专题12 平面解析几何必考题型（真题、自招、模拟）分类训练-高考数学二轮复习讲义+分层训练（上海高考专用）

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专题12平面解析几何必考题型分类训练
【三年高考真题练】
一．选择题（共2小题）
1．（2020•上海）已知椭圆+y2＝1，作垂直于x轴的垂线交椭圆于A、B两点，作垂直于y轴的垂线交椭圆于C、D两点，且AB＝CD，两垂线相交于点P，则点P的轨迹是（　　）
A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线
2．（2022•上海）设集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}
①存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧；
②存在直线l，使得集合Ω中存在无数点在l上；（　　）
A．①成立②成立 B．①成立②不成立
C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立
二．填空题（共9小题）
3．（2022•上海）双曲线﹣y2＝1的实轴长为 　 　．
4．（2021•上海）若x2+y2﹣2x﹣4y＝0，求圆心坐标为 　 　．
5．（2022•上海）若关于x，y的方程组有无穷多解，则实数m的值为 　 　．
6．（2021•上海）直线x＝﹣2与直线x﹣y+1＝0的夹角为　 　．
7．（2020•上海）已知直线l1：x+ay＝1，l2：ax+y＝1，若l1∥l2，则l1与l2的距离为　 　．
8．（2021•上海）已知抛物线y2＝2px（p＞0），若第一象限的A，B在抛物线上，焦点为F，|AF|＝2，|BF|＝4，|AB|＝3，求直线AB的斜率为 　 　．
9．（2020•上海）已知椭圆C：+＝1的右焦点为F，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限），若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，求直线l的方程是　 　．
10．（2021•上海）已知椭圆x2+＝1（0＜b＜1）的左、右焦点为F1、F2，以O为顶点，F2为焦点作抛物线交椭圆于P，且∠PF1F2＝45°，则抛物线的准线方程是 　 　．

11．（2022•上海）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：﹣y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，则实数a的取值范围为 　 　．
三．解答题（共6小题）
12．（2021•上海）（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足|PA|﹣|PB|＝20千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P点坐标．
（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现|QA|﹣|QB|＝30千米，|QC|﹣|QD|＝10千米，求|OQ|（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1°）






13．（2022•上海）设有椭圆方程Γ：+＝1（a＞b＞0），直线l：x+y﹣4＝0，Γ下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0）．
（1）a＝2，AM中点在x轴上，求点M的坐标；
（2）直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点F2，在△ABM中有一内角余弦值为，求b；
（3）在椭圆Γ上存在一点P到l距离为d，使|PF1|+|PF2|+d＝6，随a的变化，求d的最小值．

14．（2022•上海）已知椭圆Γ：+y2＝1（a＞1），A、B两点分别为Γ的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线l：x＝a上，且C在第一象限．
（1）设F是椭圆Γ的右焦点，且∠AFB＝，求Γ的标准方程；
（2）若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆Γ上，并说明理由；
（3）设直线AD、BC分别交椭圆Γ于点P、点Q，若P、Q关于原点对称，求|CD|的最小值．






15．（2021•上海）已知Γ：+y2＝1，F1，F2是其左、右焦点，直线l过点P（m，0）（m≤﹣），交椭圆于A，B两点，且A，B在x轴上方，点A在线段BP上．
（1）若B是上顶点，||＝||，求m的值；
（2）若•＝，且原点O到直线l的距离为，求直线l的方程；
（3）证明：对于任意m＜﹣，使得∥的直线有且仅有一条．










16．（2020•上海）已知双曲线Γ1：﹣＝1与圆Γ2：x2+y2＝4+b2（b＞0）交于点A（xA，yA）（第一象限），曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x＞|xA|的部分．
（1）若xA＝，求b的值；
（2）当b＝，Γ2与x轴交点记作点F1、F2，P是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF1|＝8，求∠F1PF2；
（3）过点D（0，+2）斜率为﹣的直线l与曲线Γ只有两个交点，记为M、N，用b表示•，并求•的取值范围．







17．（2020•上海）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．
（1）若点M纵坐标为，求M与焦点的距离；
（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：yA•yB为常数；
（3）是否存在t，使得yA•yB＝1且yP•yQ为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．

【三年自主招生练】
一．选择题（共6小题）
1．（2020•上海自主招生）已知直线m：y＝xcosa和n：3x+y＝c，则有（　　）
A．m与n可能重合
B．m与n不可能垂直
C．直线m上存在一点P，使得直线n以P为中心旋转后与m重合
D．以上都不对
2．（2020•上海自主招生）已知直线m：y＝xcosα和n：3x+y＝c，则（　　）
A．m和n可能重合
B．m和n不可能垂直
C．存在直线m上一点P，以P为中心旋转后与n重合
D．以上都不对
3．（2022•上海自主招生）⊙O1，⊙O2与y＝kx，x轴正半轴均相切，r1r2＝2，交点P（2，2），则k＝（　　）
A．1 B． C． D．
4．（2020•上海自主招生）若三条直线x﹣2y+2＝0，x＝2，x+ky＝0将平面划分成6个部分，则k可能的取值情况是 （　　）
A．只有唯一值 B．有两个不同的值
C．有三个不同的值 D．无穷多个值
5．（2022•上海自主招生）椭圆的焦点为F1，F2，点P在上，当∠F1PF2最大时，则＝（　　）
A． B． C． D．
6．（2022•上海自主招生）椭圆在椭圆C上，kAP，kBP为相反数（k与﹣k），则kAB与（　　）
A．b，k有关，与P点无关 B．P点，b，k有关
C．P，k有关，与b无关 D．P，b有关，与k无关
二．填空题（共8小题）
7．（2020•上海自主招生）设抛物线y2＝2px，过焦点F作直线，交抛物线于A，B两点，满足．过点A作抛物线准线的垂线，垂足记为点A1，准线交x轴于点C，若，则p＝　 　．
8．（2020•上海自主招生）若k＞4，直线kx﹣2y﹣2k+8＝0与2x+k2y﹣4k2﹣4＝0和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是　 　．
9．（2020•上海自主招生）已知边长为a的正三角形ABC，D，E分别在边AB，BC上，满足AD＝BE＝，联结AE，CD，则AE和CD的夹角为　 　．
10．（2020•上海自主招生）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线m交抛物线于A，B两点，若A，B横坐标之和为5，则直线m的条数为　 　．
11．（2020•上海自主招生）△ABC的顶点坐标分别为A（3，4），B（6，0），C（﹣5，﹣2），则角A的平分线所在的直线方程为　 　．
12．（2020•上海自主招生）当实数x、y满足x2+y2＝1时，|x+2y﹣a|+|a+6﹣x﹣2y|的取值与x、y均无关，则实数a的取值范围是　 　．
13．（2020•上海自主招生）如图所示，抛物线3y2＝x的焦点为F，A在抛物线上，A点处的切线与AF夹角为30度，则A点横坐标为 　 　．

14．（2020•上海自主招生）抛物线3y2＝x的焦点为F，A在抛物线上，A点处的切线与AF夹角为30°，则A点的横坐标为　 　．
三．解答题（共8小题）
15．（2022•上海自主招生）椭圆，弦AB中垂线过，求离心率e的取值范围．

16．（2022•上海自主招生）双曲线，焦点为A，B，点C在双曲线上，，求△ABC的周长．






17．（2022•上海自主招生）F1，F2为双曲线两焦点（焦点在x轴），直线AB经过F1且与双曲线左右两支交于点A，B，2AF1＝AB，∠F1AF2＝120°，求双曲线的离心率．






18．（2021•上海自主招生）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，B为椭圆上一点，延长F2B到点A，满足BF1＝BA．AF1的中点为H，则下列两个结论是否正确：
结论1：AF1⊥BH；
结论2：BH为椭圆的切线．



19．（2021•上海自主招生）确定曲线的类型．




20．（2020•上海自主招生）抛物线y2＝2px，过焦点F作直线交抛物线于A，B两点，满足，过A作抛物线准线的垂线，垂足记为A'，准线交x轴于C点，若，求p．




21．（2020•上海自主招生）抛物线y2＝2px，过焦点F作直线交抛物线于A、B两点，满足，过A作抛物线准线的垂线，垂足记为A'，O为顶点，若，求p．




22．（2021•上海自主招生）2个抛物线最多分平面为7份，3个最多分16份，求4个抛物线最多分平面为几份？

【最新模拟练】
一．选择题（共7小题）
1．（2022•普陀区二模）已知点M（2，2），直线l：x﹣y﹣1＝0，若动点P到l的距离等于|PM|，则点P的轨迹是（　　）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线
2．（2022•浦东新区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），变换T将xOy平面上的点P（x，y）对应到另一个平面直角坐标系x'O'y'上的点P'（2xy，x2﹣y2），则当点P沿折线段A﹣B﹣C运动时，在变换T作用下，动点P'的轨迹是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022•浦东新区校级二模）设F1、F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|＝6a，∠PF1F2是△PF1F2的最小内角，且∠PF1F2＝30°，则双曲线C的渐近线方程是（　　）
A．x±y＝0 B．x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
4．（2022•杨浦区模拟）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．

5．（2022•浦东新区校级二模）已知直线l：y＝m（x﹣2）+2与圆C：x2+y2＝9交于A，B两点，则使弦长|AB|为整数的直线l共有（　　）
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
6．（2022•黄浦区二模）将曲线（x≥0）与曲线（x≤0）合成的曲线记作C．设k为实数，斜率为k的直线与C交于A，B两点，P为线段AB的中点，有下列两个结论：①存在k，使得点P的轨迹总落在某个椭圆上；②存在k，使得点P的轨迹总落在某条直线上，那么（　　）
A．①②均正确 B．①②均错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
7．（2022•闵行区二模）已知直线与圆x2+y2＝100有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，则满足的l有（　　）
A．40条 B．46条 C．52条 D．54条
二．填空题（共10小题）
8．（2022•杨浦区模拟）若直线l1：2x+my+1＝0与l2：y＝3x﹣1垂直，则实数m＝　 　．
9．（2022•上海模拟）已知双曲线x2+my2＝1的一条渐近线方程为y＝2x，则该双曲线的焦距为 　 　．
10．（2022•黄浦区校级模拟）设有直线l：kx+y﹣3＝0，l的倾斜角为α．若在直线l上存在点A满足，且tanα＜0，则k的取值范围是 　 　．
11．（2022•徐汇区二模）已知圆的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0，则圆心到直线l：3x+4y+4＝0的距离d＝　 　．
12．（2022•徐汇区二模）已知m∈R，若直线l1：mx+y+1＝0与直线l2：9x+my+2m+3＝0平行，则m＝　 　．
13．（2022•浦东新区校级模拟）如图，F为双曲线﹣＝1（b＞a＞0）的右焦点，过F作直线l与圆x2+y2＝b2切于点M，与双曲线交于点P，且M恰为线段PF的中点，则双曲线的渐近线方程是　 　．

14．（2022•上海模拟）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足PA|＝λ|PB|（其中λ是正常数，且λ≠1），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点M（﹣1，0）、N（2，1），P是圆O：x2+y2＝3上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为 　 　．
15．（2022•宝山区二模）已知P是双曲线上的点，过点P作双曲线两渐近线的平行线l1，l2，直线l1，l2分别交x轴于M，N两点，则|OM|•|ON|＝　 　．
16．（2022•青浦区校级模拟）曲线C：+＝1（b＞0）与直线l：kx﹣y+k+2＝0恒有公共点，则b的取值范围是　 　．
17．（2022•虹口区二模）设a∈R，k∈R，三条直线l1：ax﹣y﹣2a+5＝0，l2：x+ay﹣3a﹣4＝0，l3：y＝kx，则l1与l2的交点M到l3的距离的最大值为 　 　．
三．解答题（共20小题）
18．（2022•嘉定区二模）已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为，它的右顶点与抛物线的焦点重合，经过点A（﹣9，0）且不垂直于x轴的直线与双曲线C交于M、N两点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若点M是线段AN的中点，求点N的坐标；
（3）设P、Q是直线x＝﹣9上关于x轴对称的两点，求证：直线PM与QN的交点必在直线上．








19．（2022•崇明区二模）已知双曲线Γ：x2﹣y2＝4，双曲线Γ的右焦点为F，圆C的圆心在y轴正半轴上，且经过坐标原点O，圆C与双曲线Γ的右支交于A、B两点．
（1）当△OFA是以F为直角顶点的直角三角形，求△OFA的面积；
（2）若点A的坐标是，求直线AB的方程；
（3）求证：直线AB与圆x2+y2＝2相切．






20．（2022•徐汇区三模）已知椭圆焦距为，过点，斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点A、B．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若k＝1，|AB|的最大值；
（3）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C、D和点共线，求实数k的值．










21．（2022•浦东新区校级二模）已知椭圆C：的左、右焦点分别是F1，F2，其长轴长是短轴长的2倍，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P为椭圆C上的动点，点Q为圆N：x2+（y+1）2＝4上的动点，求线段PQ长的最大值．






22．（2022•闵行区校级模拟）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）．焦距为2c，＝，左、右焦点分别为F1，F2．在椭圆E上任取一点P，△F1PF2的周长为4（+1）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设点P关于原点的对称点为Q．过右焦点F2作与直线PQ垂直的直线交椭圆E于A，B两点，求的取值
范围；
（3）若过点R（﹣1，0）的直线x+y+1＝0与椭圆E交于C，D两点，求+的值．








23．（2022•金山区二模）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，设P是第一象限内椭圆Γ上一点，PF1、PF2的延长线分别交椭圆Γ于点Q1、Q2，直线Q1F2与Q2F1交于点R．
（1）求△PQ1F2的周长；
（2）当PF2垂直于x轴时，求直线Q1Q2的方程；
（3）记△F1Q1R与△F2Q2R的面积分别为S1、S2，求S2﹣S1的最大值．

24．（2022•闵行区二模）已知点F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，直线l：y＝kx+t与椭圆Γ有且仅有一个公共点，直线F1M⊥l，F2N⊥l，垂足分别为点M、N．（1）求证：t2＝2k2+1；
（2）求证：为定值，并求出该定值；
（3）求的最大值．








25．（2022•杨浦区二模）如图，中心在原点O的椭圆Γ的右焦点为，长轴长为8．椭圆Γ上有两点P，Q，连结OP，OQ，记它们的斜率为kOP，kOQ，且满足．
（1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）求证：|OP|2+|OQ|2为一定值，并求出这个定值；
（3）设直线OQ与椭圆Γ的另一个交点为R，直线RP和PQ分别与直线交于点M，N，若△PQR和△PMN的面积相等，求点P的横坐标．





26．（2022•奉贤区模拟）设C1是以F为焦点的抛物线y2＝2px（p＞0），C2是以直线2x﹣y＝0与2x+y＝0为渐近线，以（0，）为焦点的双曲线．C1与C2在第一象限有两个公共点A、B．
（1）求双曲线C2的标准方程；
（2）求的最大值；
（3）是否存在正数p，使得此时△FAB的重心G恰好在双曲线C2的渐近线上？若存在，求出p的值；若不存在，请说明理由．






27．（2022•徐汇区二模）在平面直角坐标系中，已知点、，动点C（x，y）关于直线y＝x的对称点为D，且，动点C的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）已知动点P在曲线E上，点Q在直线上，且，求线段PQ长的最小值；
（3）过点且不垂直于x轴的直线交曲线E于M、N两点，点M关于x轴的对称点为M'，试问：在x轴上是否存在一定点T，使得M'、N、T三点共线？若存在，求出定点T的坐标；若不存在，说明理由．






28．（2022•闵行区校级二模）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）经过点（，1），且渐近线方程为y＝±x．
（1）求a，b的值；
（2）点A，B，D是双曲线C上不同的三点，且B，D两点关于y轴对称，△ABD的外接圆经过原点O．求证：点A与点B的纵坐标互为倒数；
（3）在（2）的条件下，试问是否存在一个定圆与直线AB相切，若有，求出定圆方程，没有说明理由．








29．（2022•静安区模拟）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，上，下顶点分别为A，B，四边形AF1BF2的面积和周长分别为2和4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y＝k（x+1）（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中垂线交y轴于M点，且△EMF为直角三角形，求直线l的方程．







30．（2022•普陀区二模）设F1，F2分别是双曲线的左、右两焦点，过点F2的直线l：x﹣my﹣t＝0（m，t∈R）与Γ的右支交于M，N两点，Γ过点（﹣2，3），且它的虚轴的端点与焦点的距离为．
（1）求双曲线Γ的方程；
（2）当|MF1|＝|F2F1|时，求实数m的值；
（3）设点M关于坐标原点O的对称点为P，当时，求△PMN面积S的值．









31．（2022•奉贤区二模）椭圆x2+4y2＝68上有两点A（8，yA）和T（xT，﹣4），yA＞0，xT＜0．点A关于椭圆中心O的对称点为点B，点P（t，﹣2t）在椭圆内部，t≠0．F1是椭圆的左焦点，F2是椭圆的右焦点．
（1）若点P在直线AT上，求点P坐标；
（2）是否存在一个点P，满足，若满足求出点P坐标，若不存在请说明理由；
（3）设△AOP的面积为S1，△BTP的面积为S2，求的取值范围．





32．（2022•黄浦区校级模拟）已知双曲线是其左、右两个焦点．P是位于双曲线Γ右支上一点，平面内还存在Q满足．
（1）若Q的坐标为，求λ的值；
（2）若yp＞0，λ＝3，且，试判断Q是否位于双曲线上，并说明理由；
（3）若Q位于双曲线上，试用λ表示，并求出λ＝7时的值．









33．（2022•青浦区校级模拟）已知椭圆C：＝1，过动点M（0，m）（m＞0）的直线l交x轴于点N，交C于点A、P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．
（1）求椭圆C的焦距和短轴长；
（2）设直线PM的斜率为k，QM的斜率为k'，证明：为定值；
（3）求直线AB倾斜角的最小值．





34．（2022•浦东新区校级模拟）已知A、B为椭圆（a＞b＞0）和双曲线的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且（λ∈R，|λ|＞1），设AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k1、k2、k3、k4．
（1）若λ＝2，求|OP|2的值（用a、b的代数式表示）；
（2）求证：k1+k2+k3+k4＝0；
（3）设F1、F2分别为椭圆和双曲线的右焦点，若∥，求的值．




35．（2022•长宁区二模）已知A、B分别为椭圆Γ：+y2＝1（a＞1）的上、下顶点，F是椭圆Γ的右焦点，M是椭圆Γ上异于A、B的点．
（1）若，求椭圆Γ的标准方程；
（2）设直线l：y＝2与y轴交于点P，与直线MA交于点Q，与直线MB交于点R，求证：|PQ|•|PR|的值仅与a有关；
（3）如图，在四边形MADB中，MA⊥AD，MB⊥BD，若四边形MADB面积S的最大值为，求a的值．
















36．（2022•宝山区校级二模）设椭圆Γ：的左、右焦点分别为F1，F2．直线l若与椭圆Γ只有一个公共点P，则称直线l为椭圆Γ的切线，P为切点．
（1）若直线l：y＝x+2与椭圆相切，求椭圆的焦距|F1F2|；
（2）求证：椭圆Γ上切点为P（x0，y0）的切线方程为；
（3）记F1到直线l的距离为d1，F2到直线l的距离为d2，判断“d1d2＝1”是“直线l与椭圆Γ相切”的什么条件？请给出你的结论和理由．






37．（2022•杨浦区模拟）已知椭圆C：＝1，过定点T（t，0）的直线交椭圆于P，Q两点，其中t∈（0，a）．
（1）若椭圆短轴长为2且经过点（﹣1，），求椭圆方程；
（2）对（1）中的椭圆，若t＝，求△OPQ面积的最大值；
（3）在x轴上是否存在点S（s，0）使得∠PST＝∠QST恒成立？如果存在，求出s，t的关系；如果不存在，说明理由．