2023高考数学复习专项训练《空间向量的线性运算》

这是一份2023高考数学复习专项训练《空间向量的线性运算》，共15页。试卷主要包含了、单选题，、多选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。
 2023高考数学复习专项训练《空间向量的线性运算》 一 、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）如图，点是空间四边形的边的中点，，，，则为 
  
 A.
B.
C.
D. 2.（5分）在三棱锥中，，为中点，则A.  B.
C.  D. 3.（5分）已知点，，则A.  B.
C.  D. 4.（5分）已知，，三点不共线，对空间内任意一点，若，则，，，四点A. 不共面 B. 共面 C. 不一定共面 D. 无法判断是否共面5.（5分）如图已知正方体中，是的中点，，，，，则
 A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，6.（5分）如图所示，在平行六面体中，   
  A.  B.  C.  D. 7.（5分）在正四面体中，点为的中心，为棱上靠近点的三等分点，则A.  B.
C.  D. 8.（5分）如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是 
 
 A.  B.
C.  D. 二 、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）在长方体中，则A.  B.
C.  D. 10.（5分）在四面体中，下列说法正确的是A. 若，则
B. 若点 为的重心，则
C. 若，，则
D. 若四面体 的各棱长都为， ， 分别为 ， 的中点，则11.（5分）在平行六面体中，，各棱长均为，则下列命题中正确的是   A. 不是空间的一个基底
B.
C.
D. 平面12.（5分）对于向量，，和实数，下列命题中的假命题是 A. 若，则或
B. 若，则或
C. 若，则或
D. 若，则，是锐角13.（5分）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是 
 A.  B.
C. 向量与的夹角 D. 与所成角的余弦值为三 、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）已知，，，为空间中任意四点，化简__________.15.（5分）如图，已知空间四边形，其对角线为，，，分别为，的中点，点在线段上，且，若，则__________.16.（5分）已知空间向量，，，则______.17.（5分）在四面体中，，，，为的中点，为的中点，则__________用，，表示18.（5分）已知向量，，，，若，则实数      .四 、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）如图，四棱锥的底面是矩形，平面，设，，，，分别是，的中点，试用表示，，， 
 20.（12分）已知四棱锥的底面是平行四边形，为棱上的点，且，试用，，表示向量21.（12分）已知，求与的夹角的余弦值．若与平行，求的值．若与垂直，求的值．22.（12分）如图，在三棱柱中，是棱的中点，，设 
试用向量表示向量； 
若，，求
 23.（12分）在平行六面体中，，，，，，是的中点． 
Ⅰ用表示； 
Ⅱ求的长．
 
答案和解析1.【答案】C;【解析】 
此题主要考查空间向量的加法运算利用向量加法法则进行运算即可，题目较简单. 
 
解： 
 
故选
 2.【答案】B;【解析】解：连结， 
所以， 
因为， 
故， 
所以 
故选： 
连结，利用空间向量的加法运算法则以及数乘的运算进行转化，即可得到答案． 
本题考查了空间向量及其线性运算，解题的关键是掌握空间向量的加法运算法则与数乘的定义，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题．

 3.【答案】C;【解析】解：点，， 
则 
故选： 
根据已知条件，结合空间向量的坐标运算法则，即可求解． 
此题主要考查空间向量的坐标运算法则，属于基础题．
 4.【答案】B;【解析】 
本题考察空间向量共面问题，属于基础题. 
根据空间向量线性运算，进而判断即可. 
解： 因为， 
所以， 
， 
，即 
故，，，四点共面，故选 

 5.【答案】A;【解析】解：正方体，棱长为， 
以为原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 
所以，，， 
， 
因为， 
所以 
解得，，， 
故选：． 
设正方体棱长为，建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，根据条件得解得，，． 
该题考查空间向量的线性运算，属于中档题．
 6.【答案】B;【解析】 
此题主要考查空间向量的线性运算根据平行六面体的性质得到相等的向量关系，进而进行向量运算得到结论. 
 
解：在平行六面体中易得， 
则 
故选
 7.【答案】A;【解析】 
此题主要考查空间向量的加减以及数乘运算，属于基础题. 
设为的中点，然后利用空间向量加减法法则推出，从而可得结论. 
解：设为的中点， 
 
， 
所以 
故选
 8.【答案】D;【解析】 
此题主要考查空间向量的加减法，属于基础题. 
利用空间向量的运算法则，结合平行六面体的性质分析解答． 
 
解：由平行六面体的性质可得， 
故 
 
， 
故选
 9.【答案】AB;【解析】解：如图所示： 
 
对于，因为，所以选项正确； 
对于，因为，所以选项正确； 
对于，因为，所以选项错误； 
对于，因为，所以选项错误． 
故选： 
根据空间向量的线性表示与运算法则，判断即可． 
此题主要考查了空间向量的线性表示与运算问题，也考查了推理运算能力，是基础题．
 10.【答案】ABC;【解析】 
此题主要考查了空间向量的线性运算、空间向量的数量积运算，属中档题. 
根据空间向量的线性运算及性质、空间向量的数量积运算及性质对各选项进行转化运算可得解.解：对于，，，，，，即，故正确； 
对于，若点为的重心，则，，，即，故正确； 
对于，若，，则，，，，，，，故正确； 
对于，，，，，故错误．故选
 11.【答案】ACD;【解析】【分析】 
本题考查空间向量的线性运算、数量积、空间向量基本定理和线面垂直的判定，属于一般题. 
利用已知条件对选项逐个判断即可. 
【解答】 
解：对于、因为， 
所以不是空间的一个基底，故正确； 
对于、因为，故错误； 
对于、因为 
，故正确； 
对于、由题意，易知四边形为菱形，故， 
又， 
故，即， 
又平面故平面故正确， 
故选
 12.【答案】ACD;【解析】 
此题主要考查空间向量的数量积运算，及其与垂直的关系，空间向量的线性运算，属中档题. 
根据定义计算判断即可. 
 解：对于，若，则与垂直或或，故错误； 
对于，若，则或，故正确； 
对于，若，则，故错误； 
对于，，则与同向或，是锐角，故错误. 
故选 

 13.【答案】AB;【解析】 
此题主要考查了空间向量的线性、数量积运算，考查了平行六面体的性质，属于中档题． 
利用平行六面体的性质，空间向量的线性、数量积运算判定即可． 
解：以顶点为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是，可设棱长为， 
则， 
对于， 
， 
而，所以正确； 
对于，，所以正确； 
对于，向量，显然为等边三角形，则，所以向量与的夹角是，向量与的夹角是，所以不正确； 
又，，则，， 
，所以，所以不正确. 
故选：
 14.【答案】;【解析】 
本题考察空间向量线性运算，属于基础题. 
利用空间向量运算规律求解即可. 
解：方法一利用相反向量的关系转化为加法运算 
 
方法二利用向量的减法运算法则求解 
 

 15.【答案】;【解析】 
此题主要考查空间向量的线性运算以及空间向量基本定理的应用，属于基础题.解：  连接，由，分别为，的中点，点在线段上，且，得，则
 16.【答案】（-4，3，3）;【解析】解： 
故答案为： 
进行向量坐标的减法、加法和数乘运算即可． 
此题主要考查了向量坐标的加法、减法和数乘运算，考查了计算能力，属于简单题．
 17.【答案】;【解析】 
此题主要考查空间向量的加减运算，属于基础题. 
 解： 
 
为的中点，根据向量的平行四边形法则．得， 
同理，可得， 
 

 18.【答案】;【解析】【分析】 
本题考查空间向量的坐标运算及空间向量共线定理的应用，属于基础题. 
由题意可得，的坐标，由可得，即可求实数的值. 
【解答】 
解：向量，，，， 
则，， 
， 
， 
解得 
故答案为 
 

 19.【答案】解：连接，则，，，;【解析】此题主要考查空间向量基本定理，属于基础题.
 20.【答案】解：;【解析】此题主要考查空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律，属于基础题. 
根据空间向量四边形法则和三角形法则，即可解答.
 21.【答案】解：，，，，，，与夹角的余弦值为，，且两向量平行，，解得，，且两向量垂直，，解得;【解析】本题考查了空间向量的坐标表示与坐标运算问题，也考查了空间向量的平行与垂直问题，考查向量的夹角，是基础题目．利用向量的坐标公式计算与夹角的余弦值即可；根据两向量平行的坐标表示，列出方程求出的值；根据两向量垂直，它们的数量积为列式求出的值．
 22.【答案】null;【解析】 
利用空间向量的线性运算求解即可． 
利用空间向量的数量积运算，求模公式求解即可． 
此题主要考查空间向量的线性运算，数量积运算，属于中档题．
 23.【答案】解：Ⅰ 
 
； 
Ⅱ根据条件， 
 
 
； 
．;【解析】Ⅰ根据向量加法、数乘的几何意义和相等向量的概念便可以得出； 
Ⅱ根据Ⅰ，这样根据条件进行数量积的计算便可求出的值，从而便可得出的长度． 
考查向量的加法和数乘的几何意义，相等向量的概念，以及数量积的运算及计算公式，要求而求的方法．