2023高考数学复习专项训练《空间几何体的三视图和直观图》

2023高考数学复习专项训练《空间几何体的三视图和直观图》

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）一个棱长为的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
 

A.  B.  C.  D.

2.（5分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的周长和面积分别为
 

A. ， B. ， C. ， D. ，

3.（5分）如图是某空间几何体的直观图，则该几何体的俯视图是  
 

A.  B.  C.  D.

4.（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（  ） 
 

A.  B.  C.  D.

5.（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为
 

A.  B.  C.  D.

6.（5分）若一个几何体的俯视图是三角形，则它可能是（  ）

A. 球 B. 圆柱
C. 四棱柱 D. 三棱锥

7.（5分）如图为某几何体的三视图图中小正方形的边长为，则该几何体的侧面积为
 

A.  B.  C.  D.

8.（5分）如图所示，网格纸上每个小格都是边长为的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，记该几何体的各棱长度构成的集合为，则
 

A.  B.  C.  D.

二 、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）给出下列几个命题，其中正确的命题有

A. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；
B. 存在每个面都是直角三角形的四面体；
C. 棱台的侧棱延长后交于一点.
D. 球的三视图都是面积相等的圆

10.（5分）下列说法正确的有

A. 若一个圆台的上、下底面半径分别为，，则其内切球的表面积为
B. 正方体的棱长为，，，分别为棱，，的中点，经过，，三点的平面被正方体所截，则截面图形的面积为
C. 已知边长为的菱形中，，则用斜二测画法画出的这个菱形水平放置时的直观图的面积为
D. 正三棱锥的所有棱长均为，其内切球体积为

11.（5分）如图，等腰直角三角形在平面上方，，若以为旋转轴旋转，形成的旋转体在平面内的投影不可能的是
 

A.  B.  C.  D.

12.（5分）给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的是

A. 水平放置的角的直观图一定是角 B. 相等的角在直观图中仍然相等
C. 相等的线段在直观图中仍然相等 D. 两条平行线段在直观图中仍是平行线段

13.（5分）三棱锥的三视图如图，图中所示顶点为棱锥对应顶点的投影，正视图与侧视图是全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为的正方形，则

A. 该棱锥各面都是直角三角形
B. 直线与所成角为
C. 点到底面的距离为
D. 该棱锥的外接球的表面积为

三 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）一个几何体的三视图为如图所示的三个直角三角形，则该几何体表面的直角三角形的个数为______个． 
 

15.（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥四个面的面积中最大值是______． 
 

16.（5分）下列命题中：①5≤4；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③方程＋1＝0没有实数根；④若a、b是实数，则，|a|＋|b|≥0，其中是真命题的序号为____。

17.（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是______． 

 

18.（5分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此三棱锥的最长的棱长等于______．
 

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）有件规格相同的铁件铁的密度是，该铁件的三视图如图所示，其中正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成图中单位． 
指出该几何体的形状特征；

根据图中的数据，求出此几何体的体积；

问这件铁件的质量大约有多重 取， 取？

20.（12分）一幅标准的三角板如图中，为直角，，为直角，，且，把与拼齐使两块三角板不共面，连结如图． 
若是的中点，求证：； 
在九章算术中，称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”，若图中，三棱锥的体积为，则图是否为鳖臑？说明理由．
 

21.（12分）如图示，给出的是某几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是边长为的正三角形，俯视图为半径等于的圆试求这个几何体的体积与侧面积.

22.（12分）如图所示，网格纸上每个小正方形的边长为，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的表面积为 ______ ．
 

23.（12分）画出下列空间几何体的三视图． 
 

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】解：根据题意和三视图知几何体是一个正方体在上底相对角截去两个三棱锥， 
画出几何体的直观图，如图所示： 
正方体的棱长是，且沿其棱的中点截去， 
该几何体的体积， 
故选：． 
由三视图知该几何体是一个正方体在上底相对角截去两个三棱锥，由条件和三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积． 
此题主要考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解答该题的关键，考查空间想象能力，属于基础题．

 

2.【答案】B;

【解析】解：由直观图还原得到原图形，如图， 
 
，，， 
，原图形的周长为， 
 
故选： 
由直观图还原出原图，在原图中打出对应线段的长度，能求出原平面图形的周长和面积． 
此题主要考查原平面图形的周长和面积的求法，考查斜二测法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

3.【答案】B;

【解析】解：该几何体是一个正方体去掉一个角三棱锥得到的组合体，  
故其俯视图的外框为一个正方形，  
由于正方体上底面的对角线在俯视图中能看到，故应画为实线，  
故选：  
由已知可得该几何体的侧视图的外轮廓为正方形，分析俯视图中斜向棱的虚实情况，比照答案后，可得答案．  
该题考查的知识点是简单空间几何体的三视图，其中熟练掌握三视图画法是解答的关键．
 

4.【答案】D;

【解析】解：对于A，由三视图可知，没有这样的几何体存在． 
对于B，由俯视图与侧视图可知，几何体是放倒的三棱锥，不满足正视图，所以不正确． 
对于C，由三视图可知，没有这样的几何体存在． 
对于D，由三视图可知，几何体是放倒的五棱柱，满足题意，正确． 
故选D．
 

5.【答案】C;

【解析】解：由已知三视图得到几何体是平放的三棱柱，底面为直角边分别为，的直角三角形，棱柱的高为，所以外接球的直径为，所以表面积为：； 
故选：． 
由已知三视图得到几何体是平放的三棱柱，底面为直角三角形，高为，由此计算外接球的表面积． 
该题考查了三棱柱的三视图以及外接球表面积的求法；关键是还原几何体为三棱柱并且明确其外接球的直径．
 

6.【答案】D;

【解析】解：球的三个视图均为圆，故A错误； 
圆柱的三个视图一个为圆，另外两个为矩形，故B错误； 
四棱柱的三个视图一个为四边形，另外两个为矩形，故C错误； 
三棱锥的三个视图均为三角形，满足要求，故D正确 
故选D
 

7.【答案】B;

【解析】解：由题意可知几何体是圆锥，底面半径为：，高为， 
所以圆锥的侧面积为： 
故选： 
判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的侧面积即可． 
此题主要考查三视图求解几何体的侧面积，判断几何体的形状是解答该题的关键，是基础题．
 

8.【答案】C;

【解析】由三视图知该几何体的直观图为图中所示的三棱锥，，，，故选 
 


 

9.【答案】BCD;

【解析】 
此题主要考查了几何体的结构特征. 
直接利用棱柱，棱锥，棱台的性质以及球的三视图判断选项即可. 
 
解：对于， 
如上图，几何体，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，故错误； 
对于， 
 
存在每个面都是直角三角形的四面体如四面体，故正确； 
对于，棱台的侧棱延长后交于一点，故正确； 
对于，球的三视图都是面积相等的圆，关于正确， 
故选
 

10.【答案】AC;

【解析】解：对于，球内切于圆台的轴截面如图： 
 
其中，，所以， 
所以， 
因为为球的直径，所以球的半径为，其表面积为，故正确； 
对于，分别取线段，，的中点为，，， 
 
则经过，，三点的平面被正方体所截的图形为正六边形， 
其边长为，面积为，故错误； 
对于，因为边长为的菱形中，，所以菱形的面积为， 
所以用斜二测画法画出的这个菱形水平放置时的直观图的面积为，故正确； 
对于，球内切于正三棱锥的轴截面为： 
 
其中为该三棱锥的高，为该三棱锥的斜高，，为球的半径， 
因为正三棱锥的所有棱长均为，所以可求出，，， 
设，因为∽， 
所以，即，解得， 
所以该三棱锥的内切球体积为，故错误． 
故选： 
画出球内切于圆台、正三棱锥的轴截面，利用图形中的长度关系可求出球的半径，即可判断； 
对于，分别取线段，，的中点为，，，即可得到经过，，三点的平面被正方体所截的图形为正六边形，求出其面积可判断； 
根据平面图形的原图形与直观图面积的关系可判断 
此题主要考查了几何体的内切球半径的计算、斜二测画法与直观图的面积之间的关系及正方体的截面面积的计算，关键点在于判断，，选项时作出图象，属于中档题．
 

11.【答案】C;

【解析】 
此题主要考查旋转体的结构特征，几何体的投影，属于基础题. 
得出形成的旋转体为同底面的两个圆锥组合成的几何体，根据与平面的位置关系即可求解. 
 
解：由题意，形成的旋转体为同底面的两个圆锥组合成的几何体， 
当平面时，所得到的投影为； 
当平面时，所得到的投影为； 
当与平面形成一定的角度，但不为或时，所得到的投影为； 
故选 

 

12.【答案】AD;

【解析】解：对于，水平放置的角的直观图一定是角，故正确； 
对于，角的大小在直观图中会发生改变，故错误； 
对于，有的线段在直观图中的大小会发生改变，故错误； 
对于，由斜二测画法的规则可知，直观图保持线段的平行性，故正确． 
故选： 
根据直观图和斜二测画法的规则，判断选项． 
此题主要考查命题真假的判断，考查直观图和斜二测画法的规则等基础知识，是基础题．
 

13.【答案】CD;

【解析】 
此题主要考查的知识点是简单几何体的三视图，难度中档． 
画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求出三棱锥的棱长，即可解决问题． 
【解析】 
解：该多面体为一个三棱锥，是棱长为的正方体的一部分， 
如图所示，，，，三角形是等边三角形，故不正确； 
因为直线平行于，，所以直线与所成角为，故不正确； 
垂直于底面，所以点到底面的距离为，故正确； 
三棱锥的外接球也就是正方体的外接球，所以，，所以球的表面积故正确. 
故选： 
 
 
 
 

 

14.【答案】4;

【解析】解：由三视图可得：原几何体为三棱锥：平面，平面． 
因此表面个三角形都为直角三角形． 
故答案为：． 
由三视图可得：原几何体为三棱锥：平面，平面即可得出答案． 
此题主要考查了三棱锥的三视图、线面垂直的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

 

15.【答案】2;

【解析】解：将该几何体放入在长方体中，且长、宽、高为、、， 
由三视图可知该三棱锥为， 
由三视图可得，、， 
所以，， 
则三角形的面积， 
因为平面，所以， 
则三角形的面积， 
同理可得，三角形的面积， 
又三角形的面积， 
所以最大的面为，且面积为， 
故答案为：． 
由题意和三视图知，需要从对应的长方体中确定三棱锥，根据三视图的数据和几何体的垂直关系，求出四面体四个面的面积，再确定出它们的最大值． 
该题考查三视图与几何体的直观图的关系，几何体的表面积以及体积的求法，考查计算能力

 

16.【答案】②③④;

【解析】①是假命题。
 

17.【答案】;

【解析】 
此题主要考查了由三视图求几何体的体积，解答该题的关键是判断几何体的形状及求相关几何量的数据．由三视图知几何体为四棱锥，四棱锥的一个侧面与底面垂直，底面是直角梯形画出其直观图，根据主视图是腰长为的等腰直角三角形，求出四棱锥的高和底面直角梯形的高，把数据代入棱锥的体积公式计算． 
 
解：由三视图知几何体为四棱锥，四棱锥的一个侧面与底面垂直，底面是直角梯形，其直观图如图： 
 
主视图是腰长为的等腰直角三角形，四棱锥的高为， 
底面直角梯形的高为，两底边长分别为，． 
四棱锥的体积为． 
故答案为． 
 

 

18.【答案】3;

【解析】解：根据几何体的三视图，转换为几何体为： 
 
根据网格的长度得到：，，， 
由于：平面， 
所以：最长． 
故答案为： 
首先对几何体的三视图进行转换，进一步利用线面的垂直的应用求出结果． 
该题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
 

19.【答案】 解：(1)由三视图可知，该几何体是个组合体；

上部分是个正三棱锥，其三条侧棱两两垂直；

下部分为一个半球，并且正三棱锥的一个侧面与半球的底面相切。…………3分

(2)由图可知：

     …………5分

球半径      …………6分

    …………8分

所以该几何体体积 …………9分

(3) 这100件铁件的质量m:

…………11分

   答：这批铁件的质量超过694g。……12分;

【解析】

略
 

20.【答案】解：（1）证明：连结BM，则BM=CM， 
取BC中点O，连结EO、MO，则MO⊥BC， 
∵BE=CE，∴EO⊥BC， 
∵EO∩MO=O，∴BC⊥平面EMO， 
∵EM⊂平面EMO，∴EM⊥BC． 
（2）解：∵AB=a，三棱锥A-BEC的体积为， 
∴AC=2a，BC=，BE=CE=， 
设点A到平面BCE的距离为d，则， 
解得h=a=AB，∴AB⊥平面BCE， 
∴三棱锥A-BEC中，平面ABC，平面BCE，平面ABE，平面ACE都是直角三角形， 
∴三棱锥A-BEC为鳖臑．;
 

【解析】 
连结，则，取中点，连结、，则，推导出，从而平面，由此能证明． 
由，三棱锥的体积为，推导出，，，设点到平面的距离为，则，求出，从而平面，进崦得到三棱锥为鳖臑． 
此题主要考查线线垂直的证明，考查三棱锥是否为鳖臑的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

21.【答案】解：根据几何体的三视图知， 
 
原几何体是以半径的圆为底面且高的圆锥， 
由于该圆锥的母线长为， 
则它的侧面积， 
体积;

【解析】此题主要考查的知识点是由三视图求体积和表面积，其中根据已知的三视图判断出几何体的形状及底面半径，母线长等几何量是解答的关键． 
该圆锥结合体积公式和侧面积公式可求出其体积和侧面积. 

 

22.【答案】;

【解析】解：根据三视图和题意知几何体是三棱锥，  
直观图如图所示：  
是的中点，平面，且，  
，，，则，  
底面是等腰三角形，，，  
，则，  
该几何体的表面积  
，  
故答案为：．  
由三视图知该几何体是三棱锥，由三视图求出棱长、判断出线面的位置关系，由条件和面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积．  
该题考查了由三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解答该题的关键，考查了空间想象能力．

 

23.【答案】解：空间几何体的三视图如图． 
;

【解析】所给的几何体上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，故其正视图与侧视图应该是上部是三角形，下部是矩形，俯视图是一个圆，按规则画出三视图即可，注意摆放位置