2021-2022学年山东省临沂十八中高一（下）月考数学试卷（4月份）（含答案解析）

2021-2022学年山东省临沂十八中高一（下）月考数学试卷（4月份）

1.  关于向量，，下列命题中，正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

2.  已知平面向量，不共线，，，，则(    )

A. A，B，D三点共线 B. A，B，C三点共线 C. B，C，D三点共线              D. A，C，D三点共线

3.  已知向量，，则“”是“”的(    )

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.  在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若：：：4：5，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在中，，，，AD为BC边上的高，O为AD上靠近点A的三等分点，且，其中，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  圣索菲亚大教堂，位于土耳其伊斯坦布尔，有着近一千五百年的历史，因巨大的圆顶而闻名于世，是一幢拜占庭式建筑．圣索菲亚大教堂主体建筑集中了数学的几何图形之美，使世界各地的游客前往参观．现在游客想估算它的高度CD，借助于旁边高为24米的一幢建筑房屋AB作为参考点，在大教堂与建筑房屋的底部水平线上选取了点如图所示，从点P处测得C点的仰角为，测得A点的仰角为，从A处测得C处的仰角为，则该游客估算圣索菲亚大教堂的高度大约为(    )
参考数据：，，

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

7.  点P是菱形ABCD内部一点，若，则ABCD的面积与的面积的比值是(    )

A. 6 B. 8 C. 12 D. 15

8.  古希腊数学家帕普斯通过在矩形ABCD中构造内接直角三角形，证明了三角公式其中，，如图所示．若，，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  下列命题中其中，，均表示向量，不正确的是(    )

A. 若，则，或
B. 若且，则
C. ，则
D. 若平面内有四点A，B，C，D，则必有
 

10.  在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

11.  已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个命题中正确的命题是(    )

A. 若，则一定是等边三角形
B. 若，则一定是等腰三角形
C. 若，则一定是等腰三角形
D. 若，则一定是锐角三角形
 

12.  在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，下列各组条件中使得有两个解的是(    )

A.
B.
C.
D.

13.  已知向量，，若，则______.

14.  已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足若，则周长的最大值为______.

15.  在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为，则角______.

16.  半径为R的圆外接于，且，若，则面积的最大值为______.

17.  已知，
当时，求；
若与所成角为钝角，求x的范围．

18.  已知
求的最小正周期及单调递增区间；
已知钝角内角A，B，C的对边长分别a，b，c，若，，求a的值．

19.  如图所示，中，，，，，线段BF，CE相交于点
用向量与表示及；
若，试求实数x，y的值．

20.  如图，四边形ABCD中，
若，求的面积；
若，，，求的值．

21.  在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
求C；
若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．

22.  如图，在中，已知，，A为锐角，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，的面积为
求BC的长度；
求的余弦值．

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：对于A，向量的模相等，向量不一定相等，故A错误，
对于B，向量不能比较大小，故B错误，
对于C，若向量相等，则向量共线，反之，不成立，故C正确，D错误，
故选：
根据向量的有关定义分别判断即可．
本题考查了向量的有关概念，熟练掌握向量的定义是解题的关键，是基础题．
 

2.【答案】D 

【解析】解：因为，，，
所以，
所以与共线，即A、C、D三点共线．
故选：
根据平面向量的共线定理与线性运算法则，进行判断即可．
本题考查了平面向量的线性运算与共线定理应用问题，是基础题．
 

3.【答案】B 

【解析】解：若，则，
，
时，能得出；而得不出，
““是““的充分不必要条件．
故选：
根据平行向量的坐标关系，可得出或，然后即可判断出“”是““的充分不必要条件．
本题考查了向量平行的坐标关系，充分条件和必要条件的定义，考查了计算能力，属于基础题．
 

4.【答案】A 

【解析】解：中，：：：4：5，
由正弦定理，可得a：b：c：：4：5，
设，，，
由余弦定理，得
故选：
根据正弦定理，结合题意得a：b：c：：4：5，由此结合余弦定理算出的值，
本题给出三角形三个角的正弦之比，求三角形内角的余弦，着重考查了利用正、余弦定理解三角形的知识，属于基础题．
 

5.【答案】C 

【解析】解：在中，，所以，
所以


，
所以，
故选：
首先求出线段AD，DC的长，然后用向量表示向量
本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：如图所示，过点A作CD的垂线交CD于点E，则，

由题意得，所以，
又由，所以，，所以，
可得，设，则，
在直角中，可得，即，解得，
所以
故选：
过点A作CD的垂线交CD于点E，根据题意得到且，设，在直角中，求得h的值，即可求解．
本题考查正弦定理的应用，属基础题．
 

7.【答案】A 

【解析】解：如图，设AB中点为E，BC中点为F，

因为，即，则，
即，
则，
所以ABCD的面积与的面积的比值是
故选：
设AB中点为E，BC中点为F，根据向量关系可得，即可表示出面积关系．
本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到三角形的面积问题，属于中档题．
 

8.【答案】A 

【解析】解：在直角三角形ADF中，，，，
则，所以，则，
所以在直角三角形AEF中，，，所以，
在直角三角形CEF中，，则，，
所以，点E为BC的中点，
则
，
所以，则，
故选：
根据直角三角形的性质以及已知条件分别求出DF，AF，EF，CF，CE的长度，再根据平面向量基本定理化简即可求解．
本题考查了三角函数的同角关系，涉及到平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

9.【答案】ABC 

【解析】解：当向量夹角为时，也满足，但，不一定正确，故A错误，
B.当时，分别满足且，但不一定成立，故B错误，
C.当时，满足，此时，可以是任何向量，故C错误，
D.，，，即正确，故D正确，
故选：
根据向量数量积的定义和运算法则分别进行判断即可．
本题主要考查与向量数量积有关的命题的真假判断，利用向量数量积以及向量基本运算是解决本题的关键，是基础题．
 

10.【答案】ABC 

【解析】解：由余弦定理可知A显然成立；
由正弦定理，得，B正确；
因为，C成立；
因为，D不正确．
故选：
由已知结合正弦定理及和差角公式分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了正弦定理，和差角公式，属于基础题．
 

11.【答案】AC 

【解析】

【分析】

本题考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中等题．
对于A，由正弦定理可得，，可判断A；对于B，由正弦定理可得，可判断B；对于C，由正弦定理与两角和的正弦公式化简已知等式可得，结合AB的范围可求，可判断C；对于D，由余弦定理可得角C为锐角，角A，B不一定是锐角，可判断

【解答】

解：对于A，由，由正弦定理可，
即，所以，是等边三角形，A正确；
对于B，由正弦定理可得，可得，
所以或，可得是等腰或直角三角形，B不正确；
对于C，由正弦定理可得，即，因为，可得，因为A，，所以，为等腰三角形，C正确；
对于D，由正弦定理可得，角C为锐角，角A，B不一定是锐角，D不正确．
故选：

12.【答案】CD 

【解析】解：对于A：，所以该三角形为钝角三角形，且，故三角形无解，故A错误；
对于B：由于，所以，由于，故三角形有一解，故B错误；
对于C：由于，满足，故三角形有两解，故C正确；
对于D：由于，满足，故三角形有两解，故D正确．
故选：
直接利用三角形的解的情况的应用，判定A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：三角形的解得情况的判定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，解得
故答案为：
可得出的坐标，根据可得出，进行向量数量积的坐标运算即可求出的值．
本题考查了向量坐标的加法和数乘运算，向量坐标的数量积运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．
 

14.【答案】9 

【解析】解：利用正弦定理有：
，
所以，
又
，
又，

故答案为：
利用正弦定理边化角解出A角，再利用正弦定理角化边求出周长最大值．
本题考查了正弦定理的应用，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意，的面积为，
即，
，
又，则角，
故答案为：
由三角形的面积公式结合余弦定理，化简方程，可得角A的值．
本题考查解三角形，考查余弦定理的应用以及三角形的面积公式，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由正弦定理，得，
即，
由余弦定理，得，
，，故，
由余弦定理可得，故，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故，
又，
三角形面积的最大值为
故答案为：
利用余弦定理可求，再利用基本不等式可求面积的最大值．
本题考查了余弦定理和基本不等式的应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：当时，有，解得：，
故，所以；
由，
且与所成角为钝角，
则满足且与不反向，
由第问知，当时，与反向，
故x的范围为 

【解析】本题考查了向量的平行问题，求模问题，考查向量的夹角，是一道基础题．
由向量平行得到关于x的方程，求出x的值，从而求出的值即可；
根据，求出x的范围即可．
 

18.【答案】解：，
的最小正周期，
令，，则，，
故的单调递增区间为，
，，
或，
又，，
在中，由余弦定理知，，
所以，即，解得或，
当时，有，为直角三角形，与钝角相矛盾，
 

【解析】根据三角恒等变换公式将化简为，结合正弦函数的周期性与单调性，得解；
结合和“小边对小角”，推出，再由余弦定理求出a的值，有两解，注意检验．
本题考查解三角形与三角函数的综合，熟练掌握三角恒等变换公式，正弦函数的图象与性质，余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：，，
，，
，
；
设，，
设，，
，解得，，
，又，
， 

【解析】利用向量的加法的三角形法则计算可得；
设，，设，运用平面向量基本定理可得，求解即可．
本题考查向量的线性运算，以及平面向量基本定理，属中档题．
 

20.【答案】解：，
，
，
，
；
设，则，，，
在中，由，得，
在中，由，得，
联立上式，并由，得，
整理得，
，
，
，
，
解得，
故 

【解析】根据余弦定理即可求出B，再根据三角形的面积公式即可求出；
设，则，，，分别根据正弦定理以及，得，再根据三角恒等变化即可求出．
本题考查了正弦定理与余弦定理以及三角形的面积，三角恒等变换，考查了运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：因为，
所以，
可得，由正弦定理知化简得，
由余弦定理知，，
因为，
所以
由知，，
所以，
又是锐角三角形，可得，解得，
由正弦定理知，
又，可得，
所以，
因为，所以，
所以，
故面积的取值范围为 

【解析】利用正弦定理将已知等式中的角化边，再结合余弦定理可求的值，结合C的范围即可得解C的值；
结合C的值和锐角，可推出B的取值范围，再由正弦定理，三角形的面积公式，正弦的两角差公式和正切函数的性质即可求解．
本题考查解三角形与三角恒等变换的综合运用，熟练掌握正弦定理、余弦定理与两角和差公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：由题意可得，
即，因为A为锐角，所以，
，
则；
因为，
所以，，，
所以，，
，
所以的余弦值为 

【解析】由三角形的面积公式和余弦定理可得所求值；
由勾股定理和逆定理，结合三角形的余弦定理，计算可得所求值．
本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．