专题11 空间向量与立体几何必考题型（真题、自招、模拟）分类训练-高考数学二轮复习讲义+分层训练（上海高考专用）

专题11空间向量与立体几何必考题型分类训练

【三年高考真题练】

一．解答题（共4小题）

1．（2022•上海）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为1．

（1）若AA1＝4，M为AA1的中点，求直线MO1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）

（2）若圆柱过OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．

2．（2021•上海）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝2，AA1＝3．

（1）若P是棱A1D1上的动点，求三棱锥C﹣PAD的体积；

（2）求直线AB1与平面ACC1A1的夹角大小．

3．（2021•上海）四棱锥P﹣ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE⊥平面ABCD．

（1）若△PAB为等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD的体积；

（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的大小．

4．（2020•上海）已知ABCD是边长为1的正方形，正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱．

（1）求该圆柱的表面积；

（2）正方形ABCD绕AB逆时针旋转至ABC1D1，求线段CD1与平面ABCD所成的角．

【三年自主招生练】

一．选择题（共1小题）

1．（2022•上海自主招生）空间中到正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱A1D1，AB，CC1距离相等的点有（　　）

A．无数 B．0 C．2 D．3

二．填空题（共2小题）

2．（2020•上海自主招生）矩形ABCD的边AB＝，过B，D作直线AC的垂线，垂足分别为E，F，且E，F分别为AC的三等分点．沿着AC将矩形翻折，使得二面角B﹣AC﹣D成直角，则BD长度为　   　．

3．（2020•上海自主招生）若四面体的各个顶点到平面α距离都相等，则称平面α为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数是　   　．

【最新模拟练】

一．选择题（共1小题）

1．（2022•闵行区校级模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，动点M在侧面BCC1B1上运动（包括边界），且MB1＝2MB，则D1M与平面ADD1A1所成角的正切值的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

二．填空题（共4小题）

2．（2022•黄浦区二模）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，，，若用向量、、表示向量，则＝　   　．

3．（2022•金山区二模）若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则顶点A到平面BB1D1D的距离为 　   　．

4．（2022•宝山区校级二模）如图，一个正方体雕塑放置在水平基座上，其中一个顶点恰好在基座上，与之相邻的三个顶点与水平基座的距离分别是2，3，4，则正方体的8个顶点中与水平基座距离的最大值为 　   　．

5．（2022•上海模拟）如图，在三棱锥P﹣ABC中，点O为AB的中点，点P在平面ABC的射影恰为OB的中点E，已知AB＝2PO＝2，点C到OP的距离为，则当∠ACB最大时，直线PC与平面PAB所成角的大小为 　   　．

三．解答题（共20小题）

6．（2022•浦东新区校级二模）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝．

（1）证明：A1C⊥BD；

（2）求直线AC与平面BB1D1D所成的角θ的大小．

7．（2022•黄浦区二模）如图，直角边长为1的等腰直角三角形ABC及其内部绕BC边旋转一周，形成一个圆锥．

（1）求该圆锥的侧面积S；

（2）三角形ABC绕BC逆时针旋转到A1BC，M为线段AA1中点，求CM与平面AA1B所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

8．（2022•闵行区二模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，PD⊥平面ABCD，∠BAD＝60°，E为棱BC的中点．

（1）求证：ED⊥平面PAD；

（2）若PD＝AD＝2，求点D到平面PBC的距离．

9．（2022•长宁区二模）已知圆锥的顶点为S，底面圆心为O，母线SA的长为．

（1）若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积；

（2）A、B是底面圆周上的两个点，∠AOB＝90°，M为线段AB的中点，若圆锥的底面半径为2，求直线SM与平面SOA所成角的大小．

10．（2022•浦东新区校级模拟）如图，正四棱锥P﹣ABCD中．

（1）求证：BD⊥平面PAC；

（2）若AB＝2，Vp﹣ABCD＝，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

11．（2022•闵行区校级二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，△PAB是边长为2的等边三角形，PD⊥AB，PD＝．

（1）设AB中点E，求证：DE⊥平面PAB；

（2）求平面PAB和平面PCD所成锐二面角的大小．

12．（2022•浦东新区校级二模）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝AD＝2，E、F分别是AB、BC的中点．

（1）证明：A1、C1、F、E四点共面；

（2）求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．

13．（2022•徐汇区二模）如图，已知AB为圆柱OO1的底面圆O的一条直径，P为圆周上的一点，OA＝2，∠BOP＝60°，圆柱OO1的表面积为24π．

（1）求三棱锥A1﹣APB的体积；

（2）求直线AP与平面A1PB所成的角的大小．

14．（2022•宝山区二模）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，点E是棱AB上的点，AE＝2EB．

（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；

（2）求点C到平面D1DE的距离．

15．（2022•上海模拟）如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱OO1的侧面积为，OA＝2，∠AOP＝120°．

（1）求三棱锥A1﹣APB的体积；

（2）求二面角A1﹣PB﹣A的大小．

16．（2022•普陀区二模）如图所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，侧棱长为4，设（0＜λ＜1）．

（1）当λ＝时，求直线B1E与平面ABCD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）；

（2）当λ＝时，若，且＝0，求正实数t的值．

17．（2022•金山区二模）如图，已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝BC＝1，AD＝2，．

（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；

（2）求直线BS与平面SCD所成角的大小．

18．（2022•杨浦区二模）如图所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长1，侧棱长4，AA1中点为E，CC1中点为F．

（1）求证：平面BDE∥平面B1D1F；

（2）连结B1D，求直线B1D与平面BDE所成的角的大小．

19．（2022•闵行区校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB，△PAD均为等边三角形，BC＝CD．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若PA＝BD＝BC，M，N分别是PC，BC的中点，Q在边AD上，且DQ＝2QA．求直线AM与平面PQN所成角的正弦值．

20．（2022•青浦区校级模拟）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝，点P、Q分别为A1B1、BC的中点，C1Q与底面ABC所成的角为arctan2．

（1）求异面直线PB与QC1所成角的大小（结果用反三角函数表示）；

（2）求点C与平面AQC1的距离．

21．（2022•浦东新区校级二模）在三棱锥A﹣BCD中，已知CB＝CD＝，BD＝2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO＝2，E为AC中点．

（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；

（2）若点F在BC上，满足BF＝BC，设二面角F﹣DE﹣C的大小为θ，求sinθ的值．

22．（2022•浦东新区二模）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1＝2，点D是线段A1B1的中点．

（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；

（2）已知P为侧棱BB1的中点，求点P到平面BCD的距离．

23．（2022•嘉定区二模）如图，圆锥的底面半径OA＝2，高PO＝6，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点．求：

（1）该圆锥的表面积；

（2）直线CD与平面PAB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

24．（2022•静安区模拟）如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．

（1）证明：OA⊥CD；

（2）已知△OCD是边长为1的等边三角形，且三棱锥A﹣BCD的体积为，若点E在棱AD上，且二面角E﹣BC﹣D的大小为45°，求．

25．（2022•徐汇区校级模拟）如图，在Rt△AOB中，，斜边AB＝4，D是AB中点，现将Rt△AOB以

直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC＝90°，

（1）求圆锥的侧面积；

（2）求直线CD与平面BOC所成的角的大小；（用反三角函数表示）