专题04 函数及其性质-学易金卷：高考数学一模试题分项汇编（上海专用）

一模汇编

一、填空题

1.【黄浦1】函数的定义域为          .

【答案】   【解析】

2.【浦东2】若幂函数的图像经过点，则实数        .

【答案】    【解析】

3.【宝山2】函数的定义域是         .

【答案】   【分析】根据已知，可得，解出不等式即可得到结果.

【答案】要使函数有意义，则应满足，即

该不等式等价于，解得. 所以，函数的定义域是

4.【浦东3】函数的定义域为         .

【答案】     【解析】

5.【普陀3】设，则满足的的取值范围为        .

【答案】

【解析】

6.【杨浦3】方程的解是      .

【答案】

【解析】由题意得，得

7.【崇明4】若对数函数且）的图象经过点，则实数______.

【答案】2

【解析】将点代入得，解得

8.【青浦4】不等式的解集为        .

【答案】

【解析】在R上单调递增，则

即，解得，所以原不等式的解集为

9.【闵行5】已知正实数x、y满足，，则______.

【答案】   【分析】根据指对互化求，再根据指数运算求解.

【解析】，所以

10.【松江5】已知函数为奇函数，则实数______.

【答案】1     【分析】根据奇函数的定义结合指数运算求解.

【解析】若函数为奇函数，则

即，解得

11.【宝山5】若函数（，）在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为12，则实数a = ______.

【答案】3  【分析】由指数函数是单调函数，代入端点计算最值之和，即可求解.

【答案】函数y = ax(a＞0，a≠1)为单调函数，所以在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为

解得或-4（舍）. 故答案为3

12.【徐汇5】已知是定义域为的奇函数，且时，，则的值域是_______

【答案】   【分析】由函数奇偶性可得函数在上的解析式，做出图像即可求得值域.

【解析】因为是定义域为的奇函数，当时，，则时，，

所以，作出函数图像如下图所示：

由图像可知：函数值域为

13.【金山7】若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】根据指数函数的性质以及单调性，即可得到关于的不等式，求解不等式即可得到结果.

【解析】由已知可得，且，又时，，

即，解得

14.【嘉定8】若函数的值域是，则此函数的定义域为___________.

【答案】

【解析】当时，；当时，

15.【长宁8】研究发现，某昆虫释放信息素秒后，在距释放处米的地方测得的信息素浓度满足

，其中、为非零常数. 已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为，则释放信息素4秒后，距释放处的        米的位置，信息素浓度为.

【答案】4    【解析】因为释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为

所以，所以，即

当时，，整理得

即，所以，因为，所以

16.【闵行9】已知二次函数的值域为，则函数的值域为______.

【答案】   【解析】由二次函数的值域为

得，解得或（舍去）

，所以函数的值域为

17.【虹口9】设，若函数为奇函数，则______.

【答案】

【解析】对于定义域：的解集具有对称性，

则（也可以令时，求）

即，由，另，

对，都有，且显然成立，则

18.【松江9】已知集合，设函数的值域为，若，则实数的取值范围为         .【答案】

【解析】，即

因为，所以，所以

因为，所以，解得，所以实数的取值范围为

19.【静安10】已知全集为实数集，集合，，则=____________.【答案】

【解析】不等式可整理为，所以，解得，

所以，或；

不等式可整理为，所以，即，

解得或，所以或

20.【奉贤11】设且满足，则________.【答案】

【解析】令，则

所以，整理得，解得

所以

21.【普陀11】设、R且.若函数的表达式为（R），且，则的最大值为         . 【答案】

【解析】  （舍去）或

，当且仅当时，最大值为

22.【杨浦12】已知，若方程与均恰有两个不同的实根，则实数的取值范围是           .【答案】

【解析】法一：是开口向下的二次函数

恰有两个不同的实根 

设的两个实根为，且

由恰有两个不同的实根，令

则由，得方程或恰有两个不同的实根

如图，得图像与直线只有2个交点

解得，所以实数的取值范围是

法二：因为恰有两个不同的实数根，记为（不妨设）

所以，令

即，所以，

因为均恰有两个不同的实根，所以和中共有两个不相等的实数根

当时，即，整理得①

当时，即，整理得②

由，所以①②没有公共实数根

因为，所以方程①无实数根，②有两个实数根

所以， 不等式

故当，不等式显然成立

当时，，解得

所以，的解集为

不等式

故当时，，不等式恒成立

当时，，解得

所以，的解集为

所以，的解集为

二、选择题

23.【崇明13】下列函数中，既是奇函数又在区间上是严格增函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

24.【奉贤13】下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（    ）

A. 与      B. 与

C. 与         D. 与

25.【普陀14】设，则的充要条件是（    ）

【答案】

【解析】如图所示函数图像的位置关系，所以选D.

26.【长宁14】设（），则“函数的图像经过点”是“函数为奇函数”的（    ）条件

A. 充分不必要      B. 必要不充分      C. 充要      D. 既不充分也不必要

【答案】C    【分析】由图象过点解得a的值的集合，再由奇函数解得a的值的集合，由两个集合相等确定充要条件关系.     【解析】充分性：∵的图象经过点  ∴

又∵  ∴为奇函数，成立；

必要性：∵为奇函数，  ∴，成立；

综上，“图象经过点”是“为奇函数”的充要条件. 故选C.

27.【松江14】函数的图象可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C       【解析】因为，即函数的图象过点，可排除A、B；

又因为，可排除D，故选C.

28.【松江15】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为（、2），已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A     【解析】两颗星的星等与亮度满足，令

，故选A

29.【青浦15】已知函数定义域为，下列论断：

① 若对任意实数a，存在实数，使得，且，则是偶函数.

② 若对任意实数a，存在实数，使得，且，则是增函数.

③ 常数，若对任意实数a，存在实数，使得，且，则是周期函数.

其中正确的论断的个数是（   ）.

（A）0个   （B）1个   （C）2个   （D）3个

【答案】

【解析】对于①，由题意对任意实数，存在实数，使得，

即对于任意实数，都有，所以函数为偶函数，故①正确；

对于②，对任意实数，存在实数，使得，且，

无法判断出函数的单调性，如函数，故②错误；

对于③，常数，且，则，，

因为对任意实数，存在实数，使得，则，

即或，这两种情况可以同时成立，

所以函数不是周期函数，如，故③错误. 综上，选B.

30.【长宁16】函数的大致图像如图，则实数、的取值只可能是（    ）

A. ，        B. ，         

C. ，        D. ，

【答案】C

【分析】根据函数的单调性和与轴的交点结合指数函数的性质可求解.

【解析】若，为增函数，

且时，与图象不符，

若，为减函数，

且时，与图象相符，所以，

当时，，结合图象可知，此时，所以，故选C.

31.【杨浦16】已知定义在上的函数对任意，都有成立，且满足(其中为常数)，关于的方程：的解的情况，下面判断正确的是　　

A.存在常数，使得该方程无实数解 B.对任意常数，方程均有且仅有1解

C.存在常数，使得该方程有无数解 D.对任意常数，方程解的个数大于2

【答案】

【解析】法一：对任意，都有，则，

所以，所以为严格增函数，

对于方程，令，则，

所以，即，所以，

故对任意常数，方程均有且仅有1解，故选.

法二：令，则方程的解的情况可以转化为零点的情况，

因为，所以，

因为，所以，则，

令，，因为，所以，

，

即，所以在R上单调递增，又，所以对任意常数，只有一个零点，即方程只有一个解. 故选B.

32.【松江16】已知函数，，若函数的图像经过四个象限，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【分析】在平面直角坐标系中作出函数图像，作出直线，由图像知只要直线与的图像在轴左右两侧各有两个交点，则的图像就经过四个象限（时，的函数值有正有负，时，的函数值有正有负），因此求得直线的斜率，再求得直线与相切的切线斜率（注意取舍）即可得结论.

【解析】作出函数的图像，如图，作出直线，它过定点，由图可得，

只要直线与的图像在轴左右两侧各有两个交点，则的图像就经过四个象限（时，的函数值有正有负，时，的函数值有正有负），

时，与轴的公共点为，；

时，由，得

，

解得或

由图像知，切线的斜率为

所以时满足题意. 故选A.

33.【金山16】对于函数，若自变量在区间上变化时，函数值的取值范围也恰为，则称区间是函数的保值区间，区间长度为.已知定义域为的函数的表达式为，给出下列命题：①函数有且仅有个保值区间；②函数的所有保值区间长度之和为. 下列说法正确的是（    ）

A. 结论①成立，结论②不成立 B. 结论①不成立，结论②成立

C. 两个结论都成立 D. 两个结论都不成立

【答案】B

【分析】分析可知，分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，根据函数在上的值域为求出、的值，即可得出结论.

【解析】因为，所以，

①若，当时，，则函数在上单调递减，

由题意可得或（舍）；

②若，当时，，必有，且，

  函数在上严格减，在上严格增，

由，得（负舍），合乎题意.

综上，有个保值区间和，故①错；

所有的保值间长度之和为，故②对.

综上，选B.

三、解答题

34.【杨浦19】（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第，3小题满分6分）

企业经营一款节能环保产品，其成本由研发成本与生产成本两部分构成.生产成本固定为每台130元.根据市场调研，若该产品产量为万台时，每万台产品的销售收入为万元，两者满足关系：.

（1）甲企业独家经营，其研发成本为60万元.求甲企业能获得利润的最大值；

（2）乙企业见有利可图，也经营该产品，其研发成本为40万元.问：乙企业产量多少万台时获得的利润最大（假定甲企业按照原先最大利润生产，并未因乙的加入而改变）；

（3）由于乙企业参与，甲企业将不能得到预期的最大收益.因此会作相应调整，之后乙企业也会随之作出调整最终双方达到动态平衡（在对方当前产量不变的情况下，己方达到利润最大）.求动态平衡时，两企业各自的产量和利润分别是多少.

【答案】（1）1965万元；（2）万台；（3）两企业的产量均为30万台，甲企业利润为840万元，乙企业利润为860万元.

【解析】设利润为.

（1）                     .........................2分

，

当时，，                                     .........................2分

所以产量为45万台时，甲企业获利最大为1965万元；

（2）设乙企业产量为万台，此时甲依旧按照45万台产量生产，

对于乙企业，每万台产品的销售收入为   ...................2分

...................2分

当时，最大，所以乙企业产量为万台，获得利润最大；           ......2分

（3）假设达到动态平衡时，甲企业产量万台，乙企业产量万台.

甲企业：，

当时利润最大；                                             ...................2分

乙企业：，

当时利润最大；

联立，解得时达到动态平衡.                      ...................2分

此时利润分别为甲企业840万元，乙企业860万元.                        ...................2分

35.【黄浦21】（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知集合和定义域为的函数，若对任意，都有，则称是关于的同变函数.

（1）当A=与时，分别判断函数是否为关于的同变函数并说明理由；

（2）若是关于的同变函数，且当时，，试求在Z上的表达式，并比较与的大小；

（3）若为正整数，且是关于的同变函数，求证：既是关于Z的同变函数，也是关于的同变函数.

【解析】（1）当A=时，对任意的，， 由，可得，又，所以，故是关于的同变函数； ……………2 分

当时，存在，使得，即，

所以不是关于的同变函数. ……………4 分

（2）由是关于的同变函数，可知恒成立， ……………5 分

所以恒成立，故是以2为周期的周期函数.

当时，，由 .

可知……………7 分

(提示：也可通过分类讨论与累加法予以证明，下面的*式也同理可证)

对任意的，都存在 使得，故 ，

令可得

所以 (当且仅当 ，即时取等号). …………9 分

所以当时，. 当时，…………10 分

（3）因为是关于的同变函数，所以对任意的

都有 ， ………11 分

故用代换，可得 ，

所以，即，

又，故 ，且 . ……13 分

所以 ，故是以为周期的周期函数.

对任意的，由，

可得 ， （*）

所以是关于的同变函数. ………………15 分

对任意的 ，存在非负整数，使，所以 ， 对任意的，

即， 所以是关于的同变函数.

故既是关于的同变函数，也是关于的同变函数. ……18 分