2021-2022学年甘肃省武威十八中高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年甘肃省武威十八中高一（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. (    )

A.  B.  C.  D.

2. 函数的定义域为(    )

A.  B.
C.  D.

3. 为了解学生在“弘扬传统文化，品读经典文学”月的阅读情况，现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间阅读时间，分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图则图中的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 向量，，则与的夹角为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是(    )

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

6. 已知平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为，，，为边的中点，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 长方体的长，宽，高分别为，，，其顶点都在球的球面上，则球的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知向量，则下列结论正确的有(    )

A. 若，则
B. 若，则
C. 的最小值为
D. 若的夹角为锐角，则

10. 在中，角，，所对的边为，，，则下列说法正确的有(    )

A. ：：：： B.
C. ，则 D.

11. 为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了次坐公交车和骑车所用时间单位：分钟，得到下列两个频率分布直方图：基于以上统计信息，则正确的是(    )

A. 骑车时间的中位数的估计值是分钟
B. 骑车时间的众数的估计值是分钟
C. 坐公交车时间的分位数的估计值是分钟
D. 坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值

12. 已知函数图象的一条对称轴方程为，与其相邻对称中心的距离为，则(    )

A. 的最小正周期为 B. 的最小正周期为
C.  D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知角是第四象限角，，则______．
14. 复数其中为虚数单位，化简后______．
15. 如图，网格纸由若干个边长为的小正方形构成，在其上用粗实线画出了其空间几何体的三视图，则该几何体的体积为______．

16. 表面积为的球的体积是______ ．

四、解答题（本大题共4小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 复数，为实数，求满足以下条件的的值．
    为实数；
    为纯虚数．
18. 在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，．
    Ⅰ求的值；
    Ⅱ求的面积．
19. 已知平面向量，，函数．
    求函数的解析式；
    求函数在区间上的值域．
20. 如图，在棱长为的正方体中，、、、分别是、、、的中点．
    求证：平面；
    求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查两角差的余弦公式，属基础题．由两角差的余弦公式和题意可得答案．
【解答】
解：由两角差的余弦公式可得

故选：  

2.【答案】 

【解析】解：对于函数，因为，所以，
故的定义域为，
故选：．
由题意，利用正切函数的定义域，求出结果．
本题主要考查正切函数的定义域，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由频率分布直方图得：
，
解得．
故选：．
由频率分布直方图的性质列出方程，能求出．
本题考查频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，且，
．
故选：．
可根据向量的坐标求出和的值，从而可求出的值，然后即可求出的值．
本题考查了向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，，则，与可能相交也可能异面，所以不正确；
B、，，则，还有与可能相交，所以不正确；
C、，，则，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．
D、，，则，也可能，也可能，所以不正确；
故选：．
用直线与平面平行的性质定理判断的正误；用直线与平面平行的性质定理判断的正误；用线面垂直的判定定理判断的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断的正误．
本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，为边的中点，
，
，
．
故选：．
根据已知条件，结合平面向量的坐标运算法则，即可求解．
本题主要考查平面向量的坐标运算法则，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

设正方体中棱长为，
则，，，，
，，
设异面直线与所成角为，
则，，
异面直线与所成角的大小为．
故选：．
以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的大小．
本题考查异面直线所成角的定义、正方体的结构特征、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：长方体的长，宽，高分别为，，，其顶点都在球的球面上，
球的半径为，
体积．
故选：．
求出长方体外接球半径，再由球体体积公式求体积．
本题考查了长方体外接球的体积计算，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，，，，
，解得，故A错误，
对于，若，
则，解得，故B正确，
对于，，
，，
，故C正确，
对于，若的夹角为锐角，
则，解得，故D错误．
故选：．
对于，结合向量平行的性质，即可求解，
对于，结合向量垂直的性质，即可求解，
对于，结合平面向量的数量积公式，即可求解，
对于，结合平面向量的夹角公式，以及向量平行的性质，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，以及向量平行，垂直的性质，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：在三角形中，大角对大边，所以选项正确．
三角形的内角和为，所以选项正确．
由正弦定理得：：：：，所以选项错误．
设，
则，选项正确．
故选：．
结合三角形的性质、正弦定理即可求得正确答案．
本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据频率分布直方图可得骑车时间为分时的频率为不是，
所以中位数估计值不是分钟，所以错；
根据频率分布直方图可得骑车时间的众数估计值为，所以对；
根据频率分布直方图可得坐公交车时间的分位数的估计值是分钟，所以对；
根据频率分布直方图可得坐公交车时间、骑车时间平均数的估计值分别为、，所以对．
故选：．
根据频率分布直方图计算出坐公交时间的分位数的估计值、平均数及骑车时间的中位数、众数、平均数，即可判断正确选项．
本题考查频率分布直方图中众数、中位数、平均数、百分位数求法，考查数学运算能力，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由已知可得，所以，故A正确，B错误，
则，所以，
令，解得，又，
所以，故C正确，D错误，
故选：．
由已知以及正弦函数的图像性质即可求出函数的周期，由此即可判断选项A，，再根据对称轴以及正弦函数的对称性即可求出的值，由此即可判断选项C，．
本题考查了三角函数的周期性以及对称性，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为角是第四象限角，，
所以，
则．
故答案为：．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用二倍角的正弦公式即可求解的值．
本题考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：复数


，为虚数单位．
故答案为：．
把复数分母实数化即可．
本题考查了复数代数形式的运算问题，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由三视图可知该几何体为底面半径，高的圆柱，
该几何体的体积为：．
故答案为：．
由三视图可知该几何体为底面半径，高的圆柱，再根据圆柱的体积公式即可求解．
本题考查几何体的三视图，圆柱的体积公式，属基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：表面积为的球的半径为，所以，所以，
所以球的体积为：
故答案为：．
求出球的半径，然后求解球的体积．
本题考查球的表面积以及球的体积的求法，是基础题．
 

17.【答案】解：若为实数，则，解得或；
若为纯虚数，则且，解得． 

【解析】由虚部为列式求解值；
由实部为且虚部不为列式求解．
本题考查复数的基本概念，是基础题．
 

18.【答案】解：Ⅰ因为，，，
所以由余弦定理可得，可得．
Ⅱ因为，
所以的面积． 

【解析】Ⅰ由已知利用余弦定理即可求解的值．
Ⅱ利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

19.【答案】解：．
，
，，
函数的值域是． 

【解析】根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，以及三角函数的二倍角公式，即可求解．
结合的取值范围，以及正弦函数的图象，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，以及三角函数的二倍角公式，属于基础题．
 

20.【答案】证明：如图所示，连接，，
，分别为、的中点，，
平面，平面，
平面．
如图，作中点，连接，，
，分别是，的中点，在平行四边形中，，
面，面，
面，，
又，分别为、的中点，
，
，平面，
平面，．
 

【解析】连接，，由，分别为、的中点，知，由此能够证明平面．
作中点，连接，，由，分别是，的中点，知，由面，知面，故AC，再由，得到平面，由此能够证明．
本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线垂直的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．