2021-2022学年山东省新泰市第一中学高一下学期第一次质量检测数学试题（解析版）（含答案解析）

2021-2022学年山东省新泰市第一中学高一下学期第一次质量检测数学试题（解析版）

1.  向量，，则(    )

A.  B. 0
C. 1 D. 2

2.  已知向量，，若为实数，，则(    )

A.   B.  C. 1 D. 2

3.  在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则角(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数(    )

A.  B. 1 C.  D.

5.  在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则解的个数为(    )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定

6.  若则等于(    )

A.  B.
C.  D.

7.  P是所在平面上一点，满足：，的面积是，的面积是，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点点M，N与点B，C不重合，设，，则的最小值为(    )

A. 2 B.  C. 4 D.

9.  下列各式中，化简结果为的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  已知，，则正确的有(    )

A.
B. 与同向的单位向量是
C. 和的夹角是
D. 与垂直的单位向量是

11.  下列说法正确的有(    )

A. 在中，
B. 在中，若，则为等腰三角形
C. 中，是的充要条件
D. 在中，若，则

12.  在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且：：：10：11，则下列结论正确的是(    )

A. ：：：5：6
B. 是钝角三角形
C. 的最大内角是最小内角的2倍
D. 若，则外接圆半径为

13.  已知向量，夹角为，且，，则__________.

14.  已知、、，且A、B、三点共线，则__________.

15.  已知非零向量，，满足，与的夹角为，，则向量在向量上的投影向量的模为__________.

16.  如图，在矩形ABCD中，，，，M为BC的中点，若点P在线段BD上运动，则的最小值为__________.

17.  已知向量，，，且，

求与

若，，求向量与的夹角的大小.

18.  已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，且满足

求角B的大小；

若，的面积为，求的周长．

19.  如图，四边形ABCD中，
 

用表示；

若，点E在AB上，，点P在DE上，，，求

20.  如图，某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西方向且与该港口相距20nmile的A处，并以的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以的航行速度匀速行驶，经过th与轮船相遇.

若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

假设小艇的最高航行速度只能达到，试设计航行方案即确定航行方向与航行速度的大小，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．

21.  在①，②AC边上的高为，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并完成解答．问题：记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，______.

求c的值；

设AD是的角平分线，求AD的长．

22.  的内角的对边分别为，已知

求B；

若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查向量数量积的坐标运算，属于基础题.
先求出，再根据数量积的计算公式计算即可.

【解答】

解：，，

，

故选

2.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量平行的坐标表示，向量线性运算的坐标表示，属于基础题.
先求出的坐标，再由，列方程可求得结果.

【解答】

解：因为向量，，

所以，

因为，，

所以，解得，

故选

3.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查利用余弦定理解三角形，属基础题.
利用余弦定理的推论计算的值，进而求出C的值.

【解答】

解：因为，，，

所以，

又，所以

故选

4.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的数量积与垂直的关系应用，属中档题.
由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的运算法则，求出m的值．

【解答】

解：，是夹角为的两个单位向量，

而 ，，

若，
则 ，
即，

解得

故选

5.【答案】B 

【解析】

【分析】

根据正弦定理进行求解和判断即可．属于基础题.
本题主要考查三角形个数的判断，根据正弦定理是解决本题的关键．

【解答】

解：由正弦定理得，得，
，则，则，
则解的个数为1个，
故选：

6.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的加减与数乘的混合运算，属基础题.
将改为起点为O的向量后再转化可求解.

【解答】

解：，

，，

故选

7.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量在几何中的应用，向量的线性运算，属中档题.
根据得出，进而得 并且方向相同，由此可得出三角形间面积关系.

【解答】

解：由题意得：

，

，

 并且方向相同，

如图，设AP与BC之间的距离为h，

，

又，

，

故选

8.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量中的三点共线问题、向量的线性运算，以及利用基本不等式求最值，属于较难题.
利用G为的重心，得，结合三点共线得到，最后利用基本不等式中“1”的妙用代入解题即可.

【解答】

解：因为G为的重心，所以，
所以有，
因为三点共线，所以，
即，即，易知，，

所以
，
当且仅当，即时取得等号，
所以的最小值为

故选

9.【答案】ABC 

【解析】

【分析】

本题考查向量加法和减法运算，属于简单题.
根据向量加减法的运算法则，分别判断每个选项，得到正确答案.

【解答】

解：，故A正确；

B.，故B正确；

C. ，故C正确；

D.，当时，，故D不正确.

故选

10.【答案】ABC 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积的坐标运算，向量的单位向量，向量的数量积与向量垂直的关系，属于一般题.
利用向量数量积的坐标运算可判断A，利用求模公式以及单位向量的定义可判断B，利用夹角公式可判断C，设为与向量垂直的单位向量，依题意得到方程组，求出，即可判断

【解答】

解：因为，

对于A：，正确，

对于，
与共线的单位向量为或，

其中与同向的单位向量是，正确，

对于，，又，

，正确，

对于D：因为，设为与向量垂直的单位向量，
所以，解得或，
故或，错误．

故选

11.【答案】AC 

【解析】

【分析】

本题考查了命题真假性的判断，正弦定理的应用，属于基础题.
由正弦定理，二倍角的正弦公式，逐一分析各个选项，即可求解.

【解答】

解：由正弦定理，

可得：，

即成立，故选项A正确；

由可得或，即或，

则是等腰三角形或直角三角形，故选项B错误；

在中，由正弦定理可得：

，

则是的充要条件，故选项C正确；

在中，若，则或，故选项D错误.

故答案选：

12.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理和余弦定理、二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题.
由正弦定理可判断A；由余弦定理可判断B；由余弦定理和二倍角公式可判断C；由正弦定理可判断

【解答】

解：由：：：10：11，
可设，，，
解得，，，
由正弦定理可得：：：b：：5：6，故A正确；
由c为最大边，可得，
即角C为锐角，故B错误；
可知：A为的最小内角，C为的最大内角，
由，
由，
由2A，，可得，故C正确；
若，可得，
故外接圆半径，故D正确.
故选：

13.【答案】2 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积运算以及向量的模的运算，属于基础题.
由可得，解方程可得结果.

【解答】

解：因为，又，，的夹角为，
所以
，
解出
故答案为：

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量共线的坐标表示，属于基础题.

由三点共线，得，根据向量共线的坐标表示求

【解答】

解：三点共线，

，

故答案为：

15.【答案】1 

【解析】

【分析】

本题考查向量的模，投影向量平面向量，属于中档题.
由题意得，，由投影向量的定义知向量在向量上的投影向量为，即可求它的模.

【解答】

解：由题设，，，，
则，，，
而向量在向量上的投影向量为，
向量在向量上的投影向量的模为
故答案为：

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，考查向量共线的充要条件，考查二次函数的单调性，考查数学运算的核心素养，属于中档题．
设，其中，则
，展开计算即可.

【解答】

解：因为点 P 在线段 BD 上运动，设，其中，
，
，
所以

，
结合二次函数的图象及性质可得，当时， 取得最小值
故答案为

17.【答案】解：由得，则，所以，即，

由得，，所以，即；

由得，

，

所以，，，

所以，
因为

所以向量，的夹角为

【解析】本题考查向量平行和垂直的坐标表示、向量的夹角，考查了运算求解能力，属于基础题.
由得，，求出x，即可得的坐标；由得，，求出y，即可得的坐标；
先求出和的坐标，再根据向量的夹角公式求解即可，最后确定角的大小.
 

18.【答案】解：，
由正弦定理得：，

则，

，

，

，，

，
，

由，得，，

由余弦定理：，

得，得：，

所以的周长为

【解析】本题考查利用正余弦定理解三角形，考查三角形面积公式的应用，涉及两角和的正弦公式的应用，属中档题.
利用正弦定理得到，求出角B的大小；
根据面积公式得到c，再由余弦定理求出，求出周长.
 

19.【答案】解：，

；
由已知：， 
得：，
在中，，
，，
在中，，
，，
    ，                  
又，
，     
在中，，
 ，     
由勾股定理易得：，
由余弦定理可得：

 

【解析】本题主要考查了向量的加减运算，考查了解三角形，属于中档题.
利用向量的基本定理结合向量加减运算求解；
将问题转化为解三角形问题，利用余弦定理求解.
 

20.【答案】解：如图设小艇与轮船相遇时的时间为t，在C点相遇，

则由余弦定理得：

即：
，

当时，小艇的航行距离vt取得最小值，此时速度，
所以，，
由，得，
所以此时小艇的航行方向为正北方向，航行速度为

如图设小艇与轮船在B点相遇，
要用时最小，则首先速度最高，即为：，
则，
即：，
解得：，
则，此时为等边三角形，
此时，

故可设计小艇航行方案如下：

航行方向为北偏东，航行速度为，小艇能以最短时间与轮船相遇．

【解析】本题考查解三角形的应用，属中档题.
如图设小艇的速度为v，时间为t在C点相遇，则由余弦定理得：，即，再由二次函数性质求解最值．
根据题意，要用时最小，则首先速度最高，即为：，然后是距离最短，则利用余弦定理得到方程解得t，再解得相应角即可．
 

21.【答案】解：选条件①
，
由余弦定理，
整理得，因，
解得，；
因AD是的角平分线，所以，
，
，
则，
由正弦定理，；
选条件②
边上的高为，
由三角形的面积公式，
解得，；
因AD是的角平分线，所以，
，，
则，
由正弦定理，
选条件③
，
由题意可知，所以，
因为，
，
由正弦定理，，解得，
因AD是的角平分线，所以，
则，
由正弦定理， 

【解析】本题考查解三角形和三角恒等变换，属于中等题.
选条件①，利用余弦定理即可求解;
选条件②，利用三角形的面积公式即可求解;
选条件③，利用正弦定理和三角恒等变换即可求解;
利用角平分线的性质、两角和的正弦公式和正弦定理即可求解.
 

22.【答案】解：根据题意，
由正弦定理得，
因为，所以，消去得，

因为，，
所以或，
而根据题意，
故不成立，所以，
又因为，代入得，所以

因为是锐角三角形，
由知，得到，

所以，解得，

由正弦定理，，

结合三角形面积公式有：

又，则，
所以，

所以

故的取值范围是

【解析】本题考查了正弦定理的应用，三角形的面积公式，三角恒等变换的应用，正切函数的图象与性质，属于中等题.
利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A，B，C均为三角形内角解得；
根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于C的函数，由于是锐角三角形，再利用三个内角都小于来计算C的范围，最后求解的值域.