2021-2022学年山东省临沂第二十四中学高一下学期4月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年山东省临沂第二十四中学高一下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．若复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限     B．第二象限     C．第三象限     D．第四象限

【答案】C

【分析】先利用复数的除法化简复数z，再求得其共轭复数，然后利用复数的几何意义求解.

【详解】解：因为复数满足，

所以，

则，

所以在复平面内对应的点位于第三象限，

故选：C

2．在平行四边形中，为一条对角线.若，，则（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【分析】在平行四边形中，由，，利用减法得到，然后利用减法求.

【详解】在平行四边形中， ，，

所以，

所以.

故选：C

3．用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点是斜边的中点，且，则△ABC的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据斜二测画法，即直观图中平行于轴的长度不变，平行于轴的长度变为原来的一半，根据题中所给的数据以及图形，可知角形为直角三角形，，，，由此即可求出结果.

【详解】因为为等腰直角三角形且，所以，，

由斜二测画法可知，，且三角形为直角三角形，，

所以三角形ABC的面积为．

故选：B.

4．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的三等分点处，，当底面ABC水平放置时，液面高为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用相似比得到四边形和三角形的面积比，再根据等体积的思路列等式即可求解.

【详解】

如图，设靠近点的三等分点为点，

当底面水平放置时，液面高度为，此时液体体积，因为,所以，,

所以，解得.

故选：A.

5．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（参考数据：取重力加速度大小为）（    ）

A． B．61 C．75 D．60

【答案】D

【分析】用向量表示两只胳膊的拉力的大小和方向，它们的合力与体重相等，求出，再化为千克即可得．

【详解】如图，，，

作平行四边形，则是菱形，，

，

所以，

因此该学生体重为（kg）.

故选：D．

6．已知中，，，，则（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】A

【分析】利用正弦定理与大边对大角、小边对小角即可求解.

【详解】根据正弦定理，得，故，

因为，所以或，

又因为，所以，故.

故选：A.

7．在中，，，且有，则线段的长为（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【分析】在中，利用余弦定理求得AC，再在中，利用余弦定理求得，然后在中，利用余弦定理求解.

【详解】解：在中，，，

由余弦定理得，

即，解得，

在中，由余弦定理得，

所以，

，

，

所以，

故选：C

8．如图，正三棱锥中，，侧棱长为，过点的平面与侧棱相交于，则△的周长的最小值为（    ）

A．        B．          C．             D．

【答案】B

【分析】将正三棱锥沿剪开，要使的周长的最小则有，结合已知条件及正三棱锥的性质知是等边三角形，即可知周长的最小值.

【详解】将正三棱锥沿剪开可得如下图形，

∵，即，又的周长为,

∴要使的周长的最小，则共线，即，又正三棱锥侧棱长为，是等边三角形，

∴.

故选：B

二、多选题

9．下列命题中不正确的是（    ）

A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

B．底面是正多边形的直棱柱一定是正棱柱

C．正三棱锥就是正四面体

D．侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱

【答案】AC

【分析】A.画图判断；B.由正棱柱的定义判断；C.由正三棱锥和正四面体的定义判断；D.由直棱柱的定义判断.

【详解】解：A.如图：

几何体满足有两个面平行，其余各面都是平行四边形但不是棱柱，

B.由正棱柱的定义知：底面是正多边形的直棱柱一定是正棱柱，故正确；

C.在正三棱锥中，当侧棱与底面正三角形的边长不相等时，不是正四面体，故错误；

D.由直棱柱的定义知：侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，故正确；

故选：AC

10．在复平面内，下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．若，则 D．若复数满足，则是纯虚数

【答案】AD

【分析】利用复数的运算和性质判断ABD；虚数无法比较大小判断C.

【详解】对于A，，故A正确；

对于B，，故B不正确；

对于C，两个虚数不能比较大小，故C不正确；

对于D，设，则，，则，解得，故是虚数，故D正确；

故选：AD

11．已知角A，，是的三个内角，下列结论一定成立的有（    ）

A． B．若，则是等腰三角形

C．若，则 D．若是锐角三角形，则

【答案】ACD

【分析】对A，；

对B，得或；

对C，由正弦定理得；

对D，由锐角三角形角的范围得，则

【详解】对A，，A对；

对B，，则或，即或，故为等腰三角形或直角三角形，B错；

对C，由正弦定理得，则，则，则，C对；

对D，是锐角三角形，则，则，，D对.

故选：ACD

12．已知非零平面向量满足，，其中.若，则的值可能为（    ）

A．  B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据题意求得且，以及，设，求得，则，列出不等式组，求得的取值范围，利用，设，结合二次函数的性质和选项，即可求解.

【详解】因为，可得，

可得且，

由，其中，

所以，

设，可得，即，

代入上式，可得，即，

解得，则，

又由且，解得或，

因为

，

设，

当时，可得；

当时，可得，

结合选项，可得的值可能为和.

故选：BC.

三、填空题

13．世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.在复平面内，复数（是虚数单位），其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为_______.

【答案】1

【分析】为以O为圆心，半径为2的圆周上的点，对应的点为，由点到圆上点的距离关系即可得最小距离

【详解】由题意，为曲线上的动点，即为以O为圆心，半径为2的圆周上的点

对应的点为，如图所示，

则当时有最小距离为.

故答案为：1

14．在中，点是边上（不包含顶点）的 动点，若，则 的最小值______.

【答案】

【分析】由向量共线定理可得，结合基本不等式即可求出的最小值.

【详解】如图，

可知x，y均为正，且，

，

当且仅当，即时等号成立，

则的最小值为.

故答案为：.

15．法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点.如图所示，在中，已知，设为的费马点，且满足，.则的外接圆直径长为______.

【答案】

【分析】由已知利用三角形的内角和定理可得，，可得在中，，可得，在中，由正弦定理可得的值，在中，利用余弦定理求出，在中，利用正弦定理即可求出外接圆的直径.

【详解】由已知，所以.

在中，，故.

在中，由正弦定理得，

而，，

故，

在中，利用余弦定理 ，即，

在中，利用正弦定理，故的外接圆直径长为.

故答案为：.

16．钝角中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，则面积的取值范围是______.

【答案】

【分析】由正弦定理可得，接着利用三角形的面积公式得到，再根据为钝角三角形求出的范围，进而求得面积的取值范围.

【详解】因为，所以，

又由正弦定理得，，

所以，

因为为钝角三角形，，，

所以当为钝角时，，即 ，故 ，

所以，故，所以，

当为钝角时，，所以，故，

所以，即，

综上：或，即.

故答案为：.

四、解答题

17．已知复数，其中为虚数单位.若满足下列条件，求实数的值：

(1)为实数；

(2)为纯虚数；

(3)在复平面内对应的点在直线上.

【答案】(1)；

(2)；

(3)或.

【分析】根据复数为实数其虚部为0；复数为纯虚数其实部为0，虚部不为0；点在直线上，其实部与虚部相等；

【详解】(1)为实数，，解得：；

(2)为纯虚数，；

(3)在复平面内对应的点在直线上，

或.

18．已知平行四边形中，，，，点是线段的中点.

(1)求的值；

(2)若，且，求的值.

【答案】(1)9

(2)

【分析】（1）以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，分别求出，再根据数量积的坐标运算即可得解；

（2）根据平面向量线性运算的坐标表示球的，由，得，从而可得出答案.

【详解】(1)解：以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则，

则，

所以；

(2)解：，，

因为，

所以，解得．

19．已知的周长为，且.

(1)求边的长；

(2)若的面积为，求角的度数.

【答案】(1)2

(2)

【分析】⑴利用正弦定理进行边角互换，再结合三角形周长列方程，解方程即可得到的长；

⑵利用三角形的面积公式列等式，再结合⑴中的结论和余弦定理求角.

【详解】(1)因为三角形周长为，所以①，

因为，所以由正弦定理可得②，

由①②联立，解得．

(2)由的面积得，由⑴得，

由余弦定理，得，

∵，∴．

20．已知在正方体中，截下一个四棱锥，，E为棱中点.

(1)求四棱锥的表面积；

(2)求四棱锥的体积与剩余部分的体积之比；

(3)若点F是AB上的中点，求三棱锥的体积.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）四棱锥的表面由正方形ABCD和四个直角三角形所围成，求出各面积相加即可

（2）设剩余部分的体积为，正方体体积，则

（3）由等体积法，用算即可.

【详解】(1)四棱锥的表面由正方形ABCD和四个直角三角形所围成，

，，，则与全等，与全等，

因为，，，

所以

(2)设剩余部分的体积为，因为EC为四棱柱的高，且

所以

又正方体体积，

(3)，其中平面ABCD，

故

21．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，.求A，B两点间的距离.

【答案】

【分析】画出示意图，根据题意求得，利用正弦定理求得，再利用余弦定理，求得的长，即可得到答案.

【详解】如图所示，因为，

所以，且，所以，

又因为，所以，

由正弦定理，可得，

在中，由余弦定理得，

，

所以，即A，B两点间的距离为米.

22．已知函数，其图象中相邻的两个对称中心的距离为，且函数的图象关于直线对称；

(1)求出的解析式；

(2)将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，若方程在上有两根，，求的值及的取值范围.

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）根据条件相邻的两个对称中心的距离为得到周期从而求出，再根据对称轴是及求出，从而得到的解析式；

（2）根据平移变换得到，再通过整体代换，利用正弦函数的图像和性质得到有最小值及对应的自变量的值，即可求的值及的取值范围.

【详解】(1)解：因为函数的图象相邻的对称中心之间的距离为，

所以，即周期，所以，

所以，

又因为函数的图象关于直线轴对称，

所以，，即，，

因为，所以，

所以函数的解析式为；

(2)解：将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，

所以，

当时，，,

当时，有最小值且关于对称，

因为方程在上有两根，，

所以，

，即的取值范围.