人教B版 (2019)必修 第二册4.2.2 对数运算法则巩固练习

【精挑】4.2.2 对数运算法则课时练习

一．单项选择

1．高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影.设，用符号表示不大于的最大整数，如，则叫做高斯函数.给定函数，若关于的方程有5个解，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

2．已知，那么函数的图象大致是（    ）

A．B．

C．D．

3．若，则下列结论正确的是（ ）

A． B．

C． D．

4．已知偶函数（且）在上单调递减，则与的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．无法确定

5．函数的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（    ）

A．8 B．12 C．27 D．

6．若，设函数 的零点为的零点为，则的取值范围是(    )

A． B． C． D．

7．设均为正数，且，，．则（    ）

A． B． C． D．

8．已知，，，，则（    ）

A． B． C． D．

9．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

10．若，，则（    ）

A． B． C． D．

11．若函数f（x）＝log0.2（x﹣3）在区间（a﹣1，a+1）上单调递减，且b＝1g0.2，c＝20.2，则（    ）

A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a

12．若实数满足且则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

13．设实数，，，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

14．函数y=ax2+ bx与y=（ab ≠0，| a |≠| b |）在同一直角坐标系中的图像可能是（   ）

A． B．

C． D．

15．对于在区间上有意义的两个函数和，如果对于任意均有成立，则称函数和在区间上是接近的．若与在区间上是接近的，则实数的取值范围是（          ）

A． B． C． D．

16．已知，，，则它们的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

17．函数的所有零点的积为m，则有（　　）

A． B． C． D．

18．的图象为　　

A． B．

C． D．

参考答案与试题解析

1．【答案】D

【解析】证明函数是以为周期的周期函数，并根据时，的图象画出， ，将方程的解的个数转化为函数的交点个数，讨论的取值，根据图像，列出相应不等式即可得到实数的取值范围.

【详解】

所以函数是以为周期的周期函数，当时，，则

要使得有5个解，即函数与函数的图象有5个交点.

当时，函数与函数，的图象如下图所示

不满足题意

当时，函数与函数，的图象如下图所示

要使得函数与函数的图象有5个交点，则函数的图象低于点A，不低于点B

故有 ，解得：

故选：D

【点睛】

本题主要考查了根据函数的零点个数求参数范围，属于难题.

2．【答案】D

【解析】根据题意可知，从而可得为过点的增函数，再利用函数的平移变换即可得出选项.

【详解】

因为，所以，所以为过点的减函数，

所以为过点的增函数.

因为图象为图象向左平移1个单位长度，

所以图象为过点的增函数.

故选：D.

【点睛】

本题考查了指数函数的单调性解不等式．对数函数的单调性以及函数图像的平移变换，属于基础题.

3．【答案】D

【解析】对于A,考查指数函数为增函数,所以,A错误；对于B,考查指数函数为减函数,所以,B错误；对于C,考查对数函数在定义域上为增函数,所以,C错误；对于D,考查对数函数在定义域上为减函数,所以,D正确.选D.

考点：指数函数．对数函数的单调性.

4．【答案】B

【解析】根据偶函数性质,可求得,结合函数的单调性即可求得的取值范围.通过比较与的大小关系,即可比较大小.

【详解】

因为为偶函数

所以,即

所以对恒成立

解得

即

因为偶函数（且）在上单调递减,则在上单调递增

所以由对数函数的图像与性质可知

而

所以

故选:B

【点睛】

本题考查了由偶函数的性质求参数,根据函数单调性比较抽象函数的大小关系,综合性较强,属于中档题.

5．【答案】C

【解析】由对数函数性质求出点坐标，从而求得幂函数的解析式，然后计算函数值即可．

【详解】

在中令，即得，∴，

设幂函数解析式为，则，，∴．

∴．

故选：C.

【点睛】

本题考查对数函数的性质，考查幂函数的概念．属于基础题．

6．【答案】B

【解析】把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数图象之间的关系求出，之间的关系，根据两者之和是定值，利用基本不等式得到要求的结果．

【详解】

函数的零点是函数与函数图象交点的横坐标，

函数的零点是函数与函数图象交点的横坐标，

由于指数函数与对数函数互为反函数，

其图象关于直线对称，

直线与直线垂直，

故直线与直线的交点即是，的中点，

，

，

当等号成立，

而，故，

故所求的取值范围是，．

故选：B．

【点睛】

本题考查函数零点．反函数的性质．基本不等式求最值，考查函数与方程思想．转化与化归思想．数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件.

7．【答案】A

【解析】作出函数的图象，是它们中的交点，由此可得其大小关系．

【详解】

如图是函数的图象，是与的交点的横坐标，是与的交点的横坐标，是与的交点的横坐标，由图可得．

故选：A．

【点睛】

本题考查实数大小比较，考查数形结合思想．解题时作出函数图象，方程的根转化为函数图象交点横坐标，大小关系通过图象一目了然．

8．【答案】D

【解析】根据对数的运算性质，化简对数式，再根据，可得函数在上单调递增，利用对数的运算性质化简，即可得出.

【详解】

，则函数在上单调递增，

又，，，

由

则.

故选：D.

【点睛】

本题考查对数运算法则和对数函数单调性，属于基础题.

9．【答案】C

【解析】根据对指数函数与对数函数的图像与性质,判断出的范围,即可比较大小.

【详解】

由指数函数与对数函数的图像与性质可知

所以

故选:C

【点睛】

本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质,利用中间值法比较大小,属于基础题.

10．【答案】AC

【解析】利用指数与指数函数，对数和对数函数的图象和性质即可判断.

【详解】

项，因为，所以为单调递减函数，由得，故正确；

项，因为，所以为单调递减函数，由，得，故错误；项，因为 ， ，所以，所以，故正确；

项，取，则，故错误.

故选：.

【点睛】

本题主要考查对数与对数函数的图象和性质．指数与指数函数的图象和性质以及不等关系与不等式，考查学生的分析能力，是基础题.

11．【答案】D

【解析】根据单调性得到，计算得到，得到答案.

【详解】

函数f（x）＝log0.2（x﹣3）在区间（a﹣1，a+1）上单调递减，则

；；故

故选：

【点睛】

本题考查了函数单调性，数值的大小比较，意在考查学生对于函数性质的综合应用.

12．【答案】B

【解析】已知，所以根据对数函数的性质可知上为单调递减函数，得出 接下来利用作差法比较大小，由此可以判断答案.

【详解】

，

，

，

，

，

，

，

因此.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查的是对数的大小比较，掌握对数函数的性质是解题的关键，是基础题.

13．【答案】A

【解析】根据对数函数的单调性可得，根据指数函数的性质可得，由此可得答案.

【详解】

因为，，且在上是增函数，

所以，

又，故，

故选：A

【点睛】

本题考查了对数函数的单调性，考查了指数函数的性质，属于基础题.

14．【答案】D

【解析】【详解】

解：对于A．B两图，而y=ax2+ bx的两根为0和，且两根之和为，由图知得，矛盾，

对于C．D两图，，在C图中两根之和，即矛盾，C错，D正确．

故选：D．

15．【答案】A

【解析】成立，即恒成立，设，只需，求出最值，得到关于不等式，即可求出结论.

【详解】

设，

根据对数函数和反比例的单调性，可得在上是减函数，

，

要使与在区间上是接近的，

在区间上恒成立，

只需，解得.

故选:A.

【点睛】

本题以新定义为背景，考查函数的最值，理解题意等价转化是解题的关键，属于中档题.

16．【答案】C

【解析】根据指数对数函数的性质，通过中间量，建立的大小关系.

【详解】

因为，，

故选：C.

【点睛】

本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数对数函数的性质的合理运用.

17．【答案】B

【解析】作函数y=e-x与y=|log2x|的图象，设两个交点的坐标为（x1，y1），（x2，y2）（不妨设x1＜x2），得到0＜x1＜1＜x2＜2，运用对数的运算性质可得m的范围．

【详解】

令f（x）=0，即e-x=|log2x|，

作函数y=e-x与y=|log2x|的图象，

设两个交点的坐标为（x1，y1），（x2，y2）

（不妨设x1＜x2），

结合图象可知，0＜x1＜1＜x2＜2，

即有e-x1=-log2x1，①

e-x2=log2x2，②

由-x1＞-x2，

②-①可得log2x2+log2x1＜0，

即有0＜x1x2＜1，

即m∈（0，1）．

故选：B．

【点睛】

本题考查指数函数和对数函数的图象，以及转化思想和数形结合的思想应用，属于中档题．

18．【答案】C

【解析】根据对数函数的性质，得到函数的图象关于对称，再根据选项，即可得到答案．

【详解】

由可知函数的定义域为：或，函数的图象关于对称，

由函数的图象，可知，A．B．D不满足题意．

故选C．

【点睛】

本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟记对数函数的性质及函数的对称性的应用，得到函数的对称性是解答的关键，着重考查了推理与论证能力．