第十七章 特殊三角形（测能力）——2022-2023学年冀教版数学八年级上册单元练习

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第十七章 特殊三角形 【满分：120】一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(   )A.3，4，5 B.2，3，4 C.4，6，7 D.5，11，122.将一副直角三角板按如图的位置摆放,使得它们的直角边互相垂直,则的度数是(   )A.95° B.100° C.105° D.110°3.如图，三角形ABC中，点D是AB边的中点，，，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF.若，则k的值为(   )A.1 B.2 C.3 D.44.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺寸），则AB的长是(   )A.50.5寸 B.52寸 C.101寸 D.104寸5.如图，在中，，CD为AB边上的中线，延长CB至点E，使，连接DE，取DE中点F，连接BF.若，，则BF的长为(   )A.2 B.2.5 C.3 D.46.如图，已知中，，，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为(   )A. B.4 C. D.57.如图，，，，，垂足分别是点D，E，，，则DE的长是(   )A. B.2 C. D.8.如图，AD平分，，过D作于E，交BA的延长线于F，有下列结论：①；②；③；④.其中结论正确的序号为(   )A.①②③④ B.②③④ C.①②③ D.①②④9.如图，等边三角形DEF的顶点分别在等边三角形ABC的各边上，且于点E，若，则DB的长为(   )A. B. C. D.10.如图，在等腰与等腰中，，，，连接BD和CE，相交于点P，交AC于点M，交AD于点N，连接AP.下列结论：①；②；③PA平分；④若，则.其中一定正确的结论的个数是(   )A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题（每小题4分，共20分）11.我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k.若，则该等腰三角形的顶角为__________度.12.如图，已知中，，O为AB的中点，点E在BC上，且，则__________度.13.如图，等边的周长为18cm，BD为AC边上的中线，动点P，Q分别在线段BC，BD上运动，连接CQ，PQ，当BP的长为___________cm时，线段的长度最短.14.如图，设P为等边三角形ABC内的一点，且，，，则___________.15.如图，中，点E在边AC上，，CD垂直于BE的延长线于点D，，，则边BC的长为___________.三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）16.（8分）如图，，，，E，F是垂足，，求证：.17.（8分）如图，四边形ABCD中，，，，，，求CD的长.18.（10分）如图，将等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点作直线m于点直线m于点D.(1)求证:.(2)若设的三边长分别为，利用此图证明勾股定理.19.（10分）如图，在中，，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高.（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的数量关系？请加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，存在怎样的数量关系？请说明理由.20.（12分）问题情景：如图①，有一块直角三角板PMN放置在上（P点在内），三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C.试问与是否存在某种确定的数量关系？（1）特殊探究：若，则____________度，___________度，__________度；（2）类比探索：请探究与的关系；（3）类比延伸：如图②，改变直角三角板PMN的位置，使P点在外，三角板PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B和点C，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论.21.（12分）在等边中，线段AM为BC边上的中线.当动点D在直线AM上时，以CD为边在CD的下方作等边，连接BE.（1）若点D在线段AM上（如图①），则AD__________BE（填“>”“<”或“=”），________度；（2）设直线BE与直线AM的交点为O.（ⅰ）当动点D在线段AM的延长线上时（如图②）试判断AD与BE的数量关系，并说明理由；（ⅱ）当动点D在直线AM上时，试判断的度数是不是定值.若是，请求出的度数；若不是，请说明理由.
答案以及解析1.答案：A解析：A.，能组成直角三角形，故A选项符合题意；B.，不能组成直角三角形，故B选项不符合题意；C.，不能组成直角三角形，故C选项不符合题意；D.，不能组成直角三角形，故D选项不符合题意.故选A.2.答案：C解析：如图.由题意,得,.由三角形的外角和定理,得.3.答案：A解析：，，.，，，，.故选A.4.答案：C解析：由题知AB的中点为O，过D作于E，如图所示.由题意得，寸，寸，设寸，则寸，寸，在中，，即，解得，，寸，故选C.5.答案：B解析：在中，.是斜边上的中线，.，点F为DE的中点，是的中位线，.6.答案：B解析：，，，，又，，，，，，.故选B.7.答案：B解析：，，，.，，.又，，，，.故选B.8.答案：A解析：AD平分，，，.在和中，，，故①正确；，.在和中，，，，故②正确；，，（设AC交BD于点O），，故③正确；易得，，，，，，，故④正确.综上所述，正确的结论为①②③④.故选A.9.答案：C解析：由题意知，，.是等边三角形，，，易知，，，，设，则，，，.故选C.10.答案：C解析：①，，又，，，，故①结论正确；②，，，，，故②结论错误；③如图，过点A作，，，，且，，，又，，PA平分，故③结论正确；④如图，在线段PE上截取，连接AO，，，又，，，.，且PA平分，，又，是等边三角形，，，，故④结论正确.故选C.11.答案：90解析：，设该等腰三角形的顶角，则底角，，，该等腰三角形的顶角为90°.12.答案：75解析：，，O为AB的中点，，是等边三角形，，.13.答案：3解析：如图，连接AQ，等边中，BD为AC边上的中线，BD垂直平分AC，，.当A，Q，P三点共线，且时，取最小值，最小值为线段AP的长，此时P为BC的中点.又等边的周长为18cm，cm.14.答案：150°解析：为等边三角形，，，把绕B点逆时针旋转60°可得到，如图所示，由旋转的性质，可得，，连接DP，则为等边三角形，，.在中，，，，，，.15.答案：解析：如图，延长BD到点F，使，连接CF.，，，过点C作交DF于点G，.，，.又，，.又，，，，即.，，，.在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得.
 16.答案：证明：，，即.又，，.在与中，，，，.17.答案：如图，延长AD，BC交于点E.，，，，，是等边三角形.设，，，，.，解得，.18.答案：(1)见解析(2)见解析解析：(1)证明：..在和中,.(2)由(1)知，,.,，即.19.答案：（1）.证明：如图，连接AD，则，即，，.（2）不成立.理由：①当点D在BC的延长线上时，有.如图，连接AD，则，即，，，即.②同理，当点D在CB的延长线上时，有.20.答案：（1）130；90；40.（2），，.（3）不成立.结论：.具体过程如下：在中，，，，，即，.21.答案：（1）=；30.（2）（ⅰ）.理由：和是等边三角形，，，，，，，，.（ⅱ）的度数是定值，.理由：当点D在线段AM上时，如图，由，得，又，.是等边三角形，线段AM为BC边上的中线，AM平分，即，.当点D在线段AM的延长线上时，如图.和都是等边三角形，，，，，.在和中，，，同理可得，.故的度数是定值，.