2023高考数学复习专项训练《两条直线垂直的判定》

这是一份2023高考数学复习专项训练《两条直线垂直的判定》，共16页。试卷主要包含了、单选题，、多选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。
 2023高考数学复习专项训练《两条直线垂直的判定》 一 、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）直线的斜率为，则的值为A、B、C、D、A.  B.  C.  D. 2.（5分）关于空间向量，以下说法正确的是A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量不一定共面
B. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
D. 若，则的夹角是钝角3.（5分）下列四个命题中，正确的是A. 直线在轴上的截距为
B. 直线的倾斜角和斜率均存在
C. 若两直线的斜率，满足，则两直线互相平行
D. 若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等4.（5分）如图，在正三棱柱中，，是的中点，是的中点，若点在直线上，且平面，则
 A.  B.  C.  D. 5.（5分）两直线与平行，则它们之间的距离为A.  B.  C.  D. 6.（5分）已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为A.  B.  C.  D. 7.（5分）直线，当变化时，所有直线恒过定点A.  B.  C.  D. 8.（5分）如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为A、B、C、D、
 A.  B.  C.  D. 二 、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）已知空间中三点，，，则A. 与是共线向量
B. 的一个方向向量是
C. 与夹角的余弦值是
D. 平面的一个法向量是10.（5分）已知直线：，其中，下列说法正确的是A. 当时，直线与直线垂直
B. 若直线与直线平行，则
C. 直线的倾斜角一定大于
D. 当时，直线在两坐标轴上的截距相等11.（5分）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下面结论中正确的是
 A. 点到平面的距离为定值
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与直线所成的角为定值
D. 直线与平面所成线面角为定值12.（5分）已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的是A. 的一个方向向量为 B. 在轴上的截距等于
C. 与直线垂直 D. 与直线平行13.（5分）如图，在正四棱锥中，，，分别是，，的中点，动点线段上运动时，下列四个结论中恒成立的为
 A.  B.  C. 面 D. 面三 、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）已知空间直角坐标系中点，若在轴上取一点，使得最小，则点的坐标为 ______.15.（5分）已知两点，，是直线外一点，则点到直线的距离 ______.16.（5分）如图：二面角等于，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，，，则的长等于 ______.
 17.（5分）设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则二面角的大小为__________.18.（5分）点在轴上运动，点在直线：上运动，若，则的周长的最小值为 ______.四 、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知直线过点 
若直线与直线垂直，求直线的方程； 
若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程．20.（12分）在正方体中，作如图所示的棱锥，其中点在侧棱所在直线上，，，是的中点. 
证明：平面 
求以为轴旋转所围成的几何体的体积. 
 21.（12分）已知的顶点，过点的内角平分线所在直线方程是，过点的中线所在直线的方程是 
求顶点的坐标； 
求直线的方程.22.（12分）如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面，，， 
求证：平面平面； 
若与平面所成的角为，求与平面所成的角的正弦值．
 23.（12分）如图，四棱锥的底面为菱形，，，底面，，分别是线段，的中点，是线段上的一点． 
若是直线与平面的交点，试确定的值； 
若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥体积．
 
答案和解析1.【答案】null;【解析】解：直线的斜截式方程为：，所以直线的斜率为： 
故选： 
直线化为斜截式方程，即可求出直线的斜率． 
此题主要考查直线的斜率的求法，直线方程的形式的转化，基本知识的考查．
 2.【答案】C;【解析】解：对于：若有两个向量共线，由于空间中任意两个向量一定共面，则这三个向量一定共面，故错误； 
对于：根据空间向量的基本定理，， 
由选项可知，、、一定共面，则不能构成基底，故错误； 
对于：根据空间向量的基本定理有， 
，则， 
又， 
，，，四点共面，故正确； 
对于：，，且，， 
当，时，，故错误， 
故选： 
根据向量的定义和空间向量的基本定理，逐一分析选项，即可得出答案． 
此题主要考查空间向量的基本定理和平面向量的数量积，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 3.【答案】B;【解析】解：选项，对于直线，令得，所以直线在轴上的截距为，故错误； 
选项，直线的倾斜角为，斜率为，存在，故正确； 
选项，若两直线的斜率，满足，则两直线互相平行或重合，所以错误； 
选项，若两直线的倾斜角为，则它们的斜率不存在，所以错误． 
故选： 
根据方程直接求解可判断；由倾斜角和斜率的定义可判断；根据直线平行与斜率的关系可判断；由倾斜角为时斜率不存在可判断 
此题主要考查了直线截距的求法，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．
 4.【答案】A;【解析】解：以为原点，，所在的直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系， 
则， 
由题可设，则， 
设平面的法向量，则令，得， 
由，得，则 
故选： 
建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设出，利用求出的值，从而求出的模长，求出答案． 
此题主要考查了空间中距离的计算，属于中档题．

 5.【答案】C;【解析】解：两直线与平行， 
，解得． 
直线化为， 
两平行线之间的距离． 
故选：． 
利用平行线之间的斜率关系可得，再利用平行线之间的距离公式即可得出． 
该题考查了平行线之间的斜率关系、平行线之间的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．
 6.【答案】B;【解析】解：直线的一个方向向量为，取直线一个单位方向向量为， 
又为直线外一点，且直线过点，， 
，， 
点到直线的距离为 
故选： 
根据直线一个方向向量为，取直线的一个单位方向向量为，计算，代入点到直线的距离公式计算即可． 
此题主要考查空间中点到直线的距离，属于中档题．
 7.【答案】B;【解析】解：由直线，当变化时，令， 
解得，， 
所有直线恒过定点， 
故选： 
由直线，当变化时，令，解出即可得出． 
此题主要考查了直线经过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 8.【答案】null;【解析】解：由题意得，，， 
，，同理， 
以为原点，所在直线为轴，所成直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 
则，，，， 
，， 
设异面直线与所成角为， 
则， 
故选： 
先证明出，，以为原点，所在直线为轴，所成直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值． 
此题主要考查异面直线的定义及其余弦值、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

 9.【答案】BCD;【解析】解：空间中三点，，， 
对于，，，，与不是共线向量，故错误； 
对于，，则直线的一个方向向量是，故正确； 
对于，，则，，故正确； 
对于，由选项知，向量，不共线，令， 
则，，， 
是平面的一个法向量，故正确． 
故选： 
根据给定的空间点的坐标，结合空间向量运算逐项分析、计算，能求出结果． 
此题主要考查向量坐标运算法则、向量垂直的性质、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 10.【答案】AC;【解析】解：对于直线：，其中， 
当时，此直线即：，它的斜率为，而直线的斜率为，故它与直线垂直，故正确； 
若直线与直线平行，则直线的斜率，求得或，故错误； 
直线的斜率为，故直线的倾斜角大于，而，故正确； 
当时，直线即：，在两坐标轴上的截距相反，故错误， 
故选： 
由题意，根据直线的方程确定直线的斜率和倾斜角、截距，从而得出结论． 
此题主要考查由直线的方程确定直线的斜率和倾斜角、截距，属于基础题．
 11.【答案】ABC;【解析】解：对于，在正方体中， 
直线，平面，平面，所以直线平面， 
所以点到平面的距离，即为直线与平面的距离，为定值．故正确； 
对于，由于，而为定值， 
在正方体中， 
，平面，平面，所以平面， 
又，所以点到该平面的距离即为直线与平面的距离，为定值， 
所以三棱锥的体积为定值，故正确； 
对于，在正方体中，，，， 
所以平面，而平面，所以， 
故这两条异面直线所成的角为，故正确； 
对于，由选项的分析可知，点到平面的距离不变， 
所以直线与平面所成线面角，设为，由的长度确定， 
即，因为的长度是变化的，故线面角的大小不确定，故错误． 
故选： 
利用线面平行、等体积法、异面直线所成角、线面角的知识进行判断求解． 
此题主要考查了线面平行的判定以及空间角和空间距离的问题，属于中档题．

 12.【答案】null;【解析】解：直线的倾斜角等于，则是直线的方向向量，斜率为， 
由于经过点，于是：，即 
对于：由于，所以正确； 
对于：中由得：，错误； 
对于：直线的斜率为，由于，则与直线垂直，正确； 
对于：与直线斜率相同，纵截距不同，因此两者平行，正确． 
故选： 
根据条件写出直线的方程，根据直线间位置关系的等价条件进行判断即可． 
此题主要考查直线的方程以及平行垂直的等价条件，属于基础题．
 13.【答案】AC;【解析】解：如图，为正方形中心，，，面， 
又、、为分别是，，的中点，，，面面， 
面，而面，，面， 
故选： 
根据直四棱锥的性质，判断线面平行、垂直，面面平行，得到求解． 
此题主要考查了直四棱锥的性质，线面平行、垂直的判断，是基础题．

 14.【答案】（0，0，3）;【解析】解：点， 
若在轴上取一点，使得最小，则只需轴， 
点竖坐标为，即点的坐标为 
故答案为： 
在轴上取一点，使得最小，只需轴，即可求解． 
此题主要考查空间中的点的坐标求解，属于基础题．
 15.【答案】;【解析】解：，，， 
，， 
设，的夹角为， 
则， 
，， 
点到直线的距离为： 
 
故答案为： 
求出，的夹角和的模长，利用向量法能求出点到直线的距离． 
此题主要考查向量坐标运算法则、向量夹角余弦公式、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 16.【答案】;【解析】解：由题意，二面角等于， 
可得向量， 
因为，可得， 
所以 
 
 
故答案为： 
由题意，二面角等于，根据，结合向量的运算，即可求解． 
此题主要考查了空间向量数量积的应用，属于中档题．
 17.【答案】或;【解析】 
 
【易错警示】利用空间向量法求二面角，有两种方法：一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从同一点出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小二是通过平面的法向量来求，设二面角的两个半平面的法向量分别为和，则二面角的大小等于，或，由二面角定义得，，，或，即二面角的大小为或 

 18.【答案】;【解析】解：设点关于轴的对称点为，则点的坐标为， 
设点关于：的对称点为， 
则，解得，即点的坐标为， 
由对称性可知，， 
所以的周长为， 
即的周长的最小值为 
故答案为： 
求出点关于轴的对称点为，点关于：的对称点为，利用对称性将的周长的最小值转化为求的长度即可得解． 
此题主要考查点关于直线对称的点的坐标的求法，两点间的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题．
 19.【答案】解：（1）∵直线l与直线4x-3y+5=0垂直， 
∴可设直线l的方程为3x+4y+m=0， 
∵直线l过点P（3，4）， 
∴3×3+4×4+m=0，解得m=-25， 
故直线l的方程为3x+4y-25=0． 
（2）当直线l过原点时，斜率为，由点斜式可得直线l的方程为y=，即4x-3y=0， 
当直线l不过原点时，设直线l的方程为x+y=a， 
∵直线l过点P（3，4）， 
∴a=7，x+y-7=0， 
综上所述，所求直线l的方程为4x-3y=0或x+y-7=0．;【解析】 
由已知条件可设直线的方程为，再将点代入，即可求解． 
根据已知条件，分直线过原点，直线不过原点两种情况讨论，即可求解． 
此题主要考查直线方程的求解，考查分类讨论的思想，属于基础题．
 20.【答案】解：连接交于点，连接 
四边形是正方形，为的中点， 
又为的中点，， 
平面，平面，平面 
过作的垂线，垂足为，则以为轴旋转所围成的几何体是以为半径，分别以，为高的两个圆锥的组合体. 
底面，底面， 
，，， 
故所求几何体的体积为;【解析】此题主要考查线面平行的判定，圆锥的体积，属于基础题.
 21.【答案】解：设，则中点，由，解得，故 设点关于直线的对称点为，则，得，即直线经过点和点， 
故直线的方程;【解析】此题主要考查了待定系数法求直线方程的运用，考查了计算能力，属于中档题．先设点的坐标，根据的内角平分线方程是得到关于，的一个方程，再结合中点在过点的中线上，即可求出点的坐标；先求出点关于直线的对称点，因为直线经过点和点，根据和点的坐标即可求出直线的方程．
 22.【答案】（1）证明：由题意，AB=CD=1，又， 
在△ADC中，，故AC2+CD2=AD2， 
所以AC⊥CD， 
又PA⊥平面ABCD，CD⊂面ABCD，则PA⊥CD， 
而PA⋂AC=A，PA，AC⊂面PAC，则CD⊥面PAC， 
由CD⊂面PCD，故面PCD⊥面PAC． 
（2）解：由（1）知：CD⊥面PAC，则PD与平面PAC所成角的平面角为， 
而CD=1，易知：， 
又PA⊥平面ABCD，PA⊂面PAD，则面ABCD⊥面PAD， 
而C∈面ABCD，面ABCD⋂面PAD=AD，则C在面PAD上的射影在AD上， 
又△ADC为等腰直角三角形，故C在AD上射影为AD中点， 
所以C到面PAD的距离为， 
故PC与平面PAD所成的角的正弦值为．;【解析】 
由余弦定理、勾股定理知，根据线面垂直的性质得，再根据线面垂直、面面垂直的判定证结论． 
由知与平面所成角的平面角为，求得，再通过线面垂直证面面垂直并找到在面上的射影位置，即可求到面的距离，即可求与平面所成的角的正弦值． 
此题主要考查面面垂直的证明，线面角的计算，空间想象能力的培养等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
 23.【答案】解：取BC的中点M，连接AM，可得AM⊥AD， 
分别以AM，AD，AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz, 
 
则A（0，0，0），B（，-1，0），C（，1，0），E（，-，1），P（0，0，2），F（0，1，1）， 
设=λ，=（，1，-2），∴=（λ，λ，-2λ），∴=+=（0，0，2）+（λ，λ，-2λ）=（λ，λ，2-2λ）， 
=（，-，1），=（0，1，1）， 
设平面AEF的法向量=（a,b,c）， 
则，所以， 
取=（，1，-1）， 
∵G是直线PC与平面AEF的交点，∴=3λ+λ-2+2λ=0，解得λ=， 
∴=； 
（2）设直线AG与平面AEF所成角为θ，由（1）知 
sinθ=|cos＜，＞|=||=||=， 
整理得27λ2-12λ-4=0，解得λ=或λ=-（舍去）， 
=（，1，-2），=（0，2，-2）， 
设平面PCD的一个法向量为=（x,y,z）， 
则，∴， 
取=（1，，）， 
点E到平面PCD的距离即为点E到平面PFG的距离d===， 
∵PC=PD=2，CD=1，S△PCD=××2=， 
===， 
∴S△PFG=S△PCD=， 
∴VP-EFG=S△PFG•d=××=．;【解析】 
取的中点，连接，可得，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，设，求得的坐标，可求得； 
利用直线与平面所成角的正弦值为，求得，进而求得点到平面的距离，利用，可求得，进而可求三棱锥体积． 
此题主要考查空间向量及其应用，线面角的相关计算，锥体体积的计算，空间想象能力的培养等知识，属中档题．