第2章 一元二次方程 浙教版数学八年级下册综合检测(含解析)
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第2章 一元二次方程综合检测卷(考查范围:第2章 时间:60分钟 满分:100分)一、选择题(共8题,每小题3分,共24分)1. (2022浙江温州十二中期中,2,)在下列方程中,属于一元二次方程的是 ( )A. x2-=x B. x2+y2=4 C. -1=0 D. x(1-2x2)=5x22. 一元二次方程x2-9x=0的解为 ( )A. x=0 B. x=3 C. x=9 D. x1=0,x2=93. (2022浙江宁波镇海蛟川书院期中,5, )将方程2x2+7=4x改写成ax2+bx+c=0的形式,则a,b,c的值分别为 ( )A. 2,4,7 B. 2,4,-7 C. 2,-4,7 D. 2,-4,-74. 关于x的方程(x+a)2=b能直接开平方求解的条件是 ( )A. a≥0,b≥0 B. a≥0,b≤0C. a为任意实数且b<0 D. a为任意实数且b≥05. (2022浙江诸暨浣纱中学月考,4,)用配方法解方程x2-4x+1=0时,配方后所得的方程是 ( )A. (x-2)2=3 B. (x+2)2=3 C. (x-2)2=1 D. (x-2)2=-16. (2022四川宜宾中考,10,)已知m、n是一元二次方程x2+2x-5=0的两个根,则m2+mn+2m的值为 ( )A. 0 B. -10 C. 3 D. 107. 【新素材·冬奥会】(2022浙江杭州春蕾中学期中,8,)2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱,象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神,据统计,某商店2021年第四季度的“冰墩墩”总销售量为9.93万件,其中10月的销量为3万件,设11,12月销量的平均增长率为x,则可列方程为 ( )A. 3(1+x)2=9.93 B. 3+3(1+x)2=9.93C. 3+3x+3(1+x)2=9.93 D. 3+3(1+x)+3(1+x)2=9.938. (2022浙江杭州丰潭中学期中,9,)下列关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的命题中,真命题有 ( )①若a-b+c=0,则b2-4ac≥0;②若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为1和-2,则a-b=0;③若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根是x=-c(c≠0),则b=ac+1.A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③二、填空题(共6题,每小题4分,共24分)9. 写出一个一元二次方程,使它以x为未知数,它的两个根为1和-2,则这个方程可以是 .(只需写出一个符合条件的方程,要求化为一般式) 10. 关于x的方程(a2-3)x2+ax+1=0是一元二次方程的条件是 . 11. (2022浙江杭州锦绣育才教育集团模拟,13,)已知a是方程x2+3x-4=0的一个根,则代数式2a2+6a+4的值是 . 12. (2022浙江金华永康中学期中,14,)已知-1是关于x的方程x2+bx-3=0的一个根,则另一个根是 . 13. (2022辽宁铁岭、葫芦岛中考,13,)若关于x的一元二次方程x2+2x-k+3=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 . 14. 如图,在一块长为40米,宽为30米的长方形荒地上,建造一个花园(阴影部分),使得花园的面积为荒地面积的,小明设计出如图所示的方案,则图中x的值为 . 三、解答题(共6题,共52分)15. (2022浙江金华义乌五校期中联考,18,)(6分)解方程:(1)(y-1)2-4=0; (2)x2+2x-1=0. 16. (8分)三个连续的正奇数,最大数与最小数的积比中间数的6倍多3,求这三个正奇数. 17. (8分)某电影自上映以来,全国票房连创佳绩.据统计,某市第一天票房收入约为2亿元,第三天票房收入约为4亿元,则票房收入每天的平均增长率为多少?(精确到1%,≈1.414) 18. (8分)一个正方形的一边增加3 cm,相邻一边减少3 cm,所得长方形的面积与这个正方形的每边减去1 cm所得的正方形面积相等,求这个长方形的长和宽. 19. (10分)已知关于x的方程x2+ax+a-2=0.(1)当该方程的一个根为1时,求a的值及该方程的另一根;(2)求证:无论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根. 20. (12分)阅读下面的材料,回答问题:方程x4-5x2+4=0是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常如下:设x2=y,那么x4=y2,于是原方程可变为y2-5y+4=0①,解得y1=1,y2=4.当y=1时,x2=1,∴x=±1;当y=4时,x2=4,∴x=±2.∴原方程有四个根:x1=1,x2=-1,x3=2,x4=-2.(1)在由原方程得到方程①的过程中,利用 法达到 的目的,体现了数学中的转化思想; (2)解方程:(x2+x)2-4(x2+x)-12=0.
答案全解全析1. A x2-=x符合一元二次方程的定义,是一元二次方程,所以A符合题意;x2+y2=4含有两个未知数,不是一元二次方程,所以B不符合题意;是分式,不是一元二次方程,所以C不符合题意;x(1-2x2)=5x2中等号左边的展开结果为三次多项式,不是一元二次方程,所以D不符合题意.故选A.2. D 方程左边分解因式,得x(x-9)=0,所以x=0或x-9=0,解得x1=0,x2=9.3. C 方程2x2+7=4x,移项,得2x2-4x+7=0,所以a=2,b=-4,c=7.4. D ∵(x+a)2=b,∴b≥0.5. A x2-4x+1=0,移项,得x2-4x=-1,方程两边同时加上4,得x2-4x+4=3,即(x-2)2=3,故选A.6. A ∵m、n是一元二次方程x2+2x-5=0的两个根,∴mn=-5,m2+2m-5=0,∴m2+2m=5,∴m2+mn+2m=m2+2m+mn=5-5=0.7. D 因为10月销量为3万件,11月,12月销量的平均增长率为x,所以11月的销量为3(x+1)万件,12月的销量为3(x+1)2万件.因为第四季度为10月,11月,12月这三个月,根据“2021年第四季度的“冰墩墩”总销售量为9.93万件”可列方程为3+3(1+x)+3(1+x)2=9.93.8. A ∵a-b+c=0,∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一根为x=-1,所以b2-4ac≥0成立,所以①是真命题;因为方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为1和-2,所以a+b+c=0,4a-2b+c=0,两式相减,得3a-3b=0,即a-b=0,所以②是真命题;因为方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根是x=-c(c≠0),所以ac2-bc+c=0,因为c≠0,所以两边可同时除以c,得ac-b+1=0,即b=ac+1,所以③是真命题.9. x2+x-2=0(答案不唯一)解析 要使这个一元二次方程以x为未知数,它的两个根为1和-2,则这个方程可以为(x-1)(x+2)=0,化为一般式为x2+x-2=0(答案不唯一).10. a≠±解析 因为关于x的方程(a2-3)x2+ax+1=0是关于x的一元二次方程,所以a2-3≠0,解得a≠±.11. 12解析 因为a是方程x2+3x-4=0的一个根,所以a2+3a-4=0,所以a2+3a=4,所以2a2+6a+4=2(a2+3a)+4=2×4+4=12.12. 3解析 因为-1是关于x的方程x2+bx-3=0的一个根,所以(-1)2-b-3=0,解得b=-2.所以这个方程为x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3.∴方程的另一个根为3.13. k>2解析 ∵关于x的一元二次方程x2+2x-k+3=0有两个不相等的实数根,∴b2-4ac>0,∴22-4×1×(-k+3)>0,解得k>2.14. 10解析 题图中四块空白部分可合成长为(40-x)米,宽为(30-2x)米的长方形,依题意得(40-x)(30-2x)=40×30×,解得x1=10,x2=45(舍去).15. 解析 (1)方程(y-1)2-4=0,左边分解因式,得(y-1+2)(y-1-2)=0,所以y-1+2=0或y-1-2=0,解得y1=-1,y2=3.(2)方程x2+2x-1=0,两边同时加上2,得x2+2x+1=2,即(x+1)2=2,所以x+1=±,解得x1=-1+,x2=-1-.16.解析 设中间的正奇数为x,则(x+2)(x-2)=6x+3,解得x1=7,x2=-1.∵x为正奇数,∴x=7,∴这三个正奇数分别为5,7,9.17. 解析 设票房收入每天的平均增长率为x,则第二天票房收入约为2(1+x)亿元,第三天票房收入约为2(1+x)2亿元,根据“第三天票房收入约为4亿元”,可得2(1+x)2=4,解得x1=--1(舍去),x2=-1≈1.414-1≈41%.答:票房收入每天的平均增长率为41%.18. 解析 设原正方形的边长为x cm,依题意可列方程为(x+3)(x-3)=(x-1)2,∴x2-9=x2-2x+1,∴2x=10,∴x=5,故所得长方形的长为5+3=8(cm),宽为5-3=2(cm).19. 解析 (1)设方程的另一根为x1,则,该方程的另一根为x=-.(2)证明:∵a2-4×(a-2)=(a-2)2+4>0,∴无论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.20. 解析 (1)换元;降次.(2)设x2+x=y,则原方程可化为y2-4y-12=0,解得y1=6,y2=-2.由x2+x=6得x1=-3,x2=2;由x2+x=-2得方程x2+x+2=0,∵b2-4ac=1-4×2=-7<0,∴此方程无解.∴原方程的解为x1=-3,x2=2.
