数学必修 第二册4.1.2 指数函数的性质与图像同步训练题

【优选】4.1.2 指数函数的性质与图像同步练习

一．单项选择

1．设为负实数且，则下列说法正确的是（    ）

A．    B．    C．    D．以上都不对

2．已知函数，若，则（    ）

A．2    B．    C．8    D．

3．函数在上的最大值与最小值的差为2，则(    )

A．    B．    C．    D．

4．函数（）的图象不可能为（   ）

A．    B．    C．    D．

5．函数是（，且）的反函数，则下列结论错误的是（　　）

A． B．

C． D．

6．设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则　　

A．    B．    C．1    D．2

7．函数的图象大致是（ ）

8．若函数的图像与轴有公共点，则的取值范围为 (　  　)

A．    B．    C．    D．

9．已知函数在内的值域是，则函数的图像大致是（    ）

10．当时，函数满足，则函数的图像大致为（  ）

A．    B．

C．    D．

11．已知，，，则下列不等式正确的是（  ）

A．    B．    C．    D．

12．函数且图象恒过的定点是(    )

A．    B．    C．    D．

13．函数在上的最大值是7，则指数函数在上的最大值与最小值的和为　　

A．6 B．5 C．3 D．4

14．函数的图象与函数的图象的交点个数为(　　)

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

15．已知函数满足，则　　

A．    B．    C．    D．

16．函数y=（）的单调递增区间是（　　）

A． B． C． D．

17．若实数满足,则关于的函数的图象大致是 (     ).

18．函数的图像必经过点（   ）

A．（0,2）    B．（4,3）    C．（4,2）    D．（2,3）

参考答案与试题解析

1．【答案】C

【解析】令，指数式化为对数式，用来表示，然后利用换底公式比较和的大小，由此得出正确选项.

【详解】

令，则，.由于为负实数，故，所以.由于，所以，所以，所以，两边乘以得，即.故选C.

【点睛】

本小题主要考查指数式化为对数值，考查利用换底公式以及对数函数的单调性比较大小.属于中档题.

2．【答案】A

【解析】直接将代入函数的解析式，根据指数的运算即可得结果.

【详解】

∵，

∴，解得，故选A.

【点睛】

本题主要考察了已知函数值求自变量的值，熟练掌握指数的意义是解题的关键，属于基础题.

3．【答案】B

【解析】根据y＝ax（a＞0，且a≠1）在区间[1，2]上为单调函数，且最值差为2，列出方程求出a的值．

【详解】

y＝ax（a＞0，且a≠1）在区间[1，2]上为单调函数，

且y＝ax（a＞0，且a≠1）在区间[1，2]上最大值与最小值的差为2，

即|a﹣a2|＝2，

所以a﹣a2＝2或a﹣a2＝﹣2；

即a2﹣a+2＝0或a2﹣a﹣2＝0，

解得a＝2或a＝﹣1（不合题意，舍去）；

所以a＝2.

故选：B

【点睛】

本题考查的知识点是指数函数单调性的应用，熟练掌握指数函数的图象与性质是解答的关键.

4．【答案】D

【解析】∵ 函数（）

∴当时， ，故可能

当时， ，显然为增函数，且时， ，故可能

当时， ，令，则， 在上单调递减，在上单调递增，故时， 在上单调递减，在上单调递增，则在上单调递减，在上单调递增，故可能

综上，函数（）的图象不可能为

故选D

点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的指数函数，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强．考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域．值域．单调性．奇偶性．特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.

5．【答案】D

【解析】先根据反函数的定义求出，再根据对数的运算性质判断即可．

【详解】

∵函数是（，且）的反函数，

∴，

∴,对错；

，对；

，对，故选D．

【点睛】

本题考查了反函数的定义和对数函数的运算性质，意在考查对基础知识的掌握情况以及综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.

6．【答案】B

【解析】因为函数的图象与的图象关于直线对称，故可设

则。

故答案为：B。

7．【答案】D

【解析】

8．【答案】D

【解析】由指数函数的图象知图象关于轴对称，最大值为，且无限靠近轴，将其图象向下平移不超过1个单位可与与轴有公共点，因此，解得，故选D.

9．【答案】B

【解析】函数值域为可知函数单调递增，所以，所以图像B正确

考点：指数函数性质

10．【答案】C

【解析】由函数（且）满足 ，故的图象应是C图，故选C．

考点：函数的图象．

11．【答案】D

【解析】由指数函数的单调性得，与常数‘1’比较得即可得答案.

【详解】

因为在R上递减，且 ，所以 .又因为 在R上递增，且 ，所以 .所以.

故选：D.

【点睛】

本题考查了指数函数的单调性和与常数‘1’比较大小，属于基础题.

12．【答案】B

【解析】根据指数函数的图象恒过定点，即求得的图象所过的定点，得到答案．

【详解】

由题意，函数且，

令，解得，

，

的图象过定点．

故选：B．

【点睛】

本题考查了指数函数恒过定点的应用问题，其中解答中熟记指数函数过定点问题的求解方法是解答问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

13．【答案】B

【解析】根据题意，由于函数在[0,2]上的最大值是7，那么可知a>0，因此在x=2时取得最大值7，故有4a-1=7,a=2,那么可知指数函数在[0,2]上递增，那么可知最大值为4，最小值为1，故指数函数在[0,2]上的最大值与最小值的和为5,答案为B

考点：函数的最值：

点评:本试题主要是考查了一次函数的单调性，以及指数函数的最值，属于基础题。

14．【答案】B

【解析】在同一个坐标系中分别画出函数的图象与函数的图象，数形结合可得它们的图象的交点个数．

【详解】

解：在同一个坐标系中分别画出函数的图象与函数的图象，如图所示，

结合图象可得它们的图象的交点个数为 1，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了指数函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．

15．【答案】B

【解析】x＝2是函数f（x）（a∈R）的对称轴，y是偶函数，图象关于y轴对轴，从而y向右平移两个单位，得到f（x），进而f（x），由此能求出f（0）．

【详解】

函数满足，

是函数的对称轴，

是偶函数，图象关于y轴对轴，

向右平移两个单位，得到，，

，

．

故选：B．

【点睛】

本题考查函数对称性，函数值的求法，考查函数性质等基础知识，是基础题，确定函数 的对称轴为x=-a是关键.

16．【答案】C

【解析】利用换元法结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可．

【详解】

y=，设t=x2+4x-3，则y=3t是增函数，

求函数y的单调递增区间，等价为求函数设t=x2+4x-3的单调递增区间，

函数t=x2+4x-3的对称轴为x=-2，则[-2，+∞）上是增函数，

则y=的单调递增区间是[-2，+∞），

故选：C．

【点睛】

本题主要考查函数单调递增区间的求解，利用换元法结合指数函数，一元二次函数的单调性关系是解决本题的关键．

17．【答案】B

【解析】分析：先化简函数的解析式，函数中含有绝对值，故可先去绝对值讨论，结合指数函数的单调性及定义域．对称性，即可选出答案．

详解：∵，

∴f（x）=（）|x﹣1|

其定义域为R，当x≥1时，f（x）=（）x﹣1，因为0＜＜1，故为减函数，

又因为f（x）的图象关于x=1轴对称，

对照选项，只有B正确．

故选：B．

点睛：本题考查指数函数的图象问题．考查识图能力，属于基础题．一般给出函数表达式求函数图像的问题，可以从函数的定义域入手，值域入手，检验式子和图像是否一致，也可以考查函数的对称性和特殊点.

18．【答案】B

【解析】根据指数型函数的性质，即可确定其定点.

【详解】

令得，所以，

因此函数过点（4,3）.

故选B

【点睛】

本题主要考查函数恒过定点的问题，熟记指数函数的性质即可，属于基础题型.