第04讲 函数最值与性质-高考数学二轮复习讲义+分层训练（上海高考专用）

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【考点梳理】
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.
2.函数的最值
3.函数的奇偶性
4.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
【解题方法和技巧】
1.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
2.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
（4）考查数形结合思想的应用．
3.新定义的函数问题以及函数的有解问题，涉及到求函数的值域问题. 求函数最值和值域的常用方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
【考点剖析】
【考点1】函数的最值
题型一：利用函数单调性求最值或值域
一、解答题
1．（2022·上海市七宝中学模拟预测）甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速地驶往乙地，速度不得超过千米时.已知汽车每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为，固定部分为元.
(1)把全程运输成本（元）表示为速度（千米时）的函数；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？
【答案】(1)(2)答案见解析
【分析】（1）首先确定全程运输时间，根据可变成本和固定成本可得解析式；
（2）根据对号函数单调性可分类讨论得到结论.
(1)由题意知：每小时可变部分的成本为，全程运输时间为时，
全程运输成本.
(2)由（1）得：，
由对号函数单调性可知：当时，在上单调递减；则当时，取得最小值；
当时，在上单调递减，在上单调递增；则当时，取得最小值；
综上所述：为了使全称运输成本最小，则当时，应以速度行驶；当时，应以速度行驶.
2．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知函数.
(1)设的反函数为，求的最值.
(2)函数满足，求证：当时，.
【答案】(1)最大值1，无最小值，(2)证明见解析
【分析】（1）先求出的反函数为，然后得到解析式，再求最值即可；
（2）当时，得到和的表达式，然后比较大小.
(1).
因为，且，所以当时，有最大值1，
此时；无最小值.
(2)证明：.
当时，因为，其中，
又，所以.
（另用分析法也可证明.）
3．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）已知，.
(1)若，求在区间上的最小值（直接写出结论，结果用表示）；
(2)我们知道：当时，.设，求证：当时，恒成立；
(3)若，，其中且，是和图像的一个公共点，，求证：和的图像必存在异于点A的另一个公共点.
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析．
【分析】（1）根据勾形函数的单调性求解；
（2）不等式变形为，结合已知分类讨论进行证明；
（3）令，结合已知可证.
(1)时，，由勾形函数的性质知时，递减，时，递增，
所以时，时，，时，时，
所以；
(2)证明：要证不等式，即证，
，，则，
若，则，
所以，
若，则，也有，
所以，
综上，原不等式成立．
(3)证明：记，则
因为
所以
又因为是和图像的一个公共点，
所以
所以，
即和的图像相交于点，
若，则由可得，因为，所以（矛盾）
所以，命题得证.
4．（2020·上海·复旦附中模拟预测）已知函数.
(1)当b=0时，若在上单调递减，求的取值范围；
(2)求满足下列条件的所有整数对：存在，使得是的最大值，是的最小值；
(3)对满足（2）中的条件的整数对，已知定义域为且的函数满足：，且当时，，若函数的零点的个数为4个，求实数m的取值范围.
【答案】(1)[0，1]，(2)满足条件的整数对是
(3)
【分析】（1）当时，若在，上单调递减，则此区间必是函数定义上单调递减区间的子集，由此可以求出的取值范围
（2）研究两个函数的最值，由于在时取到最小值，故求出取最大值的，令其等于．
（3）由题设条件，根据奇函数的性质求出在定义域上的解析式，再根据函数的零点的个数为4个，即可得到关于的等式求出的值．
(1)解：当时，，
若，，则在，上单调递减，成立，
故，要使在，上单调递增，必须满解之得
即实数的取值范围是；
(2)解：若，，可得无最大值，故，
为二次函数，
要使有最大值，必须满足，即，，
此时，时，有最大值．
又取最小值时，，
依题意有，可得，
且，，
，结合为整数得，此时或．
综上所述，满足条件的实数对是：，．
(3)解：当整数对是，．
，，是以4为周期的周期函数．
又当时，，对任意的都有，所以对任意的都有，
对于任意的，都存在，使得，，，
则得，，，，，，，，，
所以，即，为奇函数．
考虑函数的图象与函数的图象的交点个数，因为这两个函数均为奇函数，所以它们在轴右侧的交点个数为2，
当，，则，，
当，，，则，
显然时不合题意，舍去．
当时，考虑这两个函数在轴有且只有两个交点；
则有两组解，即有两解，，
且无解，即无解，，
所以，
当时，考虑这两个函数在轴右侧有且只有两个交点；有一组解，
即有一解，，
且有一组解，即有一解，，
综上，的取值范围为
题型二：根据函数最值求参数
一、填空题
1．（2021·上海市延安中学高三阶段练习）已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】由题意可得函数在[2，＋∞）时的值域包含于函数在（−∞，2）时的值域，利用基本不等式先求出函数在x∈[2，＋∞）时的值域，当x∈（−∞，2）时，对a分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而求出a的取值范围．
【详解】解：设函数的值域为，函数的值域为，
因为对任意的，都存在唯一的，满足，
则，且中若有元素与中元素对应，则只有一个.
当时，，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，
当时，
①当时，，此时，
，解得，
②当时，，
此时在上是减函数，取值范围是，
在上是增函数，取值范围是，
，解得，
综合得.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题即有恒成立问题，又有存在性问题，最后可转化为函数值域之间的包含关系问题，最终转化为最值问题，体现了转化与化归的思想.
2．（2022·上海·高三专题练习）已知函数最小值为，则____________．
【答案】
【分析】本题首先可通过函数有最小值得出，然后通过基本不等式得出，最后通过函数最小值为求出，通过检验即可得出结果.
【详解】因为函数有最小值，所以，
因为，
所以，
因为函数最小值为，
所以，解得，当且仅当时取等号，满足题意，
故答案为：.
【点睛】易错点睛：
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
3．（2020·上海市行知中学高三阶段练习）设，，若对任意的，都有，则______．
【答案】3
【解析】根据题意，设，，分析可得，结合二次函数的性质分析可得在，，在，，；又由，分析可得对于，在，，在，，；进而可得有，结合，，分析可得答案．
【详解】解：根据题意，设，，
当时，，而不可能在，上恒成立，
必有，
对于，，
在，，在，，；
若，
则对于，在，，在，，；
而为一次函数，则必有，且，
变形可得：，
又由，；
，，所以
故答案为：3．
【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，涉及一次函数、二次函数的性质，属于综合题．
二、解答题
4．（2021·上海·华师大二附中高三阶段练习）已知函数，在区间上有最大值16，最小值.设．
（1）求的解析式；
（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围；
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由二次函数的性质知在上为减函数，在上为增函数，结合其区间的最值，列方程组求，即可写出解析式；
（2）由题设得在上恒成立，即k只需小于等于右边函数式的最小值即可.
【详解】（1）∵()，即在上为减函数，在上为增函数．又在上有最大值16，最小值0，
∴，，解得，
∴；
（2）∵
∴，由，则，
∴，设，，
∴在上为减函数，当时，最小值为1，
∴，即.
【点睛】关键点点睛：
（1）根据二次函数的性质，结合区间最值列方程组求参数，写出函数解析式；
（2）将问题转化为在区间内，求参数范围.
5．（2022·上海·高三专题练习）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“M类函数”
（1）已知函数，试判断是否为“M类函数”，并说明理由；
（2）设是定义域R上的“M类函数”，求实数m的取值范围
【答案】（1）是；答案见解析；（2）.
【解析】（1）特殊值验证使得即可；（2）因为函数满足新定义，则问题由存在问题转化为求函数值域问题，进而可以求解．
【详解】解：（1）因为，
，即，
所以存在使得函数为“类函数”；
（2）由已知函数满足：，
则化简可得：①
令，则，
所以①可化为：在区间，上有解可使得函数为“类函数”，
即在，有解，
而函数在，上单调递增，所以当时，有最小值为，
所以，
故实数的取值范围为：，．
【点睛】本题考查了新定义的函数问题以及函数的有解问题，涉及到求函数的值域问题. 求函数最值和值域的常用方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
题型三：函数不等式恒成立问题
一、填空题
1．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】将对任意的恒成立，变为对任意的恒成立，构造函数，，判断其单调性，确定其最值，即可求得答案.
【详解】关于的不等式对任意的恒成立，
则对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，，由于是递减函数，递减，
故，是递减函数，
故，
故 ，
故答案为：
2．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）已知，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得时，都有，则的最大值为___________.
【答案】
【分析】二次函数配方得到的含有参数的最大值，研究二次函数最值与5的大小关系，分类讨论，求出的最大值.
【详解】，当，即时，要使在上恒成立，要使取得最大值，则只能是的较小的根，即；
当，即时，要使取得最大值，则只能是的较大的根，即
当时，，
当时，，所以的最大值为.
故答案为：
【点睛】对于含有参数的二次函数综合性质问题，通常要进行分类讨论，数形结合来进行求解.
二、解答题
3．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知定义在区间上的两个函数和，其中，.
(1)求函数的最小值；
(2)若对任意，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）先将的解析式进行配方，然后讨论对称轴与区间的位置关系，可求出函数的最小值；
（2）根据函数的单调性求出函数的最小值和的最大值，然后使，建立关系式，解之即可求出答案.
(1)由，则二次函数的对称轴为，
则当时，在上单调递减，在上单调递增，所以
；
当时，在上单调递减， ，
所以；
(2)，当时，，又在区间
上单调递增，所以.
若对任意，恒成立
则，故或
解得：.
4．（2022·上海·复旦附中模拟预测）已知非常数函数的定义域为D，如果存在正数T，使得对任意x∈D，都有恒成立，则称函数具有性质．
(1)分别判断下列函数是否具有性质，并说明理由；
①； ②．
(2)若具有性质，，，表示的前n项和，，若恒成立，求a的取值范围；
(3)设连续函数具有性质，且存在M＞0，使得对任意x∈R，都有成立，求证：是周期函数．
【答案】(1)函数具有性质，函数不具有性质；
(2)或；(3)证明见解析.
【分析】(1)根据性质的定义判断，(2)由条件求，再由数列求和公式求，解不等式求；(3)由条件证明函数具有性质，由此证明是周期函数．
(1)因为，所以，
所以函数具有性质，
因为，所以，
所以函数不具有性质；
(2)因为具有性质，所以
又，，
所以，
，
所以，
所以，
，
所以，
所以，
当时，，，
因为，
所以，即，
所以，
因为恒成立，所以，
所以，
当时，可化为，解不等式可得，
当时，可化为，化简可的，
所以或；
(3)设在区间上的最大值为，
因为函数具有性质，,
若，则，，， ，所以，
即函数在区间上的最大值为，
令，则,
所以当取比大的整数时，则，与条件矛盾，
若，则，，， ，所以，
即函数在区间上的最大值为，
令，则,
所以当取比大的整数时，则，与条件矛盾，
故,所以函数具有性质，
即，所以是周期函数．
【点睛】函数的新定义问题的解决的关键在于准确理解定义.
5．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”.
(1)求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”；
(2)若函数是“同比不减函数”，求的取值范围.
【答案】(1)详见解析；(2)
【分析】（1）利用同比不减函数的定义证明；
（2）根据同比不减函数的定义，由恒成立求解.
(1)因为，
所以，
，
因为与0的大小不确定，
所以对任意正常数，都不是“同比不减函数”；
(2)因为函数是“同比不减函数”，
所以，
，恒成立，
即恒成立，
因为，
所以，
所以的取值范围是
题型四：函数不等式有解问题
一、填空题
1．（2022·上海市控江中学高三阶段练习）已知函数，，若存在，使得，则的最大值为______
【答案】14
【分析】令，原方程可化为存在，使得，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得的最大值.
【详解】因为存在，
使得，
故存在，使得.
令，，则，
故，因为
故，，故.
故答案为：14.
2．（2021·上海·曹杨二中高三阶段练习）已知，函数，若对任意，总存在，使得，则a的最大值为___________.
【答案】
【分析】利用在有解可求a的最大值.
【详解】因为对任意，总存在，使得，
所以存在，使得，
故在上有解，即在上有解，
设，其对称轴为，
若即时，此时，故不成立；
若即，此时需即，
故，故，
故a的最大值为.
故答案为：.
3．（2021·上海·模拟预测）函数，，若存在实数m，使得成立，则实数m的取值范围为______
【答案】
【分析】由，根据，求得其值域，再根据存在实数m，使得成立，转化为存在实数m，使得成立求解.
【详解】函数，
，
，
因为，则，则，
所以，
因为存在实数m，使得成立，
所以存在实数m，使得成立，
则，即，
解得或，
所以实数m的取值范围为
故答案为：
二、解答题
4．（2021·上海市风华中学高三期中）已知函数，.
(1)若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围；
(2)若函数的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为？若存在，求出所有t的值；若不存在，请说明理由（注：区间的长度为）.
【答案】(1)，(2)存在，或
【分析】（1）把对任意的，总存在，
使成立转化为函数的值域为函数的值域的子集，
然后求的值域得答案；
（2）研究函数的值域，需要对t进行讨论，根据函数的单调性即可求出.
(1)若对任意的，总存在，使成立，
只需函数的值域为函数的值域的子集，
，的值域为，
下面求的值域，
①当时，为常数，不符合题意舍去；
②当时，的值域为，要使，
则，解得；
③当时，的值域为，要使，
则，解得；
综上，m的取值范围为；
(2)由题意可得，解得，
①当时，在区间上最大，最小，
所以，即，解得或（舍去）；
②当时，在区间上最大，最小，
所以，即，解得；
③当时，在区间上最大，最小，
所以，即，解得（舍去）.
综上所述，存在常数满足题意，或.
5．（2021·上海奉贤区致远高级中学高三阶段练习）已知函数（常数．
（1）若，且，求x的值；
（2）若，求证函数在上是增函数；
（3）当为奇函数时，存在使得不等式成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）直接求解方程即可；
（2）利用单调性的定义即可判断；
（3）令，可将不等式转化为，求出的最小值即可.
【详解】（1）若，且，则，
即，解得，
，，则；
（2）任取，
则
，
，，即，
，，，
，
故在上是增函数；
（3）若为奇函数，则，解得，
经检验，时，为奇函数，，
在单调递增，，
令，
则转化为存在，使得不等式成立，即，
可知在单调递增，则，故.
【考点2】函数的周期性
一、单选题
1．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）定义在上的函数满足，则下列函数中是周期函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件进行化简，结合周期函数的知识确定正确选项.
【详解】依题意，定义在上的函数满足，
所以，
所以是周期为的周期函数.
故选：B.·
2．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）德国数学家狄利克雷是解析数论的创始人之一，以其名命名狄利克雷函数的解析式为，关于狄利克雷函数，下列说法不正确的是（ ）．
A．对任意，
B．函数是偶函数
C．任意一个非零实数T都是的周期
D．存在三个点、、，使得为正三角形
【答案】C
【分析】根据狄利克雷函数的定义结合偶函数的定义、周期函数的定义等逐项判断后可得正确的选项.
【详解】任意，或，故，故A正确.
任意，因此同为有理数或同为无理数，故，即是偶函数，
故B正确.
取，则，故，
故不是周期函数，故C错误.
取，则，
则，
故，故为正三角形，故D正确.
故选：C.
二、填空题
3．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）已知函数是偶函数，且，当时，，则方程在区间上的解的个数是________
【答案】10
【分析】根据函数满足，得到函数图象关于对称，再结合奇偶性得到函数的周期性，作出函数和函数在区间，上的图象，把方程解的个数问题转化成两函数图象的交点个数问题解决．
【详解】函数是偶函数，①，
②，的图象关于对称，
由①②得，，即，
∴函数f(x)的一个周期为4，
画出函数和函数在区间，上的图象，
方程在区间，上的解的个数就是这两个图象的交点个数，
由图象可知方程解的个数为10，
故答案为：10．
4．（2022·上海静安·模拟预测）已知为R上的奇函数，且，当时，，则的值为______．
【答案】
【分析】由题设条件可得的周期为2，应用周期性、奇函数的性质有，根据已知解析式求值即可.
【详解】由题设，，故，即的周期为2，
所以，且，
所以.
故答案为：.
5．（2021·上海奉贤区致远高级中学高三期中）已知函数满足，且图像关于直线对称．当时，，则函数在上的零点之和为____________．
【答案】6
【分析】由题意首先将原问题转化为两个函数交点的问题，然后确定函数的图像的特征，最后结合函数的对称性即可求得零点之和.
【详解】原问题等价于求解函数与函数的交点横坐标之和.
因为，所以函数的周期为2，
时， ，图像关于直线对称，利用周期性，对称性，作出与 在的图象，
由图象可知与关于中心对称，且与交点个数为6个，故零点之和为6.
故答案为：6
6．（2021·上海市上南中学高三阶段练习）设偶函数对任意，都有，且当时，，则的值是___________.
【答案】
【分析】由已知推导出函数为周期函数，利用周期自变量的值变小，结合偶函数的定义和已知等式求值．
【详解】由得，所以是周期函数，周期是6，
又是偶函数，所以
．
故答案为：．
7．（2021·上海南汇中学高三期中）设是定义在R上以2为周期的奇函数，当时，，则函数在上的解析式___________．
【答案】
【分析】设是时函数图象上的任意一点，然后利用周期和奇偶性将转化到区间上，进而代入解析式化简即可.
【详解】因为函数的周期为2，设是时函数图象上的任意一点，则点在时函数的图象上，而函数是R上的奇函数，则点在时的图象上，所以，即在上的解析式.
故答案为：.
8．（2020·上海市陆行中学高三阶段练习）设是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，则_______；
【答案】
【分析】根据函数的周期性，结合偶函数的性质进行求解即可.
【详解】由，所以该函数的周期为，
因为函数的周期为，且是偶函数，
所以，
故答案为：
9．（2020·上海市浦东中学高三阶段练习）已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间上是增函数，若函数在区间上有四个不同的零点、、、，则__________.
【答案】
【分析】由奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)可推出周期为8，对称轴为，画出函数大致图象，根据零点的定义，由图象分析f(x)＝m的根的分布情况即可
【详解】f(x)在R上是奇函数，所以f(x－4)＝－f(x)＝f(－x)，得，故周期为8，即，即，函数对称轴为，
，
画出大致图象，如图：
由图可知，两个根关于对称，两个根关于对称，设，
则，故，
故答案为：
【点睛】关键点睛：利用函数的奇偶性，周期性，对称性求根的分布问题是解题的关键.
【考点3】函数的图像
一、填空题
1．（2019·上海市南洋模范中学高三开学考试）设奇函数的定义域为[－5，5].若当x∈[0，5]时，的图象如图，则不等式＜0的解集是________.
【答案】
【分析】根据奇函数的性质，结合数形结合思想进行求解即可.
【详解】利用函数的图象关于原点对称.
的解集为.
故答案为：
2．（2020·上海·高三专题练习）已知函数，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为_______.
【答案】
【分析】求出函数的表达式，构造函数，作函数的图象，利用数形结合进行求解即可.
【详解】∵，
∴ ，
∵函数y=f(x)−g(x)恰好有四个零点，
∴方程f(x)−g(x)=0有四个解，即f(x)+f(2−x)−b=0有四个解，
即函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象有四个交点，
，
作函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象如下，
，
结合图象可知，
故答案为:.
3．（2021·上海奉贤区致远高级中学高三阶段练习）记，已知，设函数，若方程有解，则实数m的取值范围是__________________．
【答案】
【分析】由题意有解，即有交点，画出函数的简图，数形结合即得解
【详解】由题意有解，即有交点
令
当
当
故
画出函数的简图，如下图所示：
数形结合可知，当时，
故若有交点，
则实数m的取值范围是
故答案为：
4．（2021·上海市进才中学高三阶段练习）已知，与x轴交点为A，若对于图像上任意一点P，在其图像上总存在另一点Q（P、Q异于A），满足，且，则________．
【答案】
【分析】本题根据题意对函数分析之后可画出大致图象，然后结合图象可不妨设点P在左边曲线上，点Q在右边曲线上．设直线AP的斜率为k，联立直线与曲线的方程可得P点坐标，同理可得Q点坐标．再分别算出|AP|、|AQ|，再根据|AP|＝|AQ|及k的任意性可解得a的值．
【详解】解：由已知令，解得，
所以点A的坐标为，
则，
所以大致图像如下：
由题意，很明显P、Q两点分别在两个分段曲线上，
不妨设点P在左边曲线上，点Q在右边曲线上．
设直线AP的斜率为k，则．
联立方程：，
整理，得：．
，，
．
再将代入第一个方程，可得：．
∴点P的坐标为：．
．
∵AP⊥AQ，
∴直线AQ的斜率为，则．
同理类似求点P的坐标的过程，可得：
点Q的坐标为：．
∵|AP|＝|AQ|，及k的任意性，可知：，解得：．
故答案为：
5．（2021·上海·曹杨二中高三阶段练习）设，函数，若函数有且仅有3个零点，则a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】问题转化为函数与直线有三个不同交点，分作出函数图象，数形结合即可求解.
【详解】,
若函数有且仅有3个零点,则函数的图象与直线有三个不同的交点，
，当且仅当时等号成立，
当时，如图：
即可，
解得，
当时, 如图：
即可，
解得，
综上，
故答案为：
【考点4】函数的对称性
一、填空题
1．（2021·上海·闵行中学高三期中）已知均为定义在上的函数，的图像关于直线对称，的图像关于点对称，且，则_________．
【答案】2021
【分析】由分别取，，结合函数的对称性求，由此可得.
【详解】∵ ，
∴ ，，
又的图像关于直线对称，的图像关于点对称，
∴ 函数为偶函数，函数为奇函数，
∴ ，
∴ ，，
∴ ，
故答案为：2021.
2．（2021·上海市建平中学高三阶段练习）已知，满足对于任意的，都有，设，若对于任意的，，都有成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】利用函数的图象的对称性求得，将整理为，由已知条件得到，求解即得.
【详解】
∵对于任意的，都有，∴函数的对称轴为，∴，
∴
,
对于任意的，，都有成立，
∴,解得，
即实数的取值范围是,
故答案为：
二、解答题
3．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知函数.
(1)写出函数的单调递增区间；
(2)求证：函数的图像关于直线对称；
(3)某同学经研究发现，函数的图像为双曲线，和为其两条渐进线，试求出其顶点､焦点的坐标，并利用双曲线的定义加以验证.
【答案】(1)，(2)证明见解析
(3)，，，，验证答案见解析
【分析】（1）求得，令，即可求得函数的递增区间；
（2）设为函数的图像上一点，点关于直线对称的点Q的坐标为，根据直线垂直且平分线段，求得代入得到，即可求解；
（3）由（2）得直线为函数图像的一条对称轴，联立方程组求得，得到双曲线的两个顶点一定只能是，进而求得，根据的两个焦点，由，求得，，结合双曲线的定义，作出证明.
(1)解：由题意，函数，可得，
令，即，解得或，
所以函数的单调递增区间为.
(2)证明：设为函数的图像上一点，点关于直线对称的点Q的坐标为，
由直线垂直且平分线段，可得，
因为，所以，
将代入，可得，
即点Q也在函数的图像上，所以函数的图像关于直线对称.
(3)解：由（2）得直线为函数图像的一条对称轴，
于是，解得，
因为的图像是双曲线（以下记作），
那么双曲线的两个顶点一定只能是，
于是半实轴a的值一定只能是，
双曲线的实轴所在直线与它的一条渐近线的夹角为，
以双曲线的一个顶为直角的顶点，以为一个锐角，以半实轴a的长为一条直角边的直角三角形的另一条直角边的长应当等于的半虚轴b之长，其斜边则等于的半焦距c之长.因此.
因为双曲线的两个焦点在双曲线的实轴所在的一条对称轴上，
所以的两个焦点，应在直线上，
由，得，利用对称性另一个焦点应为，
以下验证图像上的任意一点到､两点的距离之差的绝对值为定值，设为函数图像上的任意一点，
则
由，得，
故有
，
因为，
故得，
即为定值，且恰等于前面所得的的值，
由此验证函数的图像为双曲线.
4．（2022·上海·高三专题练习）已知函数的定义域为D，若存在实数a，b，对任意的，有，且使得均成立，则函数的图像关于点对称，反之亦然，我们把这样的函数叫做“函数．
(1)已知“函数”的图像关于点对称，且时，；求时，函数的解析式；
(2)已知函数，问是否为“函数”？请说明理由；
(3)对于不同的“函数”与，若、有且仅有一个对称中心，分别记为和，
①求证：当时，仍为“函数”；
②问：当时，是否仍一定为“函数”？若是，请说明理由；若不一定是，请举出具体的反例．
【答案】(1)
(2)是“函数”
(3)仍为“函数”；时，不一定是“函数”.
【分析】（1）根据函数图像的对称关系列关系式计算即可；
（2）根据“函数”的定义，结合题给的具体函数解析式，计算出a,b的值即可得出结果；
（3）根据定义验证即可；
根据定义，举出具体函数验证结论，所举函数不唯一.
(1)根据“函数”的概念，，
时，，又 时，
时，
即时，的解析式为 .
(2)根据题意，
取，上式计算得，此时
所以函数是“函数”.
(3)根据题意，
时，
所以此时仍为“函数”；
时，不一定是“ 函数”.
设，易知函数图像关于 对称，得;
设，知函数图像关于对称，得
此时，，其图像不关于某一点对称，即不是“ 函数”
结论得证.
5．（2020·上海市陆行中学高三阶段练习）已知函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)若在上时单调函数，求实数的取值范围.
【答案】(1). (2)
【分析】（1）利用函数的对称性和二次函数的性质进行求解即可；
（2）根据二次函数的性质，结合分类讨论法进行求解即可.
(1)解：因为，
所以函数的对称轴为：，
函数的对称轴为：，所以有，
即.
(2)解：，
该函数的对称轴为：，
当时，函数在上单调递减，解得 ；
当时，函数在上单调递增，解得，
综上所述：实数的取值范围为.
6．（2021·上海市建平中学高三阶段练习）已知函数，．
（1）解方程：
（2）令，，求证：；
（3）若是上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）根据条件建立方程关系，解指数方程即可．
（2）易得，，然后将所求证的等式两边分别倒序相加求和，即可证明；
（3）根据函数的奇偶性求出函数的不等式，利用函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式恒成立进行转化求解即可．
【详解】（1）根据题意，原方程可转化为，即，则，解得。经验证，是原方程的解；
（２），
∴
．
,,
∴
∴，
∴；
（3）因为是上的奇函数，所以，
故，，则，且在上单调递增.
由，得，
又是上的奇函数，所以，
又在上单调递增，所以，
故对任意的都成立，即对任意的都成立，
因为当且仅当时取等号，
所以,
故实数的取值范围是.
【考点5】函数基本性质综合应用
一、单选题
1．（2021·上海市行知中学高三阶段练习）若是R上的奇函数，且在上单调递增，则下列结论：
①是偶函数；
②对任意的x∈R都有；
③在上单调递增；
④反函数存在且在上单调递增．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据奇函数定义以及单调性性质，及反函数性质逐一进行判断选择.
【详解】对于①，由是上的奇函数，得，∴，所以是偶函数，故①正确；
对于②，由是上的奇函数，得，而不一定成立，所以对任意的，不一定有，故②错误；
对于③，因为是上的奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增，且，因此，利用复合函数的单调性，知在上单调递增，故③正确.
对于④，由已知得是上的单调递增函数，利用函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射，且函数与其反函数在相应区间内单调性一致，故反函数存在且在上单调递增，故④正确；
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查奇函数定义以及单调性，解题的关键是熟悉奇函数的定义及单调性性质，及反函数的性质，考查学生的基本分析判断能力，属中档题.
二、填空题
2．（2021·上海市上南中学高三阶段练习）设函数，其中，四位同学研究得出如下四个命题：①是偶函数；②在单调递增；③不等式的解集为；④关于实数a的方程有无数解.其中真命题的是___________.（用序号表示）
【答案】①③④
【分析】对于①利用偶函数的定义可判断，对于②根据绝对值的几何意义可分析当时，为常数函数，对于③研究函数的最小值即可判断，对于④根据函数的性质，可知 或或故可判断.
【详解】对于①，由绝对值的性质可知，且，所以①正确；
对于②，当x在[-1，1]的时候，就是x到-1的距离加上x到1的距离，由于x在-1和1之间，所以距离之和正好是2，同样的，|x+2|+|x-2|正好是4，|x+2011|+|x-2011|正好是4022，即函数在[-1，1]上是常数函数，故②错误;
对于③，∵当时， 由②知，函数取得最小值，最小值为，故③正确；
对于④，由①②可知，由可得或或，解得或或，故④正确.
故答案为：①③④
3．（2021·上海·曹杨二中高三阶段练习）若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式解集为___________.
【答案】
【分析】将原不等式等价变形为，分析函数在、上的单调性，分、两种情况解原不等式，即可得解.
【详解】因为函数为上的奇函数，则，
因为，则.
因为函数在上为增函数，则该函数在上也为增函数.
当时，则，可得；
当时，则，可得.
综上所述，不等式的解集为.
故答案为：.
三、解答题
4．（2021·上海普陀·模拟预测）设函数和都是定义在集合上的函数，对于任意的，都有成立，则称函数与在上互为“函数”．
(1)函数与在上互为“函数”，求集合；
(2)若函数且与在集合上互为“函数”，求证：；
(3)函数与在集合且上互为“函数”，当时，，求函数在上的解析式．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）解：由，得到，即可求解.
（2）由题意得到，得到，根据，即可求解．
（3）当时，，根据题意得到恒成立，转化为对恒成立，得到，进而得到时，，进而得到答案.
(1)解：由题意，函数与在上互为“函数”，
可得，即，所以，
可得或，解得或，
即集合．
(2)解：由函数且与在集合上互为“函数”，
可得，所以，
因为且，所以，
因为，所以，解得．
(3)解：当时，，
由于与函数在集合上“互为函数”，
所以当，恒成立，
即对于任意的恒成立，
即，所以，
即，所以，
当时，，，
所以当时，，
所以当时，．
【考点6】函数新定义
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）定义，已知函数，的定义域都是，则下列四个命题中为假命题的是（ ）
A．若，都是增函数，则函数为增函数
B．若，都是减函数，则函数为减函数
C．若，都是偶函数，则函数为偶函数
D．若，都是奇函数，则函数为奇函数
【答案】D
【分析】由已知条件，结合具体函数的单调性和奇偶性，举出反例来验证每个选项是否为假命题即可.
【详解】对于选项，若，都是增函数，可知函数图象均为上升，则函数为增函数，则为真命题；
对于选项，，都是减函数，可知函数图象均为下降，则函数为减函数，则为真命题；
对于选项，若，都是偶函数，可知函数图象均关于轴对称，则函数为偶函数，则为真命题；
对于选项，若，都是奇函数，设奇函数和，则函数
，函数图象如下图所示，观察发现此函数图象并不关于原点对称，则函数不是奇函数，故则为假命题.
故选：.
二、填空题
2．（2022·上海市市北中学高三期中）将函数的图象关于轴对称，得到的图象，当函数与在区间上同时递增或同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”．若区间为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【分析】求出函数的图象关于轴对称对称的函数的解析式为，分、两种情况讨论，化简两个函数的解析式，对两个函数在区间上的单调性进行分类讨论，可的关于实数的不等式（组），综合可求得实数的取值范围.
【详解】函数的图象关于轴对称对称的函数的解析式为，
因为区间为函数的“不动区间”，
所以，函数与函数在上的单调性相同，
若，则在上单调递增，
在上单调递减，不合乎题意；
若，则，
若函数在上单调递增，则，可得，
此时函数在也单调递增，则，可得，则；
若函数在上单调递减，则，可得，
此时函数在也单调递减，则，可得，则不存在.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
三、解答题
3．（2022·上海·模拟预测）对于两个定义域相同的函数和，若存在实数m、n使，则称函数是由“基函数和”生成的．
(1)若和生成一个偶函数，求的值；
(2)若由函数（，且）生成，求的取值范围：
(3)试利用“基函数和”生成一个函数，使之满足下列条件：①是偶函数；②有最小值1．求函数的解析式并进一步研究该函数的单调性．（无需证明）
【答案】(1)0.，(2).
(3)，在递减，在递增.
【分析】（1）由列方程，根据为偶函数求得的关系式，进而求得的值.
（2）由列方程组，化简后求得的关系式，利用导数求得的取值范围.
（3）构造函数，并证得其奇偶性和单调性.
(1)解：由为偶函数可知，
所以.
(2)解：由得，
所以，由于，所以可化简得，所以.
构造函数，，所以函数在上递增，在上递减，
所以函数在处，有极大值，在处有极小值.
所以的取值范围是.
(3)解：构造函数，，
所以为偶函数.由于，
所以有最小值符合题意.在递减，在递增.
另补证明：由于为偶函数，只需求得上的单调性.
构造函数，，由于时，，
故，所以函数在上递增.
根据复合函数单调性同增异减可知，函数在上递增.
根据为偶函数可知，函数在递减.
【点睛】本小题主要考查新定义函数的概念理解，考查利用导数、基本不等式等方法求最值，考查函数的单调性和奇偶性，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于中档题.
4．（2022·上海师大附中高三阶段练习）设函数如果对任意一个三角形，它的三边长a､b､，且f（a）､f（b）､f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”.
(1)试分别判断是否为“保三角形函数“？并说明理由；
(2)若叫是“保三角形函数”，试求M的最小值.
【答案】(1)不是“保三角形函数”，是“保三角形函数”，理由见解析
(2)2
【分析】（1）直接举反例，即可证明不是“保三角形函数”；设出一个三角形的三边长，，，不妨取，然后证明，即可得到是“保三角形函数”；
（2）设一个三角形的三边长，，，，取，由，得，结合题意得，再举例说明当时不合题意，即可求得的最小值．
(1)解：不是“保三角形函数”，是“保三角形函数”，理由如下：
取，，，则，，构成一个直角三角形的三边长，
当（a），（b），（c）不能构成三角形，
故不是“保三角形函数”；
设一个三角形的三边长，，大于0，不妨设，且，
，
，则．
故是“保三角形函数”；
(2)解：设一个三角形的三边长，，，，不妨设，且，
①由，得，
（a），（b），（c）也是某个三角形的三边长，；
②（a），（b），（c）能作为某个三角形的三边长，
，
又，
则当，时，，则一定有成立；
③当时，取，，，
有，即成立，
此时，，可作为一个三角形的三边长，
但，
即（b）（c）（a），
（a），（b），（c）不能作为三角形的三边长．
综上所述，的最小值为2．
【点睛】本题考查函数的最值及其几何意义，考查逻辑思维能力与推理论证能力，考查运算求解能力，正确理解题意是关键，属有一定难度题目．
【真题模拟题专练】
一、单选题
1．（2021·上海青浦·二模）已知函数的定义域为，给出以下两个结论：
① 若函数②的图像是轴对称图形，则函数的图像是轴对称图形；
② 若函数的图像是中心对称图形，则函数的图像是中心对称图形．它们的成立情况是（ ）
A．①成立，②不成立B．①不成立，②成立
C．①②均不成立D．①②均成立
【答案】C
【分析】根据所给条件，举一反例即可得解.
【详解】对于①，设，该函数图象关于对称，
则，图象不是轴对称图形，故①错误；
对于②，设函数，图象关于点对称，
则，图象不是中心对称图形，故②错误.
故选：C.
2．（2021·上海·模拟预测）已知函数的定义域为，下列是无最大值的充分条件是（ ）
A．为偶函数且关于直线对称B．为偶函数且关于点对称
C．为奇函数且关于直线对称D．为奇函数且关于点对称
【答案】D
【分析】由选项所给条件直接列举对应模拟图象（不唯一），根据图象判断即可
【详解】如图所示. 对选项D，易得，，显然D项无最大值，


故D项符合，
故选：D
3．（2021·上海市大同中学三模）已知函数，，若不等式的解集为，其中，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】化简函数的解析式，再画出、的图象，结合题意可得，运用二次方程的两根之差，求出，关于的函数，可得的范围．
【详解】作出函数的图象，
由函数的图象可得时，
当时，，
由，即有，
的图象和的图象相切，
当时，即有，
解得舍去），
由题意可得，
当时，，
由，可得，
即有，
当时，，
由，即为，解得，
可得，
则，
由，可得，，所以其最大值为2.
故选：B．
【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是数形结合思想的运用，二是韦达定理的运用，三是方程与函数思想的运用．
4．（2020·上海·模拟预测）若存在且，对任意的，均有恒成立，则称函数具有性质P，已知：单调递减，且恒成立；单调递增，存在使得，则是具有性质P的充分条件是（ ）
A．只有B．只有
C．和D．和都不是
【答案】C
【分析】对于，当，根据减函数的定义和已知条件，结合不等式性质，可得成立；对于，取同理可得出结论．
【详解】：当，，因为函数单调递减，
所以
即，存在，
当满足命题时，具有性质P.
：当时，，
因为函数单调递增，
所以，
即，
存在，当满足命题时，具有性质P.
综上可知命题、都是具有性质P的充分条件．
故选：C
【点睛】本题考查函数的新定义、函数的单调性以及不等式的性质，考查了理解辨析能力、运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题．
5．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）定义在上的连续函数满足，，，，.则下列关于的命题：①恒成立；②一定是奇函数，一定是偶函数；③；④一定是周期函数.其中真命题的个数为
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】合理利用赋值法，结合函数的基本性质，逐项进行判定，即可求解.
【详解】由题意，令，可得，，
因为，∴，
所以，①正确且；
由，解得或，由于，可得，又由，可得，
令，则，，
两式相加可得：
，
所以，
两边同时平方得，
即，所以对任意都成立，从而为奇函数，又由，
所以，所以为偶函数，故②正确；
由于，故③正确；
函数，满足条件，但显然它们不是周期函数，故④错误.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了抽象函数的应用，以及函数的基本性质的综合应用，其中解答中合理利用赋值法和函数的基本性质，进行推理判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
6．（2021·上海·模拟预测）设P、Q是R上的两个非空子集，如果存在一个从P到Q的函数满足：（1）；（2）对任意，当时，恒有，那么称这两个集合构成“恒等态射”，以下集合可以构成“恒等态射”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用题目给出的定义，对每一个选项中给的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即Q是函数的值域，且函数为定义域上的增函数，即可得到答案
【详解】根据题意，函数的定义域为，单调递增，值域为，由此判断，
对于A，定义域为，值域为整数集，且为递增函数，没有这样的函数，
对于B，定义域为，值域为，且为递增函数，没有这样的函数，
对于C，定义域为，值域为，且为递增函数，没有这样的函数，
对于D，可取，且在上为增函数，且值域为，满足题意，
故选：D
二、填空题
7．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知椭圆，过左焦点任作一条斜率为的直线交椭圆于不同的两点，，点为点关于轴的对称点，若，则面积的取值范围是_____．
【答案】，
【分析】先设出直线方程，联立直线和椭圆方程得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和与积，利用得到关于的表达式，再利用函数的单调性求其最值.
【详解】由题意，设，，，，则，，
直线的方程为，
与椭圆方程联立得，
消去，得，
所以，，
因为，所以，即，即，
不妨设，，
则
令，
由对勾函数的性质得，函数在，上单调递减，
在，上单调递增，所以，
当时，，当时，，
所以，，
所以，，
即，，
所以△面积的取值范围是，，
故答案为：，．
8．（2021·上海浦东新·一模）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】对任意，恒成立，等价于在上恒成立，令，求其在上的最小值即可.
【详解】对任意，恒成立，
等价于在上恒成立，
令，
则其在上的最小值为，所以，得.
故答案为：
9．（2022·上海宝山·一模）已知定义在上的函数满足，当时，，则方程有___________个根.
【答案】10
【分析】作出周期函数的图象，再作出的图象，根据数形结合求解即可.
【详解】由可知，函数周期为，
作出函数与，
由图象可知，与有10个交点，
所以方程有10个根.
故答案为：10
10．（2021·上海虹口·一模）已知是定义域为的奇函数，且对任意的满足，若时，有，则______.
【答案】
【分析】由条件可得，然后可算出答案.
【详解】因为，是定义域为的奇函数，
所以
因为当时，有，所以
所以
故答案为：
11．（2021·上海·模拟预测）设是定义在上以2为周期的奇函数，当时，，则函数在[4，6]上的解析式是__________
【答案】
【分析】根据函数的周期及函数为奇函数，分段求解函数的解析式即可.
【详解】因为是定义在上以2为周期的奇函数且时，，
设，则，
所以，
设，则，,
故.
综上可得，函数在上的解析式是，
故答案为：
12．（2021·上海·模拟预测）设是定义在上的以2为周期的偶函数，在区间上严格递减，且满足，，则不等式组的解集为___________.
【答案】
【分析】首先根据函数的周期性和奇偶性得到区间上严格递增，又根据，，从而得到，再根据单调性求解即可.
【详解】因为是偶函数，且在区间上严格递减，
所以区间上严格递增，
又因为的周期为，所以区间上严格递增.
又因为，，
所以，
解得.
故答案为：
13．（2021·上海青浦·二模）已知函数是定义在上的以为周期的奇函数，且，则方程在区间内零点的个数的最小值是____________．
【答案】；
【分析】根据周期性和奇偶性，对的可能的零点，逐个分析判断，即可得解.
【详解】根据是定义在上的以为周期的奇函数，
所以，故，
又，，
所以，
所以，
而，所以，
所以，
所以内零点有共个，
故答案为：.
14．（2021·上海静安·二模）已知奇函数的周期为2，且当时，，则的值为_______．
【答案】1
【分析】由条件可得，然后可得答案.
【详解】因为奇函数的周期为2，且当时，
所以
故答案为：1
15．（2020·上海松江·一模）对于定义域为D的函数f(x)，若存在且，使得，则称函数f(x)具有性质M，若函数，具有性质M，则实数a的最小值为__．
【答案】
【分析】设，由可得，结合可得 ，进而求得，由此得解．
【详解】解：设，由得，
则，故，
∴，
又，
∴，
∵，∴，
则，∴，
∴，故，
∴，则实数a的最小值为．
故答案为：．
三、解答题
16．（2022·上海徐汇·二模）已知为实数，函数，．
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)若对任意，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)和，(2)
【分析】（1）当时，化简函数的解析式，利用二次函数的基本性质可得出函数的增区间；
（2）由已知可得，推导出，可得出，利用参变量分离法可求得实数的取值范围.
(1)解：当时，，
当时，，此时函数的单调递增区间为；
当时，，此时函数的单调递增区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为和.
(2)解：当时，由可得，即，所以，，
所以，，整理得对任意的恒成立，
因为，则，所以，不等式对任意的恒成立，
只需考虑不等式对任意的恒成立，
当时，，
令，，
由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，
当时，，因此，.
17．（2021·上海普陀·二模）设函数的反函数为．
（1）解方程：；
（2）设是定义在上且以为周期的奇函数．当时，，试求的值．
【答案】（1）原方程的解集为；（2）．
【分析】（1）利用底数的运算性质直接求解所原方程，结合真数有意义可求得原方程的解集；
（2）求得当时，，通过计算得出，即可得解.
【详解】（1），则
即，解得或．
由可得，，所以，原方程的解集为；
（2），其中，令，可得，即，
所以当时，所以，，
由于是定义在上且以为周期的奇函数，
所以对于任意实数，均有，．
，则，
故，
又因为，所以，故.
因此，.
【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
18．（2020·上海长宁·一模）设，其中常数.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若不等式在区间上有解，求实数的取值范围；
（3）已知：若对函数定义域内的任意，都有，则函数的图象有对称中心.利用以上结论探究：对于任意的实数，函数是否都有对称中心？若是，求出对称中心的坐标(用表示)；若不是，证明你的结论.
【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）有对称中心，对称中心为.
（1）当时，，为奇函数；当时，，既不是奇函数也不是偶函数；
（2）转化为在区间有解，则，利用单调性求出最小值可得解；
（3）假设存在对称中心，由恒成立，可求得结果.
【详解】
（1）当时，，
所以，为奇函数.
当时，，，
因为，所以既不是奇函数也不是偶函数.
（2）原问题可化为在区间有解，则，
因为函数在区间单调递减，
所以，所以，
所以a的取值范围是.
（3）假设存在对称中心，则恒成立，
得恒成立
所以，
得，，
所以函数有对称中心.
【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
①若在上恒成立，则；
②若在上恒成立，则；
③若在上有解，则；
④若在上有解，则；
19．（2017·上海·高考真题）设定义在上的函数满足：对于任意的、，当时，都有.
（1）若，求的取值范围；
（2）若为周期函数，证明：是常值函数；
（3）设恒大于零，是定义在上、恒大于零的周期函数，是的最大值.
函数. 证明：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；
（2）若f（x）是周期函数，记其周期为Tk，任取x0∈R，则有f（x0）＝f（x0+Tk），证明对任意x∈[x0，x0+Tk]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+Tk），可得f（x0）＝f（x0+nTk），n∈Z，再由…∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…＝R，可得对任意x∈R，f（x）＝f（x0）＝C，为常数；
（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明．
【详解】（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）＝a（x13﹣x23）≤0，
∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．
故a的范围是[0，+∞）；
（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为Tk，任取x0∈R，则有
f（x0）＝f（x0+Tk），
由题意，对任意x∈[x0，x0+Tk]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+Tk），
∴f（x0）＝f（x）＝f（x0+Tk）．
又∵f（x0）＝f（x0+nTk），n∈Z，并且
…∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…＝R，
∴对任意x∈R，f（x）＝f（x0）＝C，为常数；
（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）＝c1，设g（x）的一个周期为Tg，则
h（x）＝c1•g（x），则对任意x0∈R，
h（x0+Tg）＝c1•g（x0+Tg）＝c1•g（x0）＝h（x0），
故h（x）是周期函数；
必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为Th．
任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2Th≤x0﹣Tg，
即[x0﹣Tg，x0]⊆[x0﹣N2Th，x0]，
∵…∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…＝R，
∴…∪[x0﹣2N2Th，x0﹣N2Th]∪[x0﹣N2Th，x0]∪[x0，x0+N2Th]∪[x0+N2Th，x0+2N2Th]∪…＝R．
h（x0）＝g（x0）•f（x0）＝h（x0﹣N2Th）＝g（x0﹣N2Th）•f（x0﹣N2Th），
∵g（x0）＝M≥g（x0﹣N2Th）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2Th）＞0．
因此若h（x0）＝h（x0﹣N2Th），必有g（x0）＝M＝g（x0﹣N2Th），且f（x0）＝f（x0﹣N2Th）＝c．
而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）＝f（x0）＝C，为常数．
综上，必要性得证．
【点睛】本题考查抽象函数及其应用，考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分类讨论的数学思想方法，题目设置难度较大．
20．（2021·上海黄浦·一模）设函数定义在区间上，若对任意的、、、，当，且时，不等式成立，就称函数具有M性质.
(1)判断函数，是否具有M性质，并说明理由；
(2)已知函数在区间上恒正，且函数，具有M性质，求证：对任意的、，且，有；
(3)①已知函数，具有M性质，证明：对任意的、、，有，其中等号当且仅当时成立；
②已知函数，具有M性质，若、、为三角形的内角，求的最大值.
(可参考：对于任意给定实数、，有，且等号当且仅当时成立.)
【答案】(1)不具有，理由见解析；
(2)证明见解析；
(3)①证明见解析；②.
【分析】（1）取特殊值验证即可，如：，，，；
（2）根据要证明的不等式可令，代入计算即可；
（3）①对任意的、、，令，显然，令，，，然后题意即可证明；
②利用①中的结论按三角形ABC的类型分类讨论可得.
(1)令，，，，于是，，显然.
因此函数，不具有M性质.
(2)设、，且，令，
显然，且，于是，即.
∵函数在区间上为增函数，∴.
(3)①对任意的、、，令，显然.
若，则不等式中等号成立.
下面考虑、、不全相等，不妨设的值最小，的值最大，于是，且.
令，，，
于是，且
，
故，从而.
又，且，
故，因此.
综上，，其中等号当且仅当时成立.
②当△为锐角三角形时，由①，得，
等号当时成立；
当△为直角三角形时，不妨设为直角，于是
；
当△为钝角三角形时，不妨设为钝角，此时，于是
，由，
得，于是，故.
综上，的最大值为.
【点睛】本题考查函数新定义，是对函数性质和不等式性质的综合应用，需要运用已知函数性质和不等式性质，并结合要证明的结论或计算的结果进行赋值运算，综合考查逻辑推理能力.
21．（2021·上海崇明·一模）对于定义域为的函数，区间若，则称为上的闭函数：若存在常数，对于任意的，都有，则称为上的压缩函数.
(1)判断命题“函数既是闭函数，又是压缩函数”的真假，并说明理由；
(2)已知函数是区间[0，1]上的闭函数，且是区间[0，1]上的压缩函数，求函数在区间[0，1]上的解析式，并说明理由；
(3)给定常数，以及关于的函数，是否存在实数，使得是区间[a，b]上的闭函数，若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由.
【答案】(1)假命题，理由见解析；
(2)，，或，，，理由见解析；
(3)当时，，，当时，，无解．
【分析】（1）利用定义判断函数是闭函数，但是不是压缩函数，再判断得解；
（2）假设（a），（b），，，，，利用两边夹的思想，求出，，然后分类讨论，利用反证法证明，同理可得；
（3）分类讨论，当时，利用函数的单调性建立方程，可得，是方程的两个根，由求根公式求解即可，当，时，分析得到矛盾，故无解，即可得到答案．
(1)解：函数的值域是，
所以函数是闭函数.
当时，，存在常数，对于任意的，都有；
当时，不妨设，等价于，
所以，所以，
所以，当时，，
因为，所以此时无解.
所以函数不是区间[0，1]上的压缩函数.
所以命题是假命题.
(2)解：函数是，上的闭函数，且是，上的压缩函数，
所以的值域为，，
假设（a），（b），，，，，
则（a）（b），
所以，，（a）（b），
即或，
当，则，
反证：如果存在，，
则，矛盾；
若存在，，
则（1），矛盾．
同理可得，当，则，
综上所述，，，或，，；
(3)解：因为，所以，
情形1：若，则单调递增，
所以，
故，是方程的两个根，
所以，
即时，，，
当时，，无解；
情形2：若，则单调递减，
所以，可得，与条件矛盾；
情形3：若，因为，但0不在定义域中，矛盾．
综上所述，当时，，，当时，，无解．
【点睛】关键点睛：解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可．
增函数
减函数
定义
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当
Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数
Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
奇偶性
定义
图象特点
奇函数
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数
关于原点对称
偶函数
设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数
关于y轴对称