初中数学北师大版七年级下册3 简单的轴对称图形教学设计及反思

等腰三角形的性质

课题：

三维   目标

知识与技能

经历剪纸、折纸等活动，进一步认识等腰三角形，了解等腰三角形是轴对称图形

过程与方法

能够探索、归纳、验证等腰三角形的性质，并学会应用等腰三角形的性质

情感态度与价值观

培养分类讨论、方程的思想和添加辅助线解决问题的能力

教学重点：等腰三角形的性质的探索和应用

教学难点：等腰三角形的性质的验证

教学方法与手段：采用“情境──探究”的方法

教学过程：

一．提出问题，创设情境

    在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？

   有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．

  问题：那什么样的三角形是轴对称图形？

    满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．

    我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．

二．导入新课：  要求学生通过自己的思考来做一个等腰三角形．

作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．

    等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．

    思考：

    1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．

    2．等腰三角形的两底角有什么关系？

    3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？

    4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？

    结论：等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．

    要求学生把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．

    沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．

   由此可以得到等腰三角形的性质：

    1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．

    2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．

    由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．

    如右图，在△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，因为

    所以△BAD≌△CAD（SSS）．

    所以∠B=∠C．

   ]如右图，在△ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为

    所以△BAD≌△CAD．

    所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°．

   [例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，

求：△ABC各角的度数．

   分析：根据等边对等角的性质，我们可以得到

∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，

再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．

再由三角形内角和为180°，就可求出△ABC的三个内角．

   把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷．

      解：因为AB=AC，BD=BC=AD，

    所以∠ABC=∠C=∠BDC．

    ∠A=∠ABD（等边对等角）．

    设∠A=x，则  ∠BDC=∠A+∠ABD=2x，

    从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．

    于是在△ABC中，有

    ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，

    解得x=36°．    在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°

[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识．

三．随堂练习：课本． 

教师小结：

这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．

     作业： 课本

板书设计：

5 等腰三角形（1）

    一、设计方案作出一个等腰三角形

二、等腰三角形性质：

 1．等边对等角      2．三线合一

修订、增减

教学反思：

课题：

线段垂直平分线的性质

三维   目标

知识与技能

了解两个图形成轴对称性的性质，掌握轴对称图形的性质．

过程与方法

探究并证明线段垂直平分线的性质

情感态度与价值观

经历探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观念

教学重点：轴对称的性质

教学难点：线段垂直平分线的性质

教学方法与手段：采用“情境──探究”的方法

教学过程：

一．创设情境，引入新课

     上节课我们共同探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而使得世界非常美丽．那么大家想一想，什么样的图形是轴对称图形呢？

     今天继续来研究轴对称的性质．

    二．导入新课

观看投影并思考．

    如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？

    图中A、A′是对称点，AA′与MN垂直，BB′和CC′也与MN垂直．

   AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外还有什么关系吗？

   △ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′B′C′沿MN对折后，点A与A′重合，于是有AP=A′P，∠MPA=∠MPA′=90°．所以AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外，MN还经过线段AA′、BB′和CC′的中点．

   对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．

   自己动手画一个轴对称图形，并找出两对称点，看一下对称轴和两对称点连线的关系．

   我们可以看出轴对称图形与两个图形关于直线对称一样，对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．

    归纳图形轴对称的性质：

    如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．

下面我们来探究线段垂直平分线的性质．

    [探究1]

如下图．木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，P1，P2，P3，…是L上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B的距离，你有什么发现？

    1．用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3…，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…

    2．作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…讨论发现什么样的规律．

    探究结果：

    线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP1=BP1，AP2=BP2，…

    证明．

    证法一：利用判定两个三角形全等．

    如下图，在△APC和△BPC中，

 △APC≌△BPC PA=PB.

    证法二：利用轴对称性质．

    由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线L对折，线段PA与PB是重合的，因此它们也是相等的．

    带着探究1的结论我们来看下面的问题．

 [探究2]

如右图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？

  活动：

1．用平面图形将上述问题进行转化．作线段AB，取其中点P，过P作L，在L上取点P1、P2，连结AP1、AP2、BP1、BP2．会有以下两种可能．

    2．讨论：要使L与AB垂直，AP1、AP2、BP1、BP2应满足什么条件？

 探究过程：

    1．如上图甲，若AP1≠BP1，那么沿L将图形折叠后，A与B不可能重合，也就是∠APP1≠∠BPP1，即L与AB不垂直．

    2．如上图乙，若AP1=BP1，那么沿L将图形折叠后，A与B恰好重合，就有∠APP1=∠BPP1，即L与AB重合．当AP2=BP2时，亦然．

  探究结论：

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

    [师]上述探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质，即：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上．所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合．

 三．随堂练习

课本

教师小结：

这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，了解了线段的垂直平分线的有关性质，同学们应灵活运用这些性质来解决问题．

作业：板书设计：

线段垂直平分线的性质

    一、复习：轴对称图形．

    二、线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线．

    三、图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．

    四、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上．

教学反思

课标要求

1、知识与技能：掌握作已知角的平分线的方法；能够利用角平分线的性质和判定进行推理和计算，初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用.

2、过程与方法：在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉。经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力.

3、情感目标： 在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，结合实际，创造丰富的情境，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，让他们在活动中获得成功的体验，树立学习的信心．

识记

理解

应用

综合

知识点1

角的平分线的尺规作图

∨

知识点2

角的平分线的性质

∨

知识点3

角的平分线的判定

∨

知识点4

角的平分线的性质与判定

∨

目标设计

1、通过实例及观察探究角平分线的尺规作图。

2、通过实验和理论分析理解角的平分线的性质。并进行简单应用。

3、通过实际问题的引入，探究角的平分线的判定，并由全等加以证明。

4、通过实验和理论分析理解三角形三条角平分线交于一点的原因。

5、进一步使学生对角的平分线的性质与判定加深理解，提高解决问题的能力。