山东省泰安新泰市第一中学（东校）2023-2024学年高一上学期第一次质量检测数学试题（Word版附解析）

这是一份山东省泰安新泰市第一中学（东校）2023-2024学年高一上学期第一次质量检测数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（每个题目5分，共40分）
1. 已知集合，，若，则等于（ ）
A. 或3B. 0或C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性进行求解即可.
【详解】由于，故，解得或.
当时，，与集合元素互异性矛盾，故不正确.
经检验可知符合.
故选：C
2. 设全集，，，则图中阴影部分对应的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解一元二次不等式可求得集合，再由图中阴影部分利用集合基本运算即可求得结果.
【详解】解集合对应的不等式可得，即；
易知图中阴影部分对应的集合可表示为，
由可得，
因此，即图中阴影部分对应的集合为.
故选：D
3. 满足的集合M共有（ ）
A. 6个B. 7个C. 8个D. 15个
【答案】B
【解析】
【分析】根据子集，真子集的关系，一一列举即可.
【详解】，可按元素个数分类依次写出集合M为，，，，，，，共7个.
故选：B.
4. 若不等式有解，则实数的取值范围为（ ）
A. 或B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次不等式有实数解的充要条件列式求解作答.
【详解】不等式有解，即不等式有解，
因此，解得或，
所以实数的取值范围为或.
故选：A
5. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求解命题“”为真命题时，即可根据真子集求解.
【详解】命题“”为真命题,则对恒成立，所以，故，
所以命题“”为真命题的充分不必要条件需要满足是的真子集即可，由于是的真子集，故符合，
故选：D
6. 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式求得最值，可得答案.
【详解】因为，所以，
所以，当且仅当时取等号，
故的最小值为3.
因为当时，不等式恒成立，
所以.
故选：D.
7. 设p：，q：，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解一元二次不等式、分式不等式求对应x的范围，根据充分、必要性定义判断p、q的关系.
【详解】由，则，
由，则，即，故，
所以p是q的必要不充分条件.
故选：B
8. 甲、乙两人同时于上周和本周到同一加油站给汽车加油两次，甲每次加油20升，乙每次加油200元，若上周与本周油价不同，则在这两次加油中，平均价格较低的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 一样低D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，分别求得甲乙两次加油的平均价格，结合作差比较，即可得到答案.
【详解】设两次加油时的单价分别为元和元，且，
则甲每次加油升，两次加油中，平均价格为元，
乙每次加油元，两次加油中，平均价格为元，
可得，所以乙的平均价格更低.
故选：B.
二、多选题（每个小题满分5分，答对部分答案得2分，答错得0分）
9. 若非空集合满足：，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意可得：，然后根据集合的包含关系即可求解.
【详解】由可得：，由，可得，则推不出，故选项错误；
由可得，故选项正确；
因为且，所以，则，故选项正确；
由可得：不一定为空集，故选项错误；
故选：.
10. 已知，，，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若且，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解.
【详解】选项A，若成立则，所以，故选项A正确；
选项B，由得，又因为，
所以，所以，故选项B正确；
选项C，因为，所以，所以，
因为，所以两边同乘得，故选项C正确；
选项D，因为，，，
所以，即，故选项D不正确；
故选：ABC．
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 若，则“”是“”的充分不必要条件
C. “”是“”的充要条件
D. 若，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，由特称命题否定为全称命题分析判断，对于B，根据充分条件和必要条件的定义分析判断，对于C，举例判断，对于D，作差法分析判断
【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，所以A错误，
对于B，当时，，，而当时，，
所以“”是“”的充分不必要条件，所以B正确，
对于C，若，则，所以“”不是“”的充要条件，所以C错误，
对于D，因为，，所以，
所以，所以，所以D正确，
故选：BD
12. 已知命题：关于的不等式的解集为R，那么命题的一个必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】求出命题p成立时a的取值范围，再根据必要不充分条件的定义判断即可．
【详解】命题p：关于x的不等式的解集为R，
则，解得
又，，
故选：CD．
第Ⅱ巻（非选择题）
三、填空题（每个小题5分，共20分）
13. 某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类，经统计高一年级有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛，有人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有人；同时参加三项比赛的有人.则高一年级参加比赛的同学有___________.
【答案】
【解析】
【分析】设集合、、分别指参加田径、游泳、球类比赛的学生构成的集合，作出韦恩图，确定参加各类比赛的学生人数，即可得解.
【详解】设集合、、分别指参加田径、游泳、球类比赛的学生构成的集合，
由图可知，高一年级参加比赛的同学人数为.
故答案为：.
14. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】原命题为假，则其否定为真，转化为二次不等式的恒成立问题求解.
【详解】命题“”的否定为：“，”.
因为原命题为假命题，则其否定为真.当时显然不成立；当时，恒成立；当时，只需，解得：.
综上有
故答案为：.
15. 已知集合，，若，，则实数的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据，求出，可得，可得，可得.
【详解】因为，所以，所以，得，
所以，
所以，即有且只有一个实根，
所以，解得
故答案为：
【点睛】关键点点睛：推出是解题关键.
16. 已知若正数、满足，则的最小值为___________．
【答案】0.8
【解析】
【分析】由可得，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得答案.
【详解】已知正数、满足，则，
所以，
，
当且仅当时，等号成立.
因此，的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
17. （1）试比较与的大小；
（2）已知，，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）与作差，判断差的正负即可得出结论；
（2）结合不等式的性质分析即可证出结论.
【详解】（1）由题意，
，
所以．
（2）证明：因为，所以，即，
而，所以，则．得证．
18. 已知命题，命题.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）写出命题的否定，由它为真命题求解；
（2）由（1）易得命题为真时的范围，再由为真命题时的范围得出非为真时的范围，两者求交集可得．
【详解】解：(1)根据题意，知当时，.，为真命题，.
实数的取值范围是.
(2)由(1)知命题为真命题时，.
命题为真命题时，，解得为真命题时，.
，解得，即实数的取值范围为.
19. 已知函数，
（1）若的解集为，求的值；
（2）若，求不等式的解集.
【答案】（1）或
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题意得方程的两根为和，且，然后利用根与系数的关系列方程可求得结果，
（2）分，和三种情况求解即可
【小问1详解】
因为的解集为，
所以方程的两根为和，且.
所以，解得或.
【小问2详解】
因为，所以不等式，即，
当时，，解得，即不等式的解集为；
当时，，解得，即不等式的解集为；
当时，原不等式即，解得，即不等式的解集为.
综上：当时式的解集为，
当时不等式的解集为，
当时不等式的解集为.
20. 已知全集，集合，.
（1）当时，求；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合；
（2）分析可知，，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
因为，当时，，
因为全集，则或，或，
因此，或.
【小问2详解】
易知集合为非空集合，
因为是的必要不充分条件，则，所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
21. 为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设．
（1）当时，求海报纸的面积；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD的面积最小）？
【答案】（1）
（2）选择长宽分别为的海报纸.
【解析】
【分析】（1）先表示出阴影部分的面积，代入，可求出阴影部分的高，进而得到海报纸的面积；
（2）表示出各自的关系式，转化为条件下的最值问题，最后运用基本不等式可得答案.
【小问1详解】
设阴影部分直角三角形高为所以阴影部分的面积：，所以即：，
由图像知：，
【小问2详解】
由（1）知：
，当且仅当即，
即等号成立.
综上，选择长宽分别为的海报纸.
22. 已知集合,.
（1）当时，求；
（2）若是的充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分别求两个集合的解集，再求并集；
（2）根据题意可知，，再分情况讨论求集合，根据子集关系，求实数取值范围.
【小问1详解】
，即，
解得：，所以，
时，，即，得，
则，
所以；
【小问2详解】
若是的充分条件，则，
当时，，得，，此时，
当时，，得，，
若，则，得；
若，则，
当时，即，不等式的解集为或，
，若，则，得，
当时，即，不等式的解集为或，
恒成立，得，
当时，，不等式的解集为，此时，
综上可知，的取值范围为.