2023高考数学复习专项训练《平面向量的线性运算》

这是一份2023高考数学复习专项训练《平面向量的线性运算》，共15页。试卷主要包含了、单选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。


一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点,则的值为

A. B. C. 1D. 2
2.（5分）已知△ABC的三边分别是a，b，c，设向量m→=(sinB-sinA,3a+c),n→=(sinC,a+b)，且m→//n→，则B的大小是()
A. π6B. 5π6C. π3D. 2π3
3.（5分）向量若则的值是( )
A. B. C. D.
4.（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，动点M在以点C为圆心且与BD相切的圆上，则AM→⋅BD→的最大值是()
A. -1B. 5C. -3+5D. 3+5
5.（5分）古希腊数学家帕普斯通过在矩形ABCD中构造内接直角三角形AEF(∠AEF=90∘)，证明了三角公式cs(α-β)=csαcsβ+sinαsinβ(其中∠DAE=α，∠EAF=β)，如图所示.若AD=23，α=60∘，β=30∘，AF→=a→，EF→=b→，则AD→=()


A. 12a→+b→B. 12a→-b→C. a→+12b→D. a→-12b→
6.（5分）已知a→=(3,2)，b→=(-1,2)，c→=(2,-1).若(a→+kc→)//(2b→-a→)，求实数k的值是( )
A. 8B. -8C. 16D. -16
7.（5分）设D为△ABC所在平面内一点，BC→=4CD→，则正确的是()
A. AD→=-13AB→+43AC→B. AD→=14AB→-54AC→
C. AD→=-14AB→+54AC→D. AD→=43AB→-13AC→
8.（5分）设非零向量a，b满足a+b=a-b，则（ ）
A. a⊥bB. |a|=|b|C. a//bD. |a|>|b|
9.（5分）a→=(m,3m-4)，b→=(1,2)，c→=(m2,-8)，若a→与b→不共线，b→与c→垂直，则m=( )

A. 4B. -4C. ±4D. 0
10.（5分）已知点是的外接圆圆心,且．若存在非零实数,使得,且,则的值为
A. B. C. D.
11.（5分）已知向量a→=(1,2),b→=(-2,m)，若a→//b→，则m=( )
A. -1B. -4C. 4D. 1
12.（5分）已知的重心为G，角A，B，C所对的边分别为，若，则
A. 1:1:1B. C. D.
13.（5分）ΔABC中，AB=5，AC=4，AD→=λAB→+(1-λ)AC→(0<λ<1)，且AD→.AC→=16，则DA→.DB→的最小值等于( )
A. -754B. -214C. -94D. -21
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知向量a→=(1,2,1)，b→=(3,2,2)，且(ka→+b→)//(a→-2b→)，则实数k的值为________.
15.（5分）____________叫做向量的减法；从几何图形上看，向量减法同样有____________法则和____________法则．
16.（5分）已知A，B，C是单位圆O上的三点，且OA→=OB→+OC→，则AB→·AC→=__________.
17.（5分）在△ABC中，E，F分别为AB，AC上的靠近B，C的五等分点，且满足P为线段EF上的任一点，实数x，y满足PA→+xPB→+yPC→=0，设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记SiS=λi(i=1,2,3)，则λ2⋅λ3为取到最大值时，x，y的值分别为__________.
18.（5分）a→=(1,2)，b→=(-2,y)，若a→//b→，则|b→|=______．
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知ΔOBC中，点A是线段BC的中点，点D是线段OB的一个靠近B的三等分点，设OB→=a→，OC→=b→
(1)用向量a→与b→表示向量OA→；
(2)若点E是线段OA靠近A的三等分点，证明DE→平行于BC→．
20.（12分）已知向量a→=(sinx,32)，b→=(csx,-1)。
(1).当a→//b→时，求2cs2x-sin2x的值；
(2).求f(x)=(a→+b→)⊗b→在[-π2,0]上的值域。
21.（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知c=2b，a=3，D是边BC上一点.
(1)求bcsC+2bcsB的值；
(2)若AD→=13AB→+23AC→.
①求证：AD平分∠BAC；
②求△ABC面积的最大值及此时AD的长.
22.（12分）已知a→=(-3,1),b→=(1,-2),c→=(1,1).

(1)求a→与b→的夹角的大小;
(2)若c→//(a→+kb→)，求k的值
23.（12分）已知向量a→=(1,0)，b→=(1,1)，c→=(-1,1)．
(1)λ为何值时，a→+λb→与a→垂直？
(2)若(ma→+nb→)//c→，求mn的值．
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】因为四边形ABPC是平行四边形,D为对角线BC与AP的交点,所以D为PA的中点,所以的值为1.
2.【答案】B;
【解析】【分析】
本题考查向量在解三角形中的应用、正弦定理、余弦定理．考查向量平行坐标运算，考查学生计算能力，属于中档题.
利用m→//n→及正弦定理整理后得a2+c2-b2=-3ac，利用余弦定理计算角B.
【解答】
解：∵△ABC的三边分别是a，b，c，
向量m→=(sinB-sinA,3a+c),n→=(sinC,a+b)，且m→//n→，
∴sinB-sinAsinC=3a+ca+b，由正弦定理得b-ac=3a+ca+b，
整理得a2+c2-b2=-3ac，
∴csB=a2+c2-b22ac=-3ac2ac=-32.
∵B为三角形的内角，
∴B=5π6.
故选B.
3.【答案】C;
【解析】由平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出的值．
向量
则
又
所以
解得.
故选：C．
4.【答案】A;
【解析】
此题主要考查了向量的数量积，向量的几何运用，考查了推理能力与计算能力，属于拔高题 .
由题意知|AC→|=|BD→|=5，求出C到BD的距离，由AM→⋅BD→=AC→⋅BD→+CM→⋅BD→，进一步求解即可 .
解：由题意知|AC→|=|BD→|=5，
设C到BD的距离为d，则由等面积法得 d=1×25=255，
故AM→⋅BD→=(AC→+CM→)⋅BD→
=AC→⋅BD→+CM→⋅BD→，
其中AC→⋅BD→=(AB→+BC→)⋅(BC→+CD→)=-3，
CM→⋅BD→⩽|CM→|⋅|BD→|=2，当且仅当CM→与BD→同向时，等号成立，
则AM→⋅BD→的最大值是-3+2=-1.
故选A.
5.【答案】A;
【解析】
此题主要考查平面向量线性运算及其应用，涉及直角三角形中的三角函数运算，属于中档题.
通过直角三角形中的三角函数运算确定AF，DF，AE，，AB，BE，CF，CE的长度，可得F是CD上靠近C的三等分点，E是BC的中点，结合向量的加减数乘运算即可求解.
解：由题意知∠DAF=α-β=30°,∴cs∠DAF=32,∴tan∠DAF=33，
∴AF=ADcs∠DAF=2332=4,DF=AD·tan∠DAF=23×33=2，
在直角三角形AEF中，EF=AF·sinβ=4×12=2,
AE=AF·csβ=4×32=23，∴AB=AE·cs(90°-α)=23×32=3，
BE=AE·sin(90°-α)=23×12=3，
在直角三角形CEF中，CF=1，CE=3.
综上，F是CD上靠近C的三等分点，E是BC的中点.
AF→=AD→+DF→=AD→+23AB→，EF→=EC→+CF→=12AD→-13AB→，
两式联立消去AB→，得AD→=12AF→+EF→=12a→+b→.
故选A.
6.【答案】C;
【解析】
该题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，属于基础题．
利用平面向量坐标运算法则求出a→+kc→，2b→-a→，利用(a→+kc→)//(2b→-a→)，能求出k的值．

解：∵a→=(3,2)，b→=(-1,2)，c→=(2,-1)．
∴a→+kc→=(3,2)+(2k,-k)=(3+2k,2-k)，
2b→-a→=(-2,4)-(3,2)=(-5,2)，
∵(a→+kc→)//(2b→-a→)，
∴3+2k-5=2-k2，解得k=16．
故选：C．
7.【答案】C;
【解析】
此题主要考查向量的线性运算的运用，属于基础题.
根据平面向量共线性质和平面向量加法的几何意义进行求解即可.
解：由D为△ABC所在平面内一点，BC→=4CD→，
所以B，C，D三点共线，BD→=54BC→，
则AD→=AB→+BD→=AB→+54BC→=AB→+54BA→+54AC→=-14AB→+54AC→，
结合选项可知，A，B，D错误，C正确.
故选C.
8.【答案】A;
【解析】方法一 利用向量加法的平行四边形法则.
在▱ABCD中，设AB→=a，AD→=b，
由|a+b|=|a-b|知，|AC→|=|DB→|，
从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.
故选A.
方法二 ∵|a+b|=|a-b|,
∴|a+b|2=|a-b|2.
∴a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b.
∴a.b=0.∴a⊥b.
故选A.
9.【答案】B;
【解析】
此题主要考查向量的平行与向量垂直的坐标运算，属于基础题.
由b→与c→垂直，求出m的值，然后分别判断即可.

解：由向量垂直可得b→.c→=m2-2×8=0，解得m=±4，
当m=4时，a→=(4,8)，b→=(1,2)，向量a→与b→共线，不合题意；
当m=-4时，a→=(-4,-16)，b→=(1,2)，向量a→与b→不共线，符合题意.
故选B.
10.【答案】A;
【解析】这道题主要考查向量的运算法则、向量共线.
,且,因点是的外接圆圆心,,所以答案选A.
11.【答案】B;
【解析】
该题考查向量坐标的定义，向量平行时的坐标关系，属于基础题．
根据a→//b→即可得到关于m的方程，解方程即可得出m的值．

解：∵a→//b→；
∴1⋅m-(-2)⋅2=0；
∴m=-4．
故选：B．

12.【答案】D;
【解析】
试题分析：由于为重心，，，代入得
，，，
设，则，则，
故答案为D．
考点：1、平面向量基本定理的应用；2、正弦定理的应用．
13.【答案】C;
【解析】
该题考查了向量的线性运算，向量的数量积运算，属于中档题．
可得ΔABC是以C为直角的直角三角形，以D为原点建立平面直角坐标系，设A(x,4)，则B(x-3,0)，则DA→.DB→=x(x-3)，即可得DA→.DB→最小值．

解：AD→=λøverrightarrwAB+(1-λ)AC→(0<λ<1)，
则CD→=λøverrightarrwCB，∴点D在边BC上，
∵AD→.AC→=16，∴|AD→|⋅|AC→|cs∠DAC=16，
∴|AD→|cs∠DAC=4=AC，
∴BC⊥AC，ΔABC时以C为直角的直角三角形．
如图建立平面直角坐标系，设A(x,4)，则B(x-3,0)，

则DA→.DB→=x(x-3)，(0当x=32时，则DA→.DB→最小，最小值为-94．
故选：C．
14.【答案】-12
;
【解析】
【分析】
本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用向量坐标运算性质、向量共线定理即可得出．
【解答】
解：ka→+b→=(k+3,2k+2,k+2)，a→-2b→=(-5,-2,-3)
由题意得：k+3-5=2k+2-2=k+2-3.
解得：k=-12.
故答案为-12.
15.【答案】减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量;三角形;四边形;
【解析】解：向量的减法的定义，
故答案为：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量；三角形，四边形．
16.【答案】-12;
【解析】
此题主要考查了平面向量的加法运算的几何意义，是基础题．
根据题意画出图形，结合图形得出四边形OBAC是菱形，即可求∠BAC=120°，进而求得AB→⋅AC→.解：如图所示，

∵OA→=OB→+OC→，
∴四边形OBAC是平行四边形，
又A，B，C是圆O上的三点，
则有OB=OC，所以四边形OBAC是菱形，
所以OB=OA=AB，
则∠OAB=60°且∠BAC=120°，
∴AB→⋅AC→=|AB→|⋅|AC→|cs∠BAC=1×1×(-12)=-12.
故答案为：-12.

17.【答案】2，2;
【解析】
此题主要考查了平面向量在三角形中的应用，涉及到利用基本不等式求解最值的问题，属于中档题．
利用E，F分别为AB，AC上的靠近B，C的五等分点，得出EF//BC，且S1=15S，S2+S3=45S，λ2+λ3=45，再根据基本不等式以及平面向量基本定理即可求解．
因为E，F分别为AB，AC上的靠近B，C的五等分点，则 EF//BC，
故点P到BC的距离等于三角形ABC的BC边上的高的15，则S1=15S，
所以S2+S3=45S， λ2+λ3=45，
由此可得λ2λ3⩽(λ2+λ32)2=425，当且仅当λ2=λ3=25时取等号，此时P为EF的中点，
延长AP交BC于点D，则D为BC的中点，
则AP→=4PD→=2(PB→+PC→)=2PB→+2PC→，
所以PA→+2PB→+2PC→=0→，又PA→+xPB→+yPC→=0→，
所以x=y=2，
故当λ2λ3取得最大值时，x，y的值分别为2，2
故答案为：2，2.
18.【答案】25;
【解析】解：∵a→//b→；
∴y+4=0；
∴y=-4；
∴b→=(-2,-4)；
∴|b→|=25．
故答案为：25．
根据a→//b→即可求出y=-4，从而可求出向量b→的坐标，进而求出|b→|的值．
考查平行向量的坐标关系，以及根据向量坐标求向量长度的方法．
19.【答案】解：（1）OA→=12（OB→+OC→）=12a→+12b→，
（2）证明：∵点D是线段OB的一个靠近B的三等分点，点E是线段OA靠近A的三等分点，
∴OD→=13OB→=13a→，OE→=13OA→=13（12a→+12b→）=16a→+16b→，
∴DE→=OE→-OD→=-16a→+16b→，
∵BC→=OC→-OB→=b→-a→，
∴DE→=16BC→，
∴DE→平行于BC→．;
【解析】
(1)根据向量的三角形法则即可求出，
(2)根向量的三角形法则和向量的数乘运算可得DE→=16BC→，问题得以证明
该题考查的知识点是向量加减法的三角形法则和向量的共线定理，属于基础题．
20.【答案】解：（1）∵a→∥b→，
∴32csx+sinx=0，
∴tanx=-32，
∴2cs2x-sin2x=2cs2x-2sinxcsxsin2x+cs2x=2-2tanx1+tan2x=2013．
（2）∵a→+b→=(sinx+csx，12)，
∴f(x)=(a→+b→)·b→=22sin(2x+π4)，
∵-π2≤x≤0，
∴-3π4≤2x+π4≤π4，
∴-1≤sin(2x+π4)≤22，
∴-22≤f(x)≤12，
∴函数f（x）的值域为[-22，12]．;
【解析】
本题主要考查平面向量的坐标运算．考查平面向量时经常和三角函数放到一起做小综合题．是高考的热点问题．
(1)利用向量平行的坐标运算，同角三角函数间的关系，得到tanx的值，然后化简2cs2x-sin2x即可
(2)先表示出f(x)=(a→+b→)·b→在=22(sin2x+π4)，再根据x的范围求出函数f(x)的最大值及最小值．

21.【答案】解：(1)因为c=2b，a=3，
所以bcsC+2bcsB=bcsC+ccsB=b·a2+b2-c22ab+c·a2+c2-b22ac=a=3.
(2)①因为AD→=13AB→+23AC→，
所以13(AD→-AB→)=23(AC→-AD→)，即BD→=2DC→，
由a=3知，BD=2，DC=1，
设∠BAD=α，∠DAC=β，∠ADB=θ，
在△ABD中，由正弦定理得，BDsin∠BAD=ABsin∠ADB，
即2sinα=2bsinθ，所以sinα=sinθb，
在△ACD中，由正弦定理得，DCsin∠DAC=ACsin∠ADC，
即1sinβ=bsin(π-θ)，所以sinβ=sinθb，
所以sinα=sinβ，
又α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，
所以∠BAD=∠DAC，
即AD平分∠BAC；
②在△ABC中，因为c=2b，a=3，
代入余弦定理a2=b2+c2-2bccsA得，9=b2(5-4csA)，
而△ABC的面积S=12bcsinA=b2sinA，
解法1：因为A=2α，且为锐角，所以b2=95-4cs2α，
所以S=b2sinA=9sin2α5-4cs2α=18sinαcsα5(sin2α+cs2α)-4(cs2α-sin2α)
=18sinαcsαcs2α+9sin2α=18tanα1+9tan2α=189tanα+1tanα
⩽1829tanα·1tanα=3，
当且仅当9tanα=1tanα，tanα=13取等号，
此时，sinα=1010，cs2α=45，b2=95-4cs2α=5即b=5，c=25，
由S△ABC=S△ABD+S△ADC得3=12c·ADsinα+12b·ADsinα，
解得AD=22.
解法2：由9=b2(5-4csA)得csA=5b2-94b2，
所以S=b2sinA=b21-cs2A=b21-(5b2-94b2)2=34-b4+10b2-9=34-(b2-5)2+16，
所以当b2=5即b=5时，面积S最大为3，
此时在△ABC中，a=3，b=5，c=25，
所以由余弦定理求得csC=b2+a2-c22ab=-55，
在△ADC中，由余弦定理得AD2=AC2+DC2-2AC·DCcsC=8，
所以此时AD=22.;
【解析】
此题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式求最值，属于中档题.
(1)利用余弦定理可得bcsC+2bcsB=bcsC+ccsB=a，即得；
(2)①设∠BAD=α，∠DAC=β，∠ADB=θ，由题可得BD→=2DC→，利用正弦定理可得sinα=sinθb，sinβ=sinθb进而即得；②利用余弦定理及面积公式可表示出三角形的面积，然后利用二次函数的性质或基本不等式可得△ABC面积的最大值，再利用余弦定理可求AD的长.
22.【答案】解：(1)cs=a→·b→|a→||b→|=(-3,1)·(1,-2)10×5=-552=-22，
所以a→与b→的夹角的大小为3π4，
(2)因为c→//(a→+kb→)，a→+kb→=(-3,1)+k(1,-2)=(k-3,1-2k)，
所以k-31=1-2k1,k=43.;
【解析】本题考查向量的坐标运算，向量夹角的求法，向量共线的判定，属于较易题.
(1)由cs=a→·b→|a→||b→|即可求解，
(2)由题意得到k-31=1-2k1,即可求解.
23.【答案】解：(1)∵向量a→=(1,0)，b→=(1,1)，c→=(-1,1)．
∴a→+λøverrightarrwb=(1+λ,λ)，
∵a→+λb→与a→垂直，
∴(a→+λb→)⋅a→=1+λ+0=0，
解得λ=-1，
∴λ=-1时，a→+λb→与a→垂直．
(2)∵ma→+nb→=(m,0)+(n,n)=(m+n,n)，
又(ma→+nb→)//c→，
∴(m+n)×1-(-1×n)=0，∴mn=-2．
∴若(ma→+nb→)//c→，则mn=-2．;
【解析】该题考查向量垂直与平行的性质，考查向量的坐标运算，是基础题．
(1)先求出a→+λb→，再由a→+λb→与a→垂直，利用向量垂直的性质能求出结果．
(2)先求出ma→+nb→，再由(ma→+nb→)//c→，利用向量平行的性质能求出结果．