2023高考数学复习专项训练《空间向量数量积的坐标表示》

这是一份2023高考数学复习专项训练《空间向量数量积的坐标表示》，共22页。试卷主要包含了、单选题，、多选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。
 2023高考数学复习专项训练《空间向量数量积的坐标表示》 一 、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）己知平行六面体中，，，，，，则等于A.  B.  C.  D. 2.（5分）［核心素养·数学运算］在空间直角坐标系Oxyz中，点A(2,1,3)关于平面xOz的对称点为B，则＝ (    )A. -10 B. 10 C. -12 D. 123.（5分）已知向量，则下列向量中与成的夹角的是A.  B.
C.  D. 4.（5分）在空间直角坐标系中，点到点和点的距离相等，则实数的值为A.  B.  C.  D. 5.（5分）设空间直角坐标系中有、、、四个点，其坐标分别为、、、，下列说法正确的是A. 存在唯一的一个不过点、的平面，使得点和点到平面的距离相等
B. 存在唯一的一个过点的平面，使得，
C. 存在唯一的一个不过、、、的平面，使得，
D. 存在唯一的一个过、点的平面使得直线与的夹角正弦值为6.（5分）已知空间中三点，，，则     A. 与是共线向量
B. 的单位向量是
C. 与夹角的余弦值是
D. 平面的一个法向量是7.（5分）设，，是三个非零向量为空间的一组基底，则是的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件8.（5分）若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是A.
B.
C.
D. 二 、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）如图，四面体，与均为等边三角形，点、分别在边、，且满足，，记二面角的平面角为，，则异面直线与所成角的正弦值是 
 A.  B.  C.  D. 10.（5分）在四面体中，下列说法正确的有A. 若，则可知
B. 若为的重心，则
C. 若，，则
D. 若四面体各棱长都为，，分别为，的中点，则11.（5分）如图，点是正方体中的线段上的一个动点，则下列结论正确的是 
 A. 存在点，使平面
B. 点存在无数个位置满足
C. 若正方体的棱长为，三棱锥的体积最大值为
D. 存在点，使异面直线与所成的角是12.（5分）在四面体中，以上说法正确的有A. 若，则可知
B. 若为的重心，则
C. 若，，则
D. 若四面体各棱长都为，分别为的中点，则13.（5分）如图所示，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，设，，，则下列等式成立的是
 A.  B.
C.  D. 三 、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）在空间四边形中，，，，点在线段上，且，点是的中点，则__________.15.（5分）已知空间三点，则__________；的夹角为__________.16.（5分）若，两点间的距离为，则的值为________.17.（5分）如图，在正四面体中，，分别为，的中点，是线段上一点，且，若，则的值为__________.18.（5分）若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 _____________.四 、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）如图，在多面体中，梯形与平行四边形所在平面互相垂直，，，，， 
 求证：平面；判断线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.20.（12分）理科做如图，正四棱锥底面边长为，侧棱长为以该正四棱锥的底面中心为坐标原点建立直角坐标系，其中，，为中点． 
求向量，的夹角的余弦值； 
求二面角的余弦值．
 21.（12分）如图，在正四棱柱中，，，是的中点，点在上．设二面角的平面角的大小为当时，求的长；当时，求的长．22.（12分）如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为，，，的中点，， 
 求证：平面；求二面角的余弦值；证明：直线与平面相交．23.（12分）已知向量，，为坐标原点，点，求若点在直线上，且，求点的坐标.
答案和解析1.【答案】B;【解析】 
此题主要考查运用空间向量求距离，考查向量的加法运算法则与运算律、数量积的运算等知识，属于中档题．首先，画出图形，然后，结合，两边平方，同时结合数量积的运算法则进行计算即可. 
 
解：平行六面体，如图所示： 
 
，，， 
四边形为矩形， 
， 
 
， 
又， 
 
 
 
 
， 
， 
等于 
故选
 2.【答案】D;【解析】由题意知，在空间直角坐标系Oxyz中，点关于平面xQz的对称点为所以，，则，故选D.
 3.【答案】B;【解析】解：由题意，可设与成的夹角．则有： 
， 
． 
---- 
由题意，中能使成立的向量即为正确答案． 
对于： 
， 
， 
不满足式，不是正确答案； 
对于： 
， 
． 
满足式，是正确答案； 
对于： 
， 
， 
不满足式，不是正确答案； 
对于： 
， 
． 
不满足式，不是正确答案； 
故选：． 
本题可将四个选项一个一个代入去判断，最终得到正确选项． 
这道题主要考查空间立体向量的数量积的运算以及选项代入，本题属基础题．
 4.【答案】B;【解析】解：在空间直角坐标系中，点到点和点的距离相等， 
， 
解得． 
实数的值为． 
故选：． 
利用两点间距离公式直接求解． 
该题考查实数值的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 5.【答案】B;【解析】解：对于 选项， 
当 平面 或平面 过线段 的中点时，点 和点 到平面 的距离相等， 
选项错误； 
对于 选项， 
，，， 
，设，则， 
该方程组无解，所以，、、、四点不共面， 
则 与 异面， 
而过点 且与 垂直的平面 有且只有一个， 
若 ，由于 ，则 与 共面，矛盾，所以，， 
选项正确； 
对于 选项， 
由于 、异面，设 为 、的公垂线段，且 ，， 
在直线 异于 、的任意一点作平面 ，使得 ，则 ，， 
 
这样的平面 有无数个， 
选项错误； 
对于 选项， 
设平面 的一个法向量为， 
由题意可得， 
， 
所以， 
整理得，， 
即方程有两个不等的实数解， 
所以，存在两个过 、点的平面 使得直线 与 的夹角正弦值为选项错误． 
故选： 
由 平面 或平面 过线段 的中点可判断 选项的正误； 推导出 以及 、、、四点不共面，利用点 且与 垂直的平面 有且只有一个以及 可判断 选项的正误； 在 、的公垂线 上的点作 的垂面满足题意，可判断 选项的正误； 设平面 的法向量为，根据题意可得出关于 、的方程组，判断方程组解的个数，进而可判断 选项的正误． 
求空间角的常用方法： 
定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； 
向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量的余弦值，即可求得结果．
 6.【答案】D;【解析】 
此题主要考查向量之间的运算，即向量坐标形式的数量积运算、向量坐标形式的共线与利用向量的数量积运算求平面的法向量，属于基础题. 
分别表示出向量，，，即可以判断与是否共线，与夹角大小，以及平面的法向量. 
 
解：根据题意两个向量的坐标表示，可得，， 
则，所以与不共线，所以错误； 
B.结合题意可得：的单位向量为：或，所以错误； 
C.，，所以，所以错误 
D.设平面的一个法向量是，利用， 
可得：：：：，则平面的一个法向量是，所以正确. 
故选
 7.【答案】B;【解析】 
此题主要考查空间向量的基本定理，充分、必要条件的判断，属基础题. 
根据定义判断即可. 
解：，，是三个非零向量为空间的一组基底， 
若为空间的一组基底，，是不共面的三个向量这三个向量是非零向量. 
若，，是三个非零向量为空间的一组基底， 
故是的必要不充分条件. 
故选 

 8.【答案】C;【解析】 
此题主要考查了空间向量共面的判断与应用问题，属于基础题． 
根据空间向量的共面定理，一组不共面的向量构成空间的一个基底，对选项中的向量进行判断即可．解：因为， 
所以， 
即向量，，共面， 
所以，，不能构成空间一个基底， 
故选：
 9.【答案】C;【解析】 
此题主要考查了二面角，异面直线所成的角，空间向量的数量积运算，属于较难题. 
过作，交于点，设与的夹角为，则，与的夹角为二面角的平面角大小为，且，利用进行求解. 
 
解：如下图所示，过作，交于点， 
 
因为，所以为的中点， 
又为等边三角形，所以， 
则与的夹角为二面角的平面角，大小为，且， 
设与的夹角为，则， 
， 
所以， 
所以， 
则 
故选 
 

 10.【答案】ABC;【解析】【分析】 
本题主要考查了空间向量的加减法，数乘运算以及空间向量的数量积运算，模长问题，属于中档题. 
根据空间向量的运算，逐个加以检验. 
【解答】 
解：对于，，，，， 
，即，故正确； 
对于，若为的重心，则， 
，，即，故正确； 
对于，若，，则， 
，， 
，， 
，， 
，，故正确；对于，，，， 
故错误. 
故选
 11.【答案】ABC;【解析】 
此题主要考查线面平行的判定、空间中直线与直线的位置关系，异面直线所成角以及棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积，属于中档题. 
由题意，依次对各选项进行分析：对，取为中点，利用平面平面平面，可证正确；对，利用平面，可证正确；对，利用三棱锥等体积法，得到三棱锥的体积等于三棱锥的体积，求得其底面面积，利用向量投影法求出到底面的距离，进而求出该三棱锥的体积最大值，进而判断是否正确；对，假设存在点满足题意，利用反证法可得错误，于是得到答案. 
 
解：由题意，依次对各选项进行分析： 
对，取为中点，即，此时有平面，事实上，连接、、如图所示： 
 
由题意，因为，平面，平面，即得平面， 
同理得平面，又，即得平面平面， 
又平面，平面，即得平面，故正确； 
对，因为，，而，、在平面内，所以平面， 
又点是棱上的一个动点，即得平面，故，于是点存在无数个位置满足，故正确； 
对，由题意，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，如图所示： 
 
易知三角形是边长为的等边三角形，其面积为， 
由题意，可建立如图所示的空间直角坐标系，此时有，，，， 
于是， 
因为点是棱上的一个动点，可设，则且， 
于是， 
易知，，设平面的一个法向量， 
则，令，得到， 
设与夹角为， 
则， 
则在平面法向量上投影为， 
因为可知 
因为三棱锥的体积为， 
于是当，即与重合时，取最大值， 
此时三棱锥的体积取最大值，最大值为，故正确； 
 
对，因为，于是异面直线与所成的角即为直线与所成角， 
连接，如图所示： 
 
因为平面，而平面，于是， 
假设存在点满足题意，即得，设正方体边长为， 
于是， 
又当点为中点时，，此时取得最小值为， 
故上不存在点使得，于是假设不成立，故错误. 
故选
 12.【答案】ABC;【解析】 
此题主要考查了空间向量的加减法，数乘运算以及空间向量的数量积运算，模长问题，属于中档题. 
根据空间向量的运算，逐个加以检验. 
 
解：对于，，，，， 
，即，故正确； 
对于，若为的重心，则， 
，，即，故正确； 
对于，若，，则， 
，， 
，， 
，， 
，，故正确；对于，，，， 
故错误. 
故选
 13.【答案】BD;【解析】 
此题主要考查空间向量的加减和数乘计算，属于基础题.解：，故选项错误 
 
选项正确 
 
，故选项错误 
 
，故选项正确. 
故选：
 14.【答案】;【解析】 
此题主要考查空间向量基本定理的应用，属于基础题.解：由题意得，，所以 
 15.【答案】 
 
;【解析】 
此题主要考查空间向量坐标运算，考查向量模及夹角求法，属基础题. 
依题意，求得，根据求模公式得，，求出， 
根据，即可求得的夹角. 
 
解：因为， 
所以， 
所以， 
， 
， 
所以， 
又， 
所以， 
故答案为； 
 

 16.【答案】0或4;【解析】 此题主要考查了空间距离公式的应用，属于基础题根据空间中两点间的距离公式和题中条件建立关于的方程求解即可. 解：由题意可得，整理可得，解得：或，故答案为或
 17.【答案】;【解析】 
此题主要考查空间向量的加减和数乘计算，属于基础题.解：，所以，，所以
 18.【答案】，且;【解析】 
此题主要考查空间向量的夹角问题，空间向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 
由与的夹角为钝角，得到，且，由此能求出实数的取值范围． 
 
解：向量，，且与的夹角为钝角， 
，且， 
解得，且， 
实数的取值范围为且 
故答案为且
 19.【答案】证明：由底面为平行四边形，知， 
又因为平面，平面， 
所以平面 
同理平面， 
又因为，平面， 
所以平面平面 
又因为平面， 
所以平面 
解：连接， 
因为平面平面，平面平面，， 
所以平面平面，则 
又因为，，，，平面， 
所以平面，又平面，则 
故，，两两垂直，所以以，，所在的直线分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系， 
 
结论：线段上存在点，使得平面平面 
证明如下： 
设， 
所以 
设平面的法向量为，又因为， 
所以，，即 
若平面平面，则，即， 
解得 
所以线段上存在点，使得平面平面，且此时;【解析】此题主要考查空间直线和平面，平面和平面位置关系的判定，利用相应定理或者建立空间坐标系，利用向量法是解决本题的关键．属于中档题. 
根据面面平行的性质定理先证明平面平面即可证明平面； 
建立空间坐标系，根据面面垂直与向量之间的关系转化为向量进行求解． 
 

 20.【答案】解：（1）根据条件知正四棱锥V-ABCD的高为=3， 
根据条件，B（2，2，0），C（-2，2，0），D（-2，-2，0），V（0，0，3），E（-1，1，）， 
∴=（-3，-1，），=（1，3，）， 
∴向量，的夹角的余弦值为cos＜＞===-． 
（2）=（4，0，0），设平面BVC的一个法向量=（x，y，z）， 
则，取y=3，得=（0，3，2）， 
同理可得平面DVC的一个法向量=（-3，0，2）， 
设二面角B-VC-D的平面角为θ， 
则cosθ===， 
∴二面角B-VC-D的余弦值为．;
 【解析】 
根据条件知正四棱锥的高为，求出，，由此能求出向量，的夹角的余弦值． 
求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值． 
该题考查两个向量的夹角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
 21.【答案】解：建立如图所示的空间直角坐标系，，设，则各点的坐标为，， 
，； 
所以，， 
设平面的法向量为，则，， 
即，，令，则，所以， 
设平面的法向量为，则，， 
即，，令则，所以， 
 
因为，所以解得从而， 
所以 
因为，所以， 
 
因为或，所以解得或 
根据图形和的结论，可知，从而的长为 
;【解析】 
建立如图所示的空间直角坐标系，，设，通过，求出平面的法向量为，，求出平面的法向量为，推出利用求出的坐标，然后求出的长． 
利用以及，求出的长． 
本题是中档题，考查直线与平面，直线与直线的位置关系，考查转化思想的应用，向量法解答立体几何问题，方便简洁，但是注意向量的夹角，计算数据的准确性．
 22.【答案】证明：，分别是，的中点，， 
平面，平面， 
又平面，， 
，是的中点， 
， 
又，平面，平面， 
平面 
解：以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则，，， 
，， 
设平面的法向量为，则，即， 
令可得，又平面， 
为平面的一个法向量， 
， 
由图形可知二面角为钝二面角， 
二面角的余弦值为 
证明：，，， 
， 
与不垂直， 
与平面不平行，又平面， 
与平面相交．;【解析】此题主要考查了线面垂直的判定，二面角的计算与空间向量的应用，属于中档题． 
 证明，即可得出平面； 
建立坐标系，求出平面的法向量，通过计算与的夹角得出二面角的大小； 
计算与的数量积即可得出结论． 
 

 23.【答案】解：，故由题意，可设由，得，所以，解得因此点的坐标为;【解析】本题考查空间向量模的的求解，向量共线，向量垂直，属于基础题. 
写出的坐标，代入空间向量模的公式即得结果. 
由点在直线上，可表示为，再根据求得点的坐标.