】AB;
【解析】解：A.直线l1：mx-y-3=0，令x=0，解得y=-3，可得直线l1恒过点(0,-3)，因此A正确； 
B.m=0时，直线l2化为4x+6=0，此时直线的斜率不存在，倾斜角为90°，因此B正确． 
C.直线l1与l2的方向向量分别为(1,m)，(m,4)，由m⋅m-4=0，解得m=±2，经过验证m=-2时两条直线重合，舍去，因此l1//l2，则m=2，故C不正确； 
D.m=0时，两条直线分别化为-y-3=0，4x+6=0，此时两条直线垂直，因此D不正确． 
故选：AB. 
A.直线l1：mx-y-3=0，令x=0，解得y，可得直线l1恒过的定点； 
B.m=0时，直线l2化为4x+6=0，此时直线的斜率不存在，可得直线的倾斜角． 
C.直线l1与l2的方向向量分别为(1,m)，(m,4)，利用m⋅m-4=0，解得m，并且经过验证两条直线是否重合，即可得出m的值，进而判断出结论； 
D.m=0时，两条直线分别化为-y-3=0，4x+6=0，可知两条直线垂直，即可判断出正误． 
此题主要考查了相互垂直或平行的直线与斜率之间的关系、直线经过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

11.【答案】ABC;
【解析】解：对于A，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 
直线AD1//BC1，AD1⊄平面A1BC1，BC1⊂平面A1BC1，所以直线AD1//平面A1BC1， 
所以点P到平面A1BC1的距离，即为直线AD1与平面A1BC1的距离，为定值．故A正确； 
对于B，由于VD-BPC1=VP-DBC1，而S△DBC1为定值， 
在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 
AD1//BC1，BC1⊂平面BDC1，AD1⊄平面BDC1，所以AD1//平面BDC1， 
又P∈AD1，所以点P到该平面BDC1的距离即为直线AD1与平面BDC1的距离，为定值， 
所以三棱锥D-BPC1的体积为定值，故B正确； 
对于C，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C⊥BC1，B1C⊥AB，BC1∩AB=B， 
所以B1C⊥平面ABC1D1，而C1P⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P， 
故这两条异面直线所成的角为90°，故C正确； 
对于D，由B选项的分析可知，点P到平面BDC1的距离d不变， 
所以直线C1P与平面BDC1所成线面角，设为θ，由C1P的长度确定， 
即sinθ=dC1P，因为C1P的长度是变化的，故线面角θ的大小不确定，故D错误． 
故选：ABC. 
利用线面平行、等体积法、异面直线所成角、线面角的知识进行判断求解． 
此题主要考查了线面平行的判定以及空间角和空间距离的问题，属于中档题．


12.【答案】AC;
【解析】解：∵直线l的倾斜角等于120°，且l经过点(-3,1)， 
∴直线l的斜率k=-3，直线l的方程为y-1=-3(x+3)，即3x+y+2=0，故D错误， 
12-36=-3， 
则l的一个方向向量为u→=(-36,12)，故A正确， 
3x+y+2=0， 
当x=0时，y=-2，当y=0时，x=-233， 
故直线l与两坐标轴围成三角形的面积为12×2×233=233，故B错误， 
直线3x-3y+2=0的斜率为33，直线l的斜率为-3， 
则l与直线3x-3y+2=0垂直，故C正确． 
故选：AC. 
根据已知条件，先求出直线l的方程，再结合直线平行垂直的性质，判断CD，结合方向向量的定义，判断B，分别求出直线l与两坐标轴的交点，即可求解． 
此题主要考查直线方程的求解，属于基础题．

13.【答案】AD;
【解析】解：对于A，连接BG，∵E，F，G分别是棱BC，A1C1，A1B1的中点，∴GF//BE且GF=BE，∴四边形EFGB为平行四边形， 
∴EF//BG，又EF⊄平面AA1B1B，BG⊂平面AA1B1B在平面内，所以EF//平面AA1B1B，故A正确； 
对于B，易知GF//BC，所以G，F，B，C四点共面，又点E∈BC，所以G，F，B，E四点共面，∴B∈平面EFG， 
而D∉平面EFG，∴直线BD∩平面EFG=B，故B不正确； 
对于C，以{AB→,AC→,AA1→}为正交基底，建立如图1所示的空间直角坐标系A-xyz， 
 
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,0,2),E(22,22,0),F(0,22,2)， 
∴EF→=(-22,0,2),AB1→=(2,0,2),BC→=(-2,2,0)， 
∴BD→=BB1→+B1D→=AA1→+λB1C1→=AA1→+λBC→=(-2λ,2λ,2)， 
若BD⊥EF，则BD→⋅EF→=(-2λ,2λ,2)⋅(-22,0,2)=λ+4=0,λ=-4， 
∴D在线段B1C1延长线上，而不在线段B1C1上，故C不正确； 
对于D，把图1的正面CC1B1B和上底面A1B1C1展开如图2所示，连接CG即为所求， 
 
过G做PG垂直于BC且与其相交于P，与B1C1相交于Q，易得BP=14BC=12,GQ=12， 
∴PG=GQ+QP=12+2=52,PC=34PC=34×2=32， 
∴在Rt△GPC中，GC2=GP2+PC2=344，∴GC=342，故D正确． 
故选：AD. 
对于A，在平面AA1B1B找一条直线，使其与EF平行即可； 
对于B，先由GF//BC证明G，F，B，C四点共面，再证G，F，B，E四点共面，进而能判断直线BD与平面EFG的位置关系； 
对于C，以{AB→,AC→,AA1→}为正交基底，建立空间直角坐标系A-xyz，用坐标运算即可； 
对于D，把三棱锥的正面CC1B1B和上底面A1B1C1展开，即能找到CD+GD的最小值，构造直角三角形求解即可． 
此题主要考查了立体几何的综合运用，属于中档题．

14.【答案】（1，-2，3）;
【解析】解：∵关于xOz平面对称，x，z值不变，y值变为相反数， 
∴点A(1,2,3)关于xOz平面对称点的坐标B为(1,-2,3). 
故答案为：(1,-2,3). 
根据关于xOz平面对称，y值变为相反数，x，y值不变，求解即可． 
此题主要考查空间点的对称点的坐标的求法，属于基础题．

15.【答案】4;
【解析】解：a2+(b+1)2可看成(a-0)2+(b-(-1))2的平方， 
∵点M(a,b)为直线3x-y+3=0上的动点， 
∴点(0,-1)到直线3x-y+3=0的距离为d=|0+1+3|3+1=2， 
故a2+(b+1)2的最小值为4. 
故答案为：4. 
a2+(b+1)2可看成(a-0)2+(b-(-1))2的平方，再结合点到直线的距离公式，即可求解． 
此题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题．

16.【答案】5;
【解析】解：如图，取BE的中点G，连接AG，CG，由题意EF⊥AE，EF⊥BE， 
则∠AEB是二面角A-EF-B的平面角，则∠AEB=60°，又AE=BE=1， 
则ΔABE是正三角形，于是AG⊥BE,AG=32. 
 
根据EF⊥AE，EF⊥BE，AE∩BE=E可得：EF⊥平面ABE， 
而AG⊂平面ABE，所以EF⊥AG， 
而AG⊥BE，BE∩EF=E，则AG⊥平面BCFE， 
又GC⊂平面BCFE，于是，AG⊥GC， 
又GC2=BC2+BG2=174，所以AC=AG2+GC2=34=5. 
故答案为：5. 
取BE的中点G，然后证明∠AEB是二面角A-EF-B的平面角，进而证明AG⊥GC，最后通过勾股定理求得答案． 
此题主要考查二面角的相关计算，空间中两点之间距离才计算等知识，属于中等题．

17.【答案】null;
【解析】解：由题意知：平面α的一个法向量n→=(1,-2,2)，直线l的一个方向向量m→=(2,3,-1)， 
设直线l与平面α所成角为θ， 
所以sinθ=|cos〈m→,n→〉|=|m→⋅n→||m→|⋅|n→|=6314=147， 
即直线l与平面α所成角的正弦值为147， 
故答案为：147. 
由已知定义可确定平面α的法向量和直线l的方向向量，由线面角的向量求法即可求得． 
此题主要考查了直线与平面所成的角，读懂题意是解题关键，属于基础题．

18.【答案】26;
【解析】解：设点A(1,2)关于x轴的对称点为D，则点D的坐标为(1,-2)， 
设点A(1,2)关于l：x-y+2=0的对称点为E(x,y)， 
则{y-2x-1=-1x+12-y+22+2=0，解得{x=0y=3，即点E的坐标为(0,3)， 
由对称性可知|AC|=|CE|，|AB|=|BD|， 
所以△ABC的周长为|AB|+|AC|+|BC|=|BD|+|CE|+|BC|⩾|DE|=(1-0)2+(-2-3)2=26， 
即△ABC的周长的最小值为26. 
故答案为：26. 
求出点A关于x轴的对称点为D，点A关于l：x-y+2=0的对称点为E，利用对称性将△ABC的周长的最小值转化为求DE的长度即可得解． 
此题主要考查点关于直线对称的点的坐标的求法，两点间的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题．

19.【答案】解：（1）与直线x+2y-3=0垂直的直线可设为2x-y+m=0， 
把A（-1，2）代入，可得-2-2+m=0，解得m=4， 
故所求直线方程为2x-y+4=0． 
（2）①当直线过原点时，直线方程为y=x， 
②当直线不过原点时，设直线的方程为xa+ya=1， 
把B（2，2）代入，得2a+2a=1，解得a=4， 
此时直线方程为x+y=4， 
综上所述，所求直线方程为x-y=0或x+y-4=0．;
【解析】 
(1)根据直线垂直的性质，先设出所求直线，再将点A(-1,2)代入所设直线，即可求解． 
(2)根据已知条件，分直线过原点，直线不过原点两种情况讨论，即可求解． 
此题主要考查直线方程的求解，考查分类讨论的思想，属于基础题．

20.【答案】证明：（1）如图，设点G为棱ED的中点，连接AG，PG， 
 
∴GP=12DF=14DC，GP∥DC， 
∵AB∥CD，CD=4AB， 
∴GP=AB，GP∥AB， 
∴四边形ABPG为平行四边形， 
∴AG∥PB， 
又PB⊄平面ADE，AG⊂平面ADE， 
∴PB∥平面ADE； 
（2）解：如图，延长DA，CB相交于点H，连接EH，则直线EH为平面EAD与平面EBC的交线，连接HF，交BD于点I， 
 
若EH∥平面PBD，由线面平行的性质可知EH∥PI， 
设HI→=λHF→， 
∵点F为棱CD的中点，AB∥CD，CD=4AB， 
∴HI→=λHF→=λ2HD→+λ2HC→=λ2HD→+2λHB→， 
∵D，I，B三点共线， 
∴λ2+2λ=1，即λ=25， 
所以当EPPF=23时，PFEF=FIFH=35，∴EH∥PI， 
又EH⊄平面PBD，PI⊂平面PBD，∴EH∥平面PBD， 
∴存在满足条件的点P使得l∥平面PBD，此时EPPF=23．;
【解析】 
(1)设点G为棱ED的中点，连接AG，PG，通过证明四边形ABPG为平行四边形，得到AG//PB，再根据线面平行的判定定理可证PB//平面ADE； 
(2)延长DA，CB相交于点H，连接EH，则直线EH为平面EAD与平面EBC的交线，连接HF，交BD于点I，若EH//平面PBD，由线面平行的性质可知EH//PI，设HI→=λHF→，推出HI→=λ2HD→+2λHB→，根据三点共线的结论求出λ=25，从而可推出EPPF=23. 
此题主要考查了线面平行的证明和应用，属于中档题．

21.【答案】解：(1)设l2的方程为2x-y+m=0， 
因为l2在x轴上的截距为32， 
所以3-0+m=0，m=-3， 
即l2：2x-y-3=0. 
联立{x+2y-4=0,2x-y-3=0得{x=2,y=1. 
直线l1与l2的交点坐标为(2,1). 
(2)当l3过原点时，l3的方程为y=12x. 
当l3不过原点时，设l3的方程为xa+y2a=1(a≠0)， 
又直线l3经过l1与l2的交点， 
所以2a+12a=1，得a=52， 
l3的方程为2x+y-5=0. 
综上，l3的方程为x-2y=0或2x+y-5=0. 
;
【解析】此题主要考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、截距式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 
(1)利用l1⊥l2，可得斜率kl2.利用点斜式可得直线l2的方程，与直线l1和l2的交点坐标为(2,1). 
(2)当直线l3经过原点时，可得方程．当直线l3不经过过原点时，设在x轴上截距为a≠0，则在y轴上的截距的2a倍，其方程为：xa+y2a=1(a≠0)，把交点坐标(2,1)代入可得a. 


22.【答案】证明：（1）易得DA，DC，DD1两两垂直，以D为原点，DA，DC，DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 
 
则D（0，0，0），B（3，3，0），A1（3，0，6），C（0，3，0）， 
则BD→=(-3，-3，0)，A1C→=(-3，3，-6)，BD→⋅A1C→=-3×(-3)+(-3)×3+0×(-6)=0，则BD⊥A1C； 
解：（2）由（1）知A（3，0，0），A1（3，0，6），C（0，3，0），D1（0，0，6）， 
则AA1→=(0，0，6)，A1C→=(-3，3，-6)，CD1→=(0，-3，6)， 
设平面AA1C的法向量为m→=（x,y,z），则{m→⋅AA1→=6z=0m→⋅A1C→=-3x+3y-6z=0， 
令x=1，则m→=（1，1，0）， 
设平面A1CD1的法向量为n→=(x1，y1，z1)，则{n→⋅CD1→=-3y1+6z1=0n→⋅A1C→=-3x1+3y1-6z1=0， 
令y1=2，则n→=（0，2，1），则cos〈m→，n→〉=m→⋅n→|m→||n→|=22×5=105， 
又二面角A-A1C-D1为钝角，则二面角A-A1C-D1的余弦值为-105； 
（3）假设存在，设CP→=λCC→1，λ∈[0，1]，则CP→=(0，0，6λ)， 
又BC→=(-3，0，0)，BD→=(-3，-3，0)，则BP→=BC→+CP→=(-3，0，6λ)， 
设平面PBD的法向量p→=(x2，y2，z2)，则{p→⋅BP→=-3x2+6λz2=0p→⋅BD→=-3x2-3y2=0， 
令x2=2，则p→=(2，-2，1λ)， 
又由（2）知平面A1CD1的法向量为n→=（0，2，1）， 
由平面A1CD1⊥平面PBD，可得n→⊥p→，即-4+1λ=0，解得λ=14， 
则CP→=14CC→1，CPPC1=13．;
【解析】 
(1)直接建立空间直角坐标系，表示出BD→,A1C→，由BD→⋅A1C→=0即可证明； 
(2)求出平面AA1C和A1CD1的法向量，由向量夹角的余弦公式求解即可； 
(3)假设存在，设CP→=λCC1→,λ∈[0,1]，求出平面PBD的法向量，由法向量垂直求出，即可求解． 
此题主要考查了线线垂直的证明和二面角的计算，属于中档题．

23.【答案】(1)证明：∵在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD//BC，AB⊥BC， 
∴AB，AD，AA1两两互相垂直， 
∴以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 
又∵AB=1，AA1=AD=2，∴B(1,0,0)，A1(0,0,2)，D(0,2,0)， 
∵Q为A1B的中点，∴Q(12,0,1)，设BC=a(0