人教B版高中数学选择性必修第三册6-2-2导数与函数的极值、最值优选作业含答案

【基础】6.2.2 导数与函数的极值、最值-3优选练习

一．填空题

1．

请写出一个同时满足下列三个条件的函数：

（1）是偶函数；（2）在上单调递减；（3）的值域是.

则__________.

2．在三棱锥中，平面平面，，．若，且三棱锥体积的最大值为，则______．

3．

所以的极小值点为，所以，

故答案为：1

4．已知函数的定义域为，满足，，且当时，，则当时，的值域为______.

5．函数，若，则的最小值是___________.

6．若时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.

7．

是定义在上的函数，其导函数为，若，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为______．

8．在三棱锥中，平面，，，其外接球表面积为，则三棱锥的体积的最大值为________.

9．在四面体中，，，，当_______________ 时，四面体的体积最大.

10．已知函数，则的最大值为________________________．

11．已知函数有三个零点，，，且，其中，为自然对数的底数，则的范围为______．

12．已知函数，给出下列命题：

①，都有成立；②存在常数，恒有成立；

③的最大值为；④在上是增函数.

以上命题中正确的为______.

13．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______．

【题文】

已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______．

14．

若函数在区间只有一个极值点，则实数的取值范围为______.

15．

已知函数有三个零点，则实数的取值范围为___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】 (答案不唯一).

【解析】

如，

，，所以是偶函数；

时，，所以在上单调递减；

，的值域是.

故答案为：.答案不唯一.

2．【答案】

【解析】分析：由平面平面，，得到平面，设，则，从而 ，然后令，得到 ，再利用导数法求解.

详解：因为平面平面，平面平面，

平面，，

所以平面.

设，则，

因为，

所以.

如图所示：

取的中点，连接，

则，，

，

所以．

设，则，，

所以（），

则，当 时， ，当 时，，

所以当时，取得最大值，最大值为，

则，解得.

故答案为：

【点睛】

方法点睛：几何体体积的求法：(1)若所给定的几何体是柱体．锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解，其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积．(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．

3．【答案】

【解析】

解：即，即，

设，则，故函数在定义域上递增，

又，故当时，，

，即，

设，则，

当时，，递增，

当时，，递减，

（1），

，即．

故答案为：．

4．【答案】

【解析】分析：由，得到函数的周期为6，把时的值域，转化为时的值域，结合时，函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.

详解：由题意，函数满足，可得，

可得函数的周期为6，所以时的值域，

即时的值域，即时的值域，

当时，函数，可得，

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，且，，

又因为，所以在上的值域为，

在上的值域为.

综上可得在上的值域为.

故答案为：.

【点睛】

解决函数极值．最值综合问题的策略：

5．【答案】

【解析】分析：由可得且，于是得到，设，即求函数的最小值，求出的导数得出其单调性，可得答案.

详解：由函数，若

即，则 ，即

所以

设，则

由，可得，，可得

所以函数在上单调递减，在上单调递增.

所以的最小值为

所以的最小值

故答案为：

【点睛】

关键点睛：本题考查利用导数求最值，解答本题的关键是由条件得出，然后构造出函数，属于中档题.

6．【答案】

【解析】分析：把给定不等式等价转化，利用单调性借助导数即可得解.

详解：因，

令，即，于是在R上单调递增，

，而有最小值-2，即，

所以实数的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

关键点睛：涉及不等式恒成立，等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.

7．【答案】

【解析】

题中不等式，即，

令，则，

故在上单调递增，

而，

即，

所以，

故不等式的解集是，

故答案为:

8．【答案】

【解析】分析：设的外心为点，外接球的球心为，过点作于点，令，，由得，所以，利用导数求解体积的最大值.

详解：如图所示，

令，，则，外接球表面积为，

所以半径，在中，，即，即，

得，所以体积，

令，，在上单调递增，在上单调递减，

所以时，的最大值为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了三棱锥的体积的计算，考查了利用导数求解最值，考查了学生的直观想象与运算求解能力.

9．【答案】

【解析】分析：将四面体补成一个长方体，根据四面体边长求解长方体的长宽高的表达式，以为变量求得四面体的体积，构造函数通过导数来求函数最大值即可.

详解：将四面体放在长方体中(补成一个长方体，使得四面体的6条棱是长方体6个面的对角线)设长方体的长宽高分别为，，.

则，解得，得

易得四面体ABCD的体积V为长方体体积减去4个等体积的三棱锥的体积

令，则

令，

令，得

所以当 ， ；当 ，

由导数知识可得

在递增，在递减；

故当时，取得最大值，此时也最大.

时，四面体体积最大.

故答案为：

【点晴】

将四面体放在长方体中(补成一个长方体，使得四面体的6条棱是长方体6个面的对角线)是解题的关键.

10．【答案】

【解析】分析：利用导数得出单调性即可得出最值.

详解：

则函数在上单调递增，在上单调递减

即

故答案为：

11．【答案】

【解析】分析：通过换元法将方程变为，其中；利用导数可求得的大致图象，从而确定其与的交点个数，将所求式子化为，利用韦达定理可求得结果.

详解：由，两边同时除以变形为，

有

设即，所以

令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，

且，，当时，其大致图像如下．

要使关于x的方程有三个不相等的实数解，，，且．

结合图像可得关于t的方程一定有两个不等的实数根，

且，从而．

，，则，．

所以

.

故答案为：

【点睛】

方法点睛：已知函数零点(方程根)个数求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解

12．【答案】①②④

【解析】分析：利用奇偶性的定义判断①；利用周期性的定义判断②；利用导数求解函数的最值；利用正弦函数的图象和性质判断④．

详解：①，为奇函数，正确；

②，为周期函数，正确；

③，令，则，令，得，且为最大值，错误；

④当时，，所以在上为增函数，正确.

故答案为：①②④

【点睛】

本题考查了三角函数的奇偶性，周期，最值和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用，属于中档题．

13．【答案】

【解析】

解：，则，

若在区间上只有一个极值点，

则在只有一个零点，,

所以只有一个解，又因为

作出函数的图像，

由数形结合知，若使函数与在上只有一个交点，只需，即

故答案为：.

14．【答案】

【解析】

令可得，

若函数函数有三个零点，则可得方程有三个根，

即与的图象有三个不同的交点，

作出的图象如图：

当时，是以为顶点开口向下的抛物线，

此时与的图象没有交点，不符合题意；

当时，与的图象只有一个交点，不符合题意；

当时，时，与的图象有一个交点，

所以时与的图象有两个交点，

即方程有两个不等的实根，即方程有两个不等的实根，

可得与的图象有两个不同的交点，

令，则，

由即可得，

由即可得，

所以在单调递增，在单调递减，

作出其图象如图：

当时，，

当
时，可得与的图象有两个不同的交点，

即时，函数有三个零点，

所以实数的取值范围为，

故答案为：